专题14圆锥曲线中的特殊“弦”（教师版）

专题14：圆锥曲线中的特殊“弦”<<<专题综述>>><<<专题综述>>>在高考中,圆锥曲线的综合问题常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体进行考查.而直线与圆锥曲线的弦长问题是圆锥曲线中常见的一种题型,本专题主要研究三种特殊的弦的解答思路：1.中点弦问题；2.抛物线的焦点弦问题；3.动弦过定点问题。<<<专题探究>>><<<专题探究>>>题型一：题型一：中点弦问题直线与圆锥曲线相交时，若出现了直线的斜率与线段的中点等字眼，则这样的题型往往可以避免使用韦达定理来计算。对于这个类型的题，首先设出弦的两端点，然后代入圆锥曲线并将两式相减，这样就直接联系了中点与直线的斜率的关系，我们把这个方法叫做点差法。答题模板：点差法解题思路（以给定椭圆和直线斜率为例，双曲线抛物线同理）第一步:设直线与椭圆交点为Ax1,y1,Bx第二步:两式相减得x1第三步:利用kAB=y2-化简可得y2+•椭圆中点弦结论（以焦点在x轴的椭圆方程x2如图，在椭圆C中，E为弦AB的中点，则kOE注：若焦点在y轴上的椭圆x2b2•双曲线中点弦结论（以焦点在x轴的双曲线x2a2如图所示，E为弦AB的中点，则kOE注：若焦点在轴上的双曲线y2a2-•抛物线中点弦结论如图，在抛物线y2=2pxp≠0中，若直线l点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN则kMN∙y注：在抛物线x2=2pyp≠0中，若直线l点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN例1(2022·江苏省南通市模拟)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点，线段【思路点拨】设A(x1,y1)，【规范解析】(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∵线段AB的中点为M(1,m)，∴x1+x2=2，y1+y2=2m．

将A，B代入椭圆例2(2023·广东省深圳市期末)已知双曲线x24-y216=1．

(1)过点N(1,4)的直线与双曲线交于S，T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；

(2)直线l：y=kx+m(k≠±2)与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x【思路点拨】(1)利用点差法求解即可.(2)联立直线与双曲线方程，求得A(x0,0)，B(0,【规范解析】(1)设S(x1,y1)，T(x2,y2)，则 x124-y1216=1x224-y2216=1，

两式相减得 x12-x224=y12-y2216，即y1-y2x1-x2=4×x1+x2y1+y2，

因为点N(1,4)是线段所以x02=400k2m2=400m2(m24练1(2022·新高考2卷)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴y轴分别相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2【思路点拨】首先取AB的中点E，从而得到E为MN的中点.利用点差法可得kOE．kAB=-12,结合【规范解析】取AB的中点为E，因为|MA|=|NB设A(x1,y1)，设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0，令x=0所以k×m-mk=-k所以直线AB:y=-故答案为x+2练2(2022·云南省昆明市模拟)已知双曲线C:x2a2-y2(1)求双曲线C的方程．(2)过点P1,1是否存在直线l，使直线l与双曲线C交于R,T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求出直线l【思路点拨】(1)由题意，得到ca=(2)设Rx1,y1【规范解析】解：(1)由离心率e=3又双曲线C上任意一点到其右焦点的最小距离为3-1由①②，解得c=3,a=1∴双曲线C的方程为x2(2)假设存在过点P1,1的直线l，使直线l与双曲线C交于R,T且点P是线段RT的中点，显然直线l的斜率存在，设Rx1两式作差，得x1+x又点P是线段RT的中点，则x1∴直线l的斜率k=y则直线l的方程为y-1=2x-1，即y=2x-1代入双曲线C的方程x2-yΔ=16-24=-8<0，方程没有实数解．∴过点P1,1不存在直线l，使直线l与双曲线C交于R,T两点，且点P是线段RT题型二：题型二：抛物线的焦点弦抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，过F的焦点弦A其中Ax1AB为直径的圆与抛物线相切2.以AF或BF为直径的圆与y3.过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.4.x15.弦长AB=x16.通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.例3(2022·全国甲卷理科)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时，求直线AB的方程．【思路点拨】(1)利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；

(2)解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系,借助三角恒等变换和基本不等式求解.【规范解析】(1)抛物线的准线为x=-p2，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为此时|MF|=p+p2=3，所以p=2，所以抛物线C(2)设M(y12由x=my+1y2=4x可得y由斜率公式可得kMN=y直线MD:x=x1-2Δ>0,y1y3=-8，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为α,β，所以kAB若要使α-β最大，则β∈(0,π设kMN=2k当且仅当1k=2k即k=22时，等号成立，所以当α-β最大时，代入抛物线方程可得y2-42y-4n=0，所以直线AB:x=2练3(2022·福建省泉州市联考)已知抛物线E关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2)在抛物线上．

(1)求该抛物线E的方程及其准线方程；

(2)直线l过抛物线E的焦点F，交该抛物线于A，B两点，且|AF|=3|BF|，求AB的长度．【思路点拨】(1)利用待定系数法,设出抛物线的方程,利用点在抛物线上,即可求出抛物线方程,从而得到准线方程；

(2)设点A在第一象限，直线AB的倾斜角为α(0<α<π)，由抛物线的定义求出|AF|和|BF|，由题意求出cosα=12，从而求出|AF|和【规范解析】(1)因为抛物线E关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，

设抛物线的方程为y2=2px，因为点P(1,2)在抛物线上，所以4=2p，解得p=2，

故抛物线E的方程为y2=4x，其准线方程x=-1；

(2)根据抛物线的对称性，不妨设点A在第一象限，直线AB的倾斜角为α(0<α<π)，

由抛物线的定义可知，|AF|⋅cosα+p=|AF|，即|AF|=p1-cosα，同理可得|BF|=p1+cosα，练4(2021·浙江卷)如图，已知F是抛物线y2=2px (p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2．

(1)求抛物线方程；

(2)设过点F的直线交抛物线于A , B两点，若斜率为2的直线l与直线MA , MB , AB , x轴依次交于点P , Q , R , N，且满足|RN|2=|PN|·|QN|，求直线l【思路点拨】(1)求出p的值后可求抛物线的方程．

(2)设AB:x=ty+1，Ax1,y1,Bx2,y2，联立直线AB的方程和抛物线的方程，以及直线AB的方程和直线l的方程，求出R，N点坐标，联立直线PM【规范解析】(1)由题意知p=2，故抛物线方程为y2=4x；

(2)设直线AB的方程为x=ty+1，

联立x=ty+1y2=4x⇒y2-4ty-4=0，

A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(-1,0)，y1+y2=4t,y1y2=-4,

设直线l的方程为：y=2x+m，联立y=2x+mx=ty+1⇒y=2+m1-2t(t≠12)，

∴R(mt+11-2t

，

m+21-2t)，N(-m2,0 )，

∴NR2=(mt+1题型三：题型三：动弦过定点问题若直线过的定点在已知直线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考查判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。例4(2023·江苏省扬州市模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为​32，其左、右焦点分别为(1)求椭圆C的方程；(2)设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为α，β，且α+β=π2，证明：直线【思路点拨】(1)根据已知条件得到c，根据离心率得到a，由此可得椭圆的标准方程；

(2)设直线AB方程为y=kx+m，把直线和椭圆进行联立，根据α+β=π2得tan α⋅tan β=1，找出MA，MB的斜率之间的关系，借助韦达定理求出m【规范解析】(1)设P点坐标为x0,y0，F1-c,0，F2c,0，则PF1=(-c-x0,-y0)，PF2=(c-x0,-y0)，

由题意得x02+y02=94(x0+c)(x0-c)+y02=-34，解得c2=3，∴c=3

又e=ca=32，∴a=2，∴b2=a2-c2=1

∴所求椭圆C的方程为：x24+y2=1例5(2022·湖北省武汉市期末)已知双曲线C:x2a2-y2b2(1)求动点M的轨迹方程;(2)若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点N(4,0)，且∠ONP=∠ONQ，直线NQ与双曲线C交于另一点B.证明：动直线PB经过定点．【思路点拨】(1)由题意，结合双曲线的概念，可得动点M的轨迹是以点F1、F2为左、右焦点的双曲线的左支，且2a=2，2c=210，进而求解即可;

(2)设直线BP的方程为x=my+n，设P(x1,y1)，B(x2,【规范解析】(1)解：因为|MF2|-|MF1|=2<|F1F2|=210，

所以动点M的轨迹是以点F1、F2为左、右焦点的双曲线的左支，

则2a1=2，2c1=210，可得a1=1，c1=10，b1=c12-a12=3，

所以点M的轨迹方程为x2-y29=1(x≤-1);

(2)证明：由题意知双曲线C的方程为x2-y29=1，

∵∠ONP=∠ONQ，∴直线PQ垂直于x轴，易知，直线BP的斜率存在且不为0，

设直线BP的方程为x=my+n，设P(x1,y1)，B(x2,y2练5(2023·天津市模拟)已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)过点M(13,263)，且离心率为63．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点A是椭圆C与x轴正半轴的交点，点M，【思路点拨】(1)由椭圆C过M(13,263)，且离心率为63，列方程组，解得a，b，c，进而可得答案．

(2)设直线lAM：y=k(x-1)，由kAM⋅kAN=6，得直线【规范解析】(1)由题知e=ca=63，即c2=23a2，

又因为b2=a2-c2=a2-23a2=13a2，所以椭圆的方程可化为y2a2+3x2a2=1，

又因为椭圆过点M(13,263)，所以(263)2a2+3×(13)2a2=1，解得a2练6(2023·湖南省株洲市模拟)已知圆(x+1)2+y2=16的圆心为A，点P是圆A上的动点，点B是抛物线y2=4x的焦点，点G在线段AP上，且满足|GP|=|GB|．

(1)求点G的轨迹E的方程；

(2)不过原点的直线l与(1)中轨迹E交于M，N两点，若线段MN的中点【思路点拨】(1)依题意|GA|+|GB|=|AP|=4>2=|AB|，根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆，再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；

(2)设出直线方程并且和椭圆联立，根据韦达定理得到中点坐标Q(-4kt4k2+3,3t4k【规范解析】(1)易知A(-1,0)∵点B是抛物线y2=4x的焦点，∴B(1,0)，依题意|GA|+|GB|=|AP|=4>2=|AB|，

所以点G轨迹是一个椭圆，其焦点分别为A，B，长轴长为4，

设该椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

则2a=4，2c=2，∴a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3，故点G的轨迹E的方程为x24+y23=1．

(2)易知直线l的斜率存在，

设直线l：y=kx+t(t≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x0,y0)，

由y=kx+t3x2+4y2=12，得：(4k2+3)<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.(2022·江苏省联考)已知A，B在抛物线y2=4x上，且线段AB的中点为M(1,1)，则|AB|=(

)A.4 B.5 C.15 D.2【解析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由中点坐标公式可知：y1+y2=2，且y12联立方程可得y=2x-1y2=4x,4x2-8x+1=0,∴2.(2022·浙江省联考)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过F作直线l交椭圆于A、BA.362π B.182π【解析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x12a2+y12b2=1x3.(2022·广东省广州市模拟)已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则A.16 B.14 C.12 D.10【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x=-1．

由题意两直线斜率一定存在，

设l1:y=kx-1，且k≠0，AxA,yA,BxB,yB,则l2:y=-1kx-1,

联立y2=4xy=kx-1,得k24.(2022·北京市模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|=2|BF|，则|AB|等于(

)A.4 B.92 C.5 D.【解析】不妨设点A在x轴的上方，如图设A,B在准线上的射影分别为D,C，作BE⊥AD于点E，设BF=m，直线l的倾斜角为θ，则AF=2m，AB由抛物线的定义知AD=AF=2m所以cosθ=AEAB=则sin2θ=8cos2由y2=4x，知2p=4，故利用弦长公式得5.(2022·江苏省徐州市模拟·多选)已知双曲线C：x2a2-y2=1(a>0)，若圆(x-2A.双曲线C的实轴长为6

B.双曲线C的离心率e=233

C.点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2=34

D.直线y=k1x+m与C交于A【解析】由题意知C的渐近线方程为x±ay=0，而圆的圆心为(2,0)，所以|2|1+a2=1，解得a=3，

所以双曲线实轴长为2a=23，故A错误，

所以半焦距c=2，所以e=ca=2所以d1d2=|x0-3y0|2⋅|x0+3y0|2=|x02-3y02|4=34，故C6.(2023·云南省曲靖市模拟·多选)已知O为坐标原点，点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列结论正确的是(

)A.C的准线方程为x=-1

B.若|AF|=4，则|OA|=21

C.若|AB|=8，则AB的中点到y轴的距离为4【解析】因为点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，

所以可得4=2p，即可得p=2，

所以可得抛物线C:y2=4x，

所以可得C的准线方程为x=-1，故A正确；

F(1,0)，设直线l：x=my+1，A(x1,y ​1)，B(x2,y ​2)，

因为|AF|=x1+p2=x1+1=4，即可得x1=3，

所以可得y12=4x1=12，

即可得|OA|=x12+y12=9+12=21，故B正确；

联立直线l和抛物线可得y2-4my-4=07.(2023·河北省张家口市模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．(1)求C的方程;(2)设过点F且不与x轴重合的直线l与C交于A，B两点，求证：在曲线C上存在点P，使得直线PA，OP，PB的斜率成等差数列．【解析】(1)解：设P(x,y)，

由题意，得(x-1)2+y2=|x|+1,两边平方并整理，得y2=2|x|+2x．

故所求C的方程为y2=2|x|+2x

(2)证明：C的方程为y2=2|x|+2x=4x,x≥00,x<0.

当直线l的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，存在C上的P(x0,0)(x0≤0)，使kOP=0，kPA+kPB=0，显然直线PA