2021高考数学模拟测试卷（一）

2021年高考数学模拟测试卷

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知为虚数单位，若复数，则（）

A.B.C.D.或

【答案】C

【解析】

分析：根据表达式得，化简可求得，根据模的定义即可求得。

详解：

所以

所以选C

点睛：本题考查了复数的简单运算和模的定义，化简过程中注意共辗复数和符号的变化，是简单

题。

2.若集合，，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

集合，

故得到

故答案为：Bo

3.若椭圆的一个焦点的坐标是，则其离心率等于（）

A.2B..C..D.

【答案】D

【解析】

依题意可知，b=,a==1,.，.c==；.e==

故选B.

点睛：根据题意可知a和b,进而根据。=求得c,进而根据6=求得e.

4.2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来

的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方

阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不

仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有10位外国人，其中关注此次大阅

兵的有8位，若从这10位外国人中任意选取3位做一次采访，则被采访者中至少有2位关注此次

大阅兵的概率为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

至少有2位关注此次大阅兵的对立事件为恰有2位不关注此次大阅兵，根据对立事件的概率公式计

算概率.

【详解】

解：从这10位外国人中任意选取3位做一次采访，其结果为个，

恰有2位不关注此次大阅兵有个，

则至少有2位关注大阅兵的概率

故选:

【点睛】

本题考查排列组合的应用与占典概型，考查运算求解能力，属于基础题.

5.正方体笫-48K4中，£是棱4?上的动点，则直线4〃与直线，力所成的角等于（）

A.60°B.90°C.30°D.随点6的位置而变化

【答案】B

【解析】

'JA.DLAB,A八A",

平面AD\C、B,

又平面AD£、B,

.,.A.DLQE.

直线4〃与直线GE所成的角等于90°.选B.

6.已知tana=-2,则的值为（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

,所以原式

,故选A.

7.在平行四边形中，

则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算及向量的数量积计算可得.

【详解】

解:

,所以

故选：

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题.

8.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近

似值，首创“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,

这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的值为

()(参考数据:)

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【解析】

【分析】

根据程序框图运行程序，直到满足时输出结果即可.

【详解】

按照程序框图运行程序，输入

则，不满足循环:

,,不满足

,,满足，输出结果:

本题正确选项：

【点睛】

本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果，关键是能够准确判断是否满足输出条件，属于基础

题.

9.已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线

,则不等式的解集是（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角函数的变换规则求得的解析式，再根据余弦函数的性质解不等式即可.

【详解】

解：将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线,则

由,得得,则

,,得

故选：

【点睛】

本题考查三角函数的图象及其性质，考查推理论证能力与运算求解能力.

10.现有三条曲线:

①曲线;②曲线；③曲线.直线与其相切的共有

()

A.。条B.1条C.2条D.3条

【答案】D

【解析】

【分析】

分别求出函数的导数，根据导数的几何意义一一判断.

【详解】

解：若，则由，得，点在直线上，则直线

与曲线相切；

若则由，得,当时，点在

直线上，则直线与曲线相切；

若，则由，得,其中在直线上，所以

直线与曲线相切.

故选：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养，属于基础题.

11.设双曲线的左、右焦点分别为直线：

与双曲线在第一、三象限的渐近线的交点为，若,则双曲线的离心率

为（)

A.B.2C.D.

【答案】B

【解析】

由题可知双曲线C在第一、三象限的渐近线方程为联立方程组

设点0为坐标原点,

由A可知

化简得故选B.

12.已知函数为偶函数，当时，，则（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

令，贝!1，对求导，分析其单调性，

再根据指数函数的性质比较，的大小关系，根据函数的单调性判断大小/.

【详解】

解：,令

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

因为

所以当时,,且单调递增.

又,所以

在上单调递减，且

故.

故选：

【点睛】

本题考查函数的综合应用，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养，属于难题.

第n卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.中医药是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法

的医药学体系，是中华文明的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中成药的药物成份的含量

（单位：）与药物功效（单位：药物单位）之间具有关系：.检测这种药品一个

批次的5个样本，得到成份的平均值为，标准差为，估计这批中成药的药物功效的平均

值为药物单位.

【答案】92

【解析】

【分析】

由题可得，

进而可得，再计算出，从而得出答案。

【详解】

5个样本成份的平均值为，标准差为，所以，

即，解得

因为，

所以

所以这批中成药的药物功效的平均值药物单位.

【点睛】

本题考查求几个数的平均数，解题的关键是求出，属于一般题。

14.已知，，现有下列四个结论：

①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是.

【答案】②③

【解析】

【分析】

将指数式转化为对数式，再根据对数的运算性质验证.

【详解】

解：，，得，，，贝I

,.故所有正确结论的编号是②③.

故答案为：②③

【点睛】

本题考查指数、对数运算，考查运算求解能力与推理论证能力，属于基础题.

15.设，，分别为内角，，的对边.已知，则

的取值范围为.

【答案】

【解析】

【分析】

根据正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式可求角，由余弦定理知

根据余弦函数的性质求出范围.

【详解】

解：因为，所以，

所以

即又,所以

则，因为,所以，

而,故.

故答案为：：；

【点睛】

本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力本题是一个易错题，学生容易忽略不能

等于0,属于中档题.

16.设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，

,则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可求，故当且平面底面时，三棱锥的体积最大.分

别求出和外接圆的半径，即可求得外接球的半径与表面积.

【详解】

解：如图，由题意得,解得

当且平面底面时，三棱锥的体积最大.

分别过和的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心

,设和的外接圆半径分别为，，球的半径为，

则

故,球的表面积为

故答案为：

【点睛】

本题考查三棱锥的体积与球体的表面积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于难题.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第

17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分

17.在数列中，，，^

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)根据递推公式可得即是首项为2,公比为2的等比数列，即可

求出通项公式；

(2)由(1)可得，采用分组求和计算其前项和.

【详解】

解：⑴

又

是首项为2,公比为2的等比数列，

:.从而.

1(1V

(2)---,a„-----=2",/.a——=4",

4

.•.S,=4+2+4?+2+43+2+…+4”+2

=(4'+42+43+---+4)1)+2«

1-4

4n+1-4.

----------

3

4""+6〃-4

3

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式以及求和公式，属于中档题.

18.如图，在直三棱柱43C—DAF中，ZBAC=9Q°,4c3=30°,BE=BC=2,M，

N分别是BE,NC的中点.

(1)证明：MTV〃平面CZ>E.

（2）求直线4以与平面COE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

14

【解析】

【分析】

（1）取8的中点，连接NO,EO,可证四边形MEON是平行四边形，即得MN//EO,

即可证明线面平行.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦值.

【详解】

解：（1）证明：取的中点，连接NO,EO.

YN是AC的中点、，：.NO"ADHME.

是8E的中点，NOuME1,

...四边形"SON是平行四边形，，MN//EO.

；EOu平面CDE,W平面CDE,

MN〃平面CDE.

（2）解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z.

VZBAC=90°,ZACB=30°,

:.DE=AB=1,DF=AC=5

则。（0,0,0）,£（1,0,0）,C（0,V3,2）,4（0,0,2）,

则诙=（1,0,0）,DC=（0,V3,2）.

设平面CDE1的法向量为3=（x,y,z）,则小瓦=[.皮=0，即工=/1^+22=0，

令y=2,则z=—G，得3=（0,2,-6）.

设直线AM叼平面CDE所成角为6，•.•前=（1,0,-1）,

.•a—/另7-\_।A/川-8_

••sinu-cosIAM.RI—.—=-产—尸二-----，

\'\AM\\n\V2xV714

故W与平面CDE所成角的正弦值为叵.

14

【点睛】

本题考查线面平行的证明，线面角的计算，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.

19.已知直线x=2p与抛物线:(夕＞0)交于,0两点，且"。。的面积为16

(为坐标原点).

(1)求的方程.

(2)直线经过的焦点尸且不与X轴垂直,与交于，两点，若线段Z8的垂直平分线

\AB\

与X轴交于点，试问在X轴上是否存在点E,使舄为定值？若存在，求该定值及E的坐标；

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y2=4x

(2)存在，(1,0)

【解析】

【分析】

(1)将x=2p代入/=2*，得^=±20,即可表示出APO0的面积，计算可得P.

(2)设直线的方程为卜=后(》-9(左片0),联立直线与曲线方程，根据焦点弦长公式计算出

\AB\,求出线段23的垂直平分线与％轴交于点的坐标，设E&0),则|。阂可用含f,左的式

AB

子表示，即可分析当/为何值是FT为定值.

DE

【详解】

解：(1)将X=22代入=2px,得y=±2p,

所以APO0的面积为:x2px4p=4P2=16.

因为。＞0,所以2=2,

故的方程为歹2=4x.

(2)由题意设直线的方程为y=Mx-l"wO),

由二一1)'得上2/_(2左2+4卜+左2=0.

设力(石,凹),8(X2，%)，则再+/=2左：4,

K

4k2.L4

所以|AB|=演+/+P=------;——•

因为线段Z5的中点的横坐标为土上=空2,纵坐标为2,

2k2k

21(左2+2、

所以线段48的垂直平分线的方程为歹一7k=-7ky%--kn~-,

22

令y=0,得x=3+记，所以的横坐标为3+记，

设E(f,0),则阿=3+W—」°T)f+2|,

KK

网4左2+4

一西一|(37*+2「

\AB\/、

所以当且仅当3-/=2,即，=1时，涡为定值，且定值为2,故存在点E，且E的坐标为(1,0).

【点睛】

本题考查求抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合应用问题，属于中档题.

20.某城市有东、西、南、北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵,

交警部门记录了11月份30天内的拥堵情况(如下表所示，其中•表示拥堵，。表示通畅).假设

每个人口是否发生拥堵相互独立，将各入口在这30天内拥堵的频率代替各入口每天拥堵的概率.

11.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1011.1111.1211.1311.1411.15

东

入•OOOO•O••O•••O•

□

西

入OO••O•O*O•O••OO

□

南

入O•OOO•OOOOOOOO•

□

北

入*OOO•OO•OOOOO•O

口

11.1611.1711.1811.1911.2011.2111.2211.2311.2411.2511.2611.2711.2811.2911.30

东

入•OO•OOO••O•O•O•

□

西

入•O••O•O•O•O•O•O

口

南

入OOO•OOOO•OOOOO•

□

北

OO*OOOOOOOOOO•O

入

□

（1）分别求该城市一天中早高峰时间段这四个主干道的入口发生拥堵的概率.

（2）各人口一旦出现拥堵就需要交通协管员来疏通，聘请交通协管员有以下两种方案可供选择.方

案一：四个主干道入口在早高峰时间段每天各聘请一位交通协管员，聘请每位交通协管员的日费用

为/〃（135〈根＜175,且mH140）元.方案二：在早高峰时间段若某主干道入口发生拥堵，交

警部门则需临时调派两位交通协管员协助疏通交通，调派后当日需给每位交通协管员的费用为200

元.以四个主干道入口聘请交通协管员的日总费用的数学期望为依据，你认为在这两个方案中应该

如何选择？请说明理由.

【答案】（1）-

（2）当135〈加＜140时，应该选择方案一；当140〈加＜175时，应该选择方案二.

【解析】

【分析】

（1）根据所给数据利用古典概型的概率公式计算可得.

（2）计算出方案二聘请交通协管员的日总费的期望值，结合方案一比较分析.

【详解】

解：（1）将东、西、南、北四个主干道入口发生拥堵的情况分别记为事件，

则尸（2）=尸⑻=P（C）=P（0=W

（2）对于方案二，设四个主干道聘请交通协管员的日总费用为X，

则X的可能取值为0，400,800,1200,1600.

P（X=400）=；x（lx2+1x2=。

rl「Th5100

2

1—；433

尸（X=800）=X—=-------

5100

1

P（X=1200）=

2

P（X=1600）

故E(X)=0x生

+400x—+800x—+1200x—+1600x—=560元.

''100100100100100

对于方案一，四个主干道聘请交通协管员的日总费用为4〃?元,

当135〈优<140时，4m<560•应该选择方案一;

当140<加<175时，4m>560,应该选择方案二.

【点睛】

本题考查古典概型的概率计算问题，以及离散型随机变量的分布列、期望的计算，属于中档题.

21.设函数/(x)=axlnx+,(<7>0).

(1)当。=1时，求的极值；

(2)如果“X)》⑪在(0,+8)上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】有极小值/(1)=1，没有极大值；(2)(0,：.

【解析】

试题分析：(1)当。=1时，求导令导函数等于零，列表，通过友格找到函数极值即可；(2)求

恒成立问题一般要分离参数，构造函数求其最小值，只需最小值大于零即可求出取值范围.

试题解析：(1)由已知，当。=1时，/(x)=xlnx+L；./'(x)=lnx+l-：，

17

/"(x)=—+二>0

xx

.•./'(X)在(0,+8)上单调递增，且/'(1)=0,

/'(X),随X变化如下表:

X1(1,+°°)

/'(X)-0+

极小值/

有极小值/(1)=1,没有极大值.

(2)(方法一)由题可得a。—lnx)4(•恒成立,

当xNe时，上式恒成立;

乂Q>0,故，2工2（］_1）

当0<x<e时,a<—-------rnx

x2(l-lnx)a

令〃(x)=%2(1Tll',则=-21n%),令I(%)=0，

，当时，，G<x<c时，"（x）<0,

•・"（x）max==e（l-ln&）、，

.--->4,解得：，二的取值范围是.

a2

（方法二）由题可得，设，则

'：a>0,在(0,+oo)上单调递增，，

(1

3xGl,ea使得g'(xo)=o,则a=—,

0IJ/一叫

由a>0知/>1,且0cxe飞时,g,(x)<0,x>x(,时，g,(x)>0,

♦•♦g(x)min=g(Xo)=^^N。，/.lnx0>1,：.xQ>^<：.a<-,

xon\xo2e

的取值范围是

（方法三）由题可得/9。一。=々111¥+4~-。20恒成立，

XX

令〃(x)=(21nx+J-4

<0,

22

Aln->l,解得：Q«一,・・・的取值范围是

ae

（二）选考题：共10分,请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

73

八1

/=I1+cos0x=---2-

已知曲线G：｛.八（。为参数），c2：｛:（/为参数）

y=sin62V3