整式乘法与因式分解-解答压轴题一（原卷版）

整式乘法与因式分解（解答压轴题一）1．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：根据以上材料，解答下列问题：(1)用多项式的配方法将化成的形式；(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程，老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“_____”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：解：(3)求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．2．（1）阅读材料：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解．例如：，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解．①请直接写出一个30以内且是两位数的雪松数，并写出它们的一个平方差分解；②试证明10不是雪松数；（2）若a，b正整数，且，求的值．3．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)分解因式：；(2)已知，，求的值；(3)的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由．4．阅读材料，解答问题：任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果，两因数之差最小，我们就称是的最优分解，记．例如：，，是12的最优分解，即．(1)填空：______；(2)若是大于1的正整数，求的值；(3)已知，其中是正整数，求的值．5．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：再如“”分法：利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：．(2)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由．6．阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值．例如：求代数式的最小值．解：我们可以先将代数式配方：再利用完全平方式的非负性：∵，∴，∴的最小值是4．(1)求代数式的最小值；(2)求代数式的最大值；(3)某居民小区要在一块两面靠墙（墙长无限）的空地上建一个长方形花园，另两边用总长为20m的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？7．我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．(1)通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______；(2)“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，其中，借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形的面积，易得：______；______，构建等式整理可得：；(3)如图③，在中，，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为M、N，连接，利用“面积法”求的值．8．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：如图1，可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．(1)如图2，将一张长方形纸板按图中裁剪成六块，其中有一块是边长为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，三块是长为a，宽为b的全等小长方形，观察图形，因式分解：______；(2)如图3，若，，，求阴影部分的面积．9．先阅读下面的内容，再解决问题：问题：对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：；(2)若．①当a，b，m满足条件：时，求m的值；②若的三边长是a，b，c，且c边的长为奇数，求的周长．10．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：例1：

分成两组

分别分解

提取公因式完成分解像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．(1)关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是______．①分组后组内能出现公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间能继续分解．(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？①______．②______．(3)利用分组分解法进行因式分解：．11．【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或有关运算．例如：对于．（1）用配方法分解因式；（2）当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？解：（1）原式．（2）由（1）得：，，，当时，代数式有最小值，最小值是．【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)用配方法因式分解：；(2)试说明不论为何值，代数式恒为负数；(3)若已知且，求的值．12．【阅读理解】对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．【解决问题】(1)利用“配方法”分解因式：．(2)已知，，求的值．(3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由．13．阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组法．请回答下列问题：(1)尝试填空：______；(2)解决问题：因式分解；(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．14．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．例2．（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：(1)分解因式：①；②(2)分解因式：．(3)若多项式利用分组分解法可分解为，请求出的值．15．我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式．原式．求代数式的最小值．可知当时，有最小值．根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)填空：；；(2)利用配方法分解因式：（注意：用其它方法不给分）(3)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．16．问题情境：我们知道形如的式子称为完全平方式．对于一些不是完全平方式的多项式，我们可做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．例如（1）分解因式．原式；例如（2）求代数式的最小值．原式．，当时，有最小值是2．解决问题：(1)若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为_____________；(2)分解因式：；(3)求代数式的最大或最小值．17．阅读下列材料，并完成相应的任务．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．把分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，再将此项减去，即可得．这种方法叫填项法．任务：请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．(1)；(2)．18．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：．解：原式②求的最小值．解：原式．∵，∴，即的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：____________．(2)因式分解：．(3)求的最小值．(4)用配方法因式分解：．19．阅读与思考我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时．就往往不知从何下手了．因此，针对四项及以上的多项式因式分解．我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解．再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程：．请使用分组分解法解决以下问题：(1)分解因式：．(2)已知三边满足，请判断的形状并说明理由．20．阅读材料：若，求m，n的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知，则______，______；(2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值；(3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由．21．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公