历年各地初中数学青年教师解题竞赛试题及参考答案(上)

Su.15整理 第4页 DATE\@"yyyy-M-d"2023-11-12更多内容尽在/susuh15更多内容尽在/susuh152002年秋季广州市初中数学青年教师解题比赛试题及解答常州市武进区初中数学教师解题竞赛试题及参考答案2003年广州市初中数学青年教师解题比赛试题2005年武进区初中数学教师解题竞赛试题初中数学青年教师解题竞赛试卷一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分）1．函数中，自变量的取值范围是.2．圆锥的母线长为5cm，高为3cm角是度.3．已知，那么的值是.4．△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE//BC，BE与CD相交于点O，在这个图中，面积相等的三角形有对.5．不等式的正整数解的共有个．6．函数的图象在象限．7．在△ABC中，AB＝10，AC＝5，D是BC上的一点，且BD：DC＝2：3，则AD的取值范围是.8．关于自变量的函数是偶函数的条件是.9．若关于未知数的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是.10．AB、AC为⊙O相等的两弦，弦AD交BC于E，若AC＝12，AE＝8，则AD＝.二、（本题满分12分）11．如图，已知点A和点B，求作一个圆⊙O，和一个三角形BCD，使⊙O经过点A，且使所作的图形是对称轴与直线AB相交的轴对称图形．（要求写出作法，不要求证明） 三、（本题满分12分）12．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽成等差数列，计算与最低一级最接近的一级的宽．四、（本题满分13分）13．已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．五、（本通满分13分）14．池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为，测得碑顶在水中倒影的俯角为（研究问题时可把碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，）.六、（本题满分14分）.15．若关于未知数x的方程（p、q是实数）没有实数根， 证明：如图，P为△ABC一边BC边上的高的垂足，而Q为BC边上的任一点， 又设AC为△ABC最短边，作这边上的高（如图），可知. 在上截取,在BC上截取，作.垂足为,连结.≌.四边形是矩形，，在中，，.2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷2002.04.07题号一二三四五六七八九总分分数一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分）1．函数中，自变量的取值范围是．2．若一个半径为㎝的扇形面积等于一个半径为㎝的圆的面积，则扇形的圆心角为．3．分式方程－＝2的解是．4．代数式x2－2xy＋3y2―2x―2y＋3的值的取值范围是．5．⊙O1、⊙O2的半径分别为2和3，O1O2＝9，则平面上半径为4且与⊙O1、⊙O2都相切的圆有个．6、若关于未知数x的方程＋＋＋＋＋＝的两根都是正数，则m的取值范围是．7．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC＝a，＝，则AD＝．8．平面内一个圆把平面分成两部分，现有5个圆，其中每两个圆都相交，每三个圆都不共点，那么这5个圆则把平面分成部分．9．在平坦的草地上有甲、乙、丙三个小球．若已知甲球与乙球相距5米，乙球与丙球相距3米，问甲球与丙球距离的取值范围？答：．10．计算所得的结果是．二、（本题满分12分）11．如图，已知A是直线l外的一点，B是l上的一点．求作：（1）⊙O，使它经过A，B两点，且与l有交点C；（2）锐角△BCD，使它内接于⊙O．（说明：只要求作出符合条件的一个圆和一个三角形，要求写出作法，不要求证明）三、（本题满分12分）12．如图，己知正三棱锥S—ABC的高SO＝h，斜高SM＝l．求经过SO的中点平行于底面的截面△A´B´C´的面积．四、（本题满分13分）13．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．五、（本题满分13分）14．甲、乙两船从河中A地同时出发，匀速顺水下行至某一时刻，两船分别到达B地和C地．已知河中各处水流速度相同，且A地到B地的航程大于A地到C地的航程.两船在各自动力不变情况下，分别从B地和C地驶回A地所需的时间为t1和t2．试比较t1和t2的大小关系．六、（本题满分14分）15．如图，在锐角内，有五个相邻外切的不等圆，它们都与角的边相切，且半径分别为r1、r2、r3、r4、r5．若最小的半径r1＝1，最大的半径r5＝81。求θ．七、（本题满分16分）16．过半径为r的圆O的直径AB上一点P，作PC⊥AB交圆周于C．若要以PA、PB、PC为边作三角形，求OP长的范围．八、（本题满分16分）17．设关于未知数x的方程x2―5x―m2＋1＝0的实根为α、β,试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．九、（本题满分16分）18．在重心为G的钝角△ABC中，若边BC＝1，∠A＝300，，且D点平分BC．当A点变动，B、C不动时，求DG长度的取值范围．2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷参考答案 一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．且2．60°3．4．5．36．7．8．229．相距大于等于2米而小于等于8米10．4006001 二、（本题满分12分） （1）作法：在l上取点C，（使∠CAB≠90°）经过A、B、C作⊙O，则⊙O就是所求. （2）作法：过O作BC的垂线交优弧BC于D，连结DC、DB、AB，则△BCD就是所求.三、（本题满分12分） 解：连结OM、OA，在Rt△SOM中，. 因为棱锥S—ABC正棱锥，所以O是等边△ABC的中心. , 四、（本题满分13分） 证明：设抛物线方程为，平行于抛物线的轴的直线方程为. 解方程组得 故抛物线方程为与平行于其轴的直线只有一个交点． 五、（本题满分13分） 解：若以、、、、、分别表示A～B航程、A～C航程、下行时间、在静水中甲船航速、乙船航速和水流速度，则有： ，从而 六、（本题满分14分） 解： 同理， 同理可得， 七、（本题满分16分） 解：不失一般性，令P在OB上，且,则有AP>BP，AP>PC. 若以AP、BP、PC为边作三角形，结合上面条件， 只须BP＋PC>AP,即, 又 又.代入（1）得, 解得：. ∴OP的取值范围是.八、（本题满分16分） 解：∵△ ∴不论m取何值，所给的方程都有两个不相等的实根. ∵, ∴,即. ∴ 当时，成立， ∴.（1） 当时，得， ∴.（2） 由（1）、（2）得. 九、（本题满分16分） 解：在图中30°的弓形弧BC，令MB⊥BC，NC⊥BC， 由题意知，A点在不含端点的BM、CN上. 且BD<AD<DM, 故， 但， .2003年武进区初中数学教师解题竞赛试题命题人：于新华一、选择题（每题6分）1、如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是（）A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能唯一确定2、如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，若△ABC的面积为S，则（）A、S＝1B、S＝2C、S＝3D、S的值不确定3、某工厂第二季度比第一季度的产值增长了x％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x％。则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A、2x％B、1＋2x％C、（1＋x％）x％D、（2＋x％）x％4、设P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是（）A、P＞QB、P＝QC、P＜QD、不能确定5、边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（）A、4个B、5个C、6个D、7个6、如果、是两个不相等的实数，且满足，，那么等于（）A、2003B、－20037、若实数x，y满足条件，则的最大值是（）A、14B、15C、16D、不能确定8、如图1，图中平行四边形共有的个数是（）A、40B、38C、36D、30（图1）（图2）（图3）9、如图2，矩形ABCD被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD的面积等于（）A、152B、143C、132D、10810、如图3，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD·DC等于（）A、6B、7C、12D、16二、填空题（每题6分）11、△ABC中，AB＝，AC＝2，BC边上的高为，则BC边的长为＿＿＿＿。12、锐角△ABC中，a＝1，b＝2，则c边的取值范围是＿＿＿＿（用不等式表示）。13、若a＋2b－3c＝4,5a－6b＋7c＝8，则9a＋2b－5c＝＿＿＿＿。14、一个游泳池的形状如下面左边第一个图所示，现在以固定的流量向游泳池内注水，那么能够大致表示水高h与时间t的关系应是在下面右边六个图像中的＿＿＿（填标号）。15、已知锐角△ABC中，∠A＝60°，BD和CE都是△ABC的高。如果△ABC的面积为12，那么四边形BCDE的面积为＿＿＿＿。三、解答题（每题12分）16、已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。17、如图，在直角坐标系xOy中，已知A（12,0），B（0,9），C（3,0），D（0,4），Q为线段AB上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P。问OP·OQ的值是否变化？证明你的结论。18、请设计一种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形。画出必要的示意图，并附以简要的文字说明。19、某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元和定额损耗费c元（c≤5）；若用水量超过时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1付b元的超额费。某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费用如下表所示：用水量（）交水费（元）一月份99二月份1519三月份2233根据上表的表格中的数据，求a、b、c。20、在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素对应相等，这两个三角形也未必全等。⑴试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长。⑵为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）。武进区初中数学教师解题竞赛试题参考答案一、选择题题号12345678910答案DADABDBCBB二、填空题11、4或212、13、2414、⑵15、9三、解答题16、解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k取什么实数均成立，只有解之得，17、解：点Q在线段AB上运动的过程中，OP·OQ的值是不变的。证明如下：连结DC、PC∵，∠COD＝∠BOA＝Rt∠∴△COD∽△BOA∴∠1＝∠A∵O、C、P、D四点共圆∴∠1＝∠2∴∠2＝∠A∵∠POC＝∠AOQ∴△POC∽△AOQ∵∴OP·OQ＝OC·OA＝3618、解：如图，在AD边上任取一点N，使点N不是边AD的中点。分别作出线段AN、DN的中点、，把△AB绕点旋转180°得△NM，再把△CD绕点旋转180°得△MN。这样由△MN、△MN以及四边形BC拼成了一个△MBC，显然这个三角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形。就是说，只要把当初的正方形ABCD沿B、C剪两刀，则得到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形。下面再提供几种裁剪方案（仔细揣摩吧，一些说明就省了）：19、解：设每月用水量为x，支付水费为y元。则由题意知：0＜c≤5∴0＜8＋c≤13从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元，故用水量15、22均大于最低限量a，将x＝15，x＝22分别代入②式，得解得b＝2，2a＝c＋19⑤再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设9＞a，将x＝9代入②，得9＝8＋2（9－a）＋c，即2a＝c＋17⑥⑥与⑤矛盾。故9≤a，则一月份的付款方式应选①式，则8＋c＝9，∴c＝1代入⑤式得，a＝10。综上得a＝10，b＝2，c＝1。20、解：⑴如下图，△ABC与△是相似的（相似比为），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的。⑵容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的。设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且不妨设a＜b＜c，由小△ABC到大△的相似比为k，则k＞1。∵△的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc∴在△ABC中，与△中两边对应相等的两条边只可能是b与c∵b＜c＜kc∴在△中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb∴∴由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（用高中的数学语言来讲，a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△ABC与△的相似比k。下面考虑相似比k所受到的限制：∵△ABC的三边长分别为，且a＞0，k＞1∴解之得1＜k＜（注：≈1.168）因此构造反例时，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再设定一个1～1.168之间的放大系数k，从而写出另外两条边的长。然后在△ABC的基础上，以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△的三边长。通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例。(2002.12.15)2003广州初中数学青年教师解题竞赛试卷一、填空（本题共有8小题，每小题5分，共40分）１．把多项式分解因式所得的结果是___________________．２．如果不等边三角形各边长均为整数，且周长小于13，那么这样的三角形共有_________个．３．函数中，自变量x的取值范围是_____________．４．若关于未知数x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为____．５．条件P:或，条件q:中，P是q的_______________条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中的一个）６．两个等圆相交于A、B两点，过B作直线分别交两圆于点C、D．那么△ACD一定是____________三角形．（要求以边或角的分类作答）７．一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的_________．８．不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是_____________．二、（本题满分12分）９．如图，已知点A在⊙O上，点B在⊙O外，·B·O·A求作一个圆，使它经过点B，并且与⊙O相切于点·B·O·A（要求写出作法，不要求证明）三、（本题满分12分）10．一次选拔考试的及格率为25%，及格者的平均分数比规定的及格分数多15分，不及格者的平均分数比规定的及格分数少25分，又知全体考生的平均分数是60分，求这次考试规定的及格分数是多少？四、（本题满分13分）11．有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每50米放一根，一辆汽车每次只能运3根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米？五、（本题满分13分）12．正实数a、b满足ab=ba，且a＜1，求证：a=b.六、（本题满分14分）13．已知m为整数，且12＜m＜40，试求m为何值时，关于未知数x的方程有两个整数根．M·B七、（本题满分14分）M·B·A14．如图，已知A、B是锐角α的OM·AαON两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么位置αON时，的值最小？八、（本题满分16分）15．已知抛物线的顶点在直线上，且这个顶点到原点的距离为，又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于，求此抛物线的解析式．九、（本题满分16分）16．已知△ABC是锐角三角形．⑴求证：2sinA＞cosB+cosC；⑵若点M在边AC上，作△ABM和△CBM的外接圆，则当M在什么位置时，两外接圆的公共部分面积最小？2005年武进区初中数学教师解题竞赛试题命题人：于新华一、选择题（每题6分）1、如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是（）A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能唯一确定2、如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，若△ABC的面积为S，则（）A、S＝1B、S＝2C、S＝3D、S的值不确定3、某工厂第二季度比第一季度的产值增长了x％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x％。则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A、2x％B、1＋2x％C、（1＋x％）x％D、（2＋x％）x％4、设P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是（）A、P＞QB、P＝QC、P＜QD、不能确定5、边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（）A、4个B、5个C、6个D、7个6、如果、是两个不相等的实数，且满足，，那么等于（）A、2003B、－2003C、1D、－17、若实数x，y满足条件，则的最大值是（）A、14B、15C、16D、不能确定8、如图1，图中平行四边形共有的个数是（）A、40B、38C、36D、30（图1）（图2）（图3）9、如图2，矩形ABCD被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD的面积等于（）A、152B、143C、132D、10810、如图3，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD·DC等于（）A、6B、7C、12D、16二、填空题（每题6分）11、△ABC中，AB＝，AC＝2，BC边上的高为，则BC边的长为＿＿＿＿。12、锐角△ABC中，a＝1，b＝2，则c边的取值范围是＿＿＿＿（用不等式表示）。13、若a＋2b－3c＝4,5a－6b＋7c＝8，则9a＋2b－5c＝＿＿＿＿。14、一个游泳池的形状如下面左边第一个图所示，现在以固定的流量向游泳池内注水，那么能够大致表示水高h与时间t的关系应是在下面右边六个图像中的＿＿＿（填标号）。15、已知锐角△ABC中，∠A＝60°，BD和CE都是△ABC的高。如果△ABC的面积为12，那么四边形BCDE的面积为＿＿＿＿。三、解答题（每题12分）16、已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。17、如图，在直角坐标系xOy中，已知A（12,0），B（0,9），C（3,0），D（0,4），Q为线段AB上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P。问OP·OQ的值是否变化？证明你的结论。18、请设计一种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形。画出必要的示意图，并附以简要的文字说明。19、某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元和定额损耗费c元（c≤5）；若用水量超过时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1付b元的超额费。某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费用如下表所示：用水量（）交水费（元）一月份99二月份1519三月份2233根据上表的表格中的数据，求a、b、c。20、在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素对应相等，这两个三角形也未必全等。⑴试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长。⑵为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰武进区初中数学教师解题竞赛试题参考答案一、选择题题号12345678910答案DADABDBCBB二、填空题11、4或212、13、2414、⑵15、9三、解答题16、解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k取什么实数均成立，只有解之得，17、解：点Q在线段AB上运动的过程中，OP·OQ的值是不变的。证明如下：连结DC、PC∵，∠COD