平面向量的概念及线性表示

第1课时平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有

又有

的量叫做向量，向量的大小叫做向量的

(或称

)．(2)零向量：

的向量叫做零向量，其方向是

的，零向量记作

．(3)单位向量：长度等于

个单位的向量．大小方向长度模长度为0任意01(4)平行向量：方向相同或

的

向量；平行向量又叫

向量．规定：0与任一向量

．(5)相等向量：长度

且方向

的向量．(6)相反向量：长度

且方向

的向量．[思考探究]若把平面内所有的单位向量的起点移到同一个点，它们的终点组成什么图形？提示：

以所给点为圆心，以1为半径的圆．相反非零共线平行相等相同相等相反2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算

法则

法则(1)交换律：a＋b＝

.(2)结合律：(a＋b)＋c＝

.减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

法则三角形平行四边形三角形b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝

．(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向

；当λ＜0时，λa的方向与a的方向

；当λ＝0时，λa＝

.λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝

；λ(a＋b)＝

.|λ||a|相同相反0λa＋μaλa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得

．b＝λa课堂练习

1．下列命题正确的是(

)A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点C．a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行解析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，所以应选C.答案：

C答案：

B答案：

A4．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．答案：

2

其中不正确的个数是(

)A．2

B．3C．4 D．5解析：两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；③、④正确；零向量与任一非零向量都平行，当b＝0时，a与c不一定平行，故⑤不正确．答案：

B涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．1.给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．(3)λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．(4)λ、μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：

(1)错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．(2)正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．(3)错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.(4)错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．答案：

C答案：

D1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量．2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．答案：

Ba∥b⇔a＝λb(b≠0)是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．证明三点A、B、C共线，借助向量，只需证明由这三点A、B、C组成的所有向量中有两个共线即可，即这两个向量之间存在唯一一个实数λ，使a＝λb(b≠0)即可．

1．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．2．向量共线的充要条件常用来证明平面几何中的三点共线和两直线平行等问题．但是，向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情形．在证明三点共线或两直线平行时，可先探索有关向量满足b＝λa(a≠0)，再结合条件或图形有无公共点确定其几何位置.从近两年的高考试题来看，向量的线性运算、共线问题是高考的热点．尤其向量的线性运算出现的频率较高，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题目，主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理交汇命题．知识掌握不熟致误·名师点拨增分答案：

(－4，－2)错因分析不明确两向量方向相反的条件，而导致错误，还有时把|a|误写成5λ2.备考建议建议在学习中要加强对向量基本知识的记忆与掌握，熟知向量运算的法则，特别是平面向量基本定理和向量共线的充要条件，更要引起高度的重视.已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，