专题五：函数奇偶性专题总结

函数专题之专题五：函数奇偶性专题五：函数奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数的定义域内任意一个：⑴是偶函数；⑵奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；③、可逆性：是偶函数；奇函数；④、等价性：⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等，判断步骤如下：①、定义域是否关于原点对称；②、数量关系哪个成立；【例题】判断下列各函数是否具有奇偶性⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹、解：⑴为奇函数⑵为偶函数⑶为非奇非偶函数⑷为非奇非偶函数⑸为非奇非偶函数⑹既是奇函数也是偶函数【例题】判断函数的奇偶性。第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题1函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x∈〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。命题3f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。命题4如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数f(x)=从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。命题5函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。此命题正确。由函数奇偶性易证。命题6已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题7已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x0)=0，则f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇函数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征【例题】已知偶函数在轴右则时的图像如图（一）试画出函数轴右则的图像。2-12-111-2XY图（二）0121XY图（一）七、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值【例题】已知且，那么2、利用奇偶性比较大小【例题】已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。3.利用奇偶性求解析式【例题】已知为偶函数，求的解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性【例题】若是偶函数，讨论函数的单调区间？5、利用奇偶性判断函数的奇偶性【例题】已知函数是偶函数，判断的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值【例题】定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？7、利用图像解题【例题】（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式的解是.8.利用定义解题【例题】已知函数，若为奇函数，则________。【练习】1.函数是()A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数2．已知函数为偶函数，则的值是（）A.B.C.D.设为定义在上的奇函数，当时，，则()(A)2；(B)1；(C)；(D)．4.设是上的奇函数，，当时，，则的值是（）A.B.C.D.5．函数是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数6．若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－37.若函数是奇函数，则为__________。8.若是奇函数，是偶函数，且，则．9.已知函数对任意实数恒有判断的奇偶性10.P已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围；11.已知且，那么12.已知为偶函数，求的解析式为13.已知函数（1）确定的值，使为奇函数；（2）当为奇函数时，求的值域。14．已知函数.（1）确定的值，使为奇函数；（2）当为奇函数时，求的值域。15.已知定义域为的函数是奇函数。（1）求的值；（2）判断函数的单调性;（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值16.已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0.试证f（x）是偶函数．证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．17.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）.求证f