（三年模拟一年创新）高考数学复习 第四章 第四节 解三角形 文（全国通用）试题

【大高考】（三年模拟一年创新）2016届高考数学复习第四章第四节解三角形文（全国通用）A组专项基础测试三年模拟精选选择题1．(2015·湛江市调研)在△ABC中，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA＝－eq\f(3,5)，B＝eq\f(π,6)，b＝1，则a＝()A.eq\f(8,5) B.eq\f(4,5) C.eq\f(16,5) D.eq\f(5,8)解析由题意得，0＜A＜π，sinA＞0，故sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(4,5).由正弦定理知，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)⇒a＝sinA×eq\f(b,sinB)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,sin\f(π,6))＝eq\f(8,5).答案A2．(2015·常德市期末统考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝9，b＝6，A＝60°，则sinB＝()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3) C.eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)解析由正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得：sinB＝eq\f(\r(3),3).答案C3．(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC可整理为sin2BsinAcosB＝sin2AcosAsinB，∵A，B为△ABC内角，∴sinA≠0，sinB≠0，故sin2A＝sin2B，即2A＝2B或2A＝180°－2B，即A＝B或A＋B＝90°.答案D4．(2014·四川成都模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b2＝a2－ac＋c2，C－A＝90°，则cosAcosC等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(\r(2),4)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(\r(2),4)解析依题意得a2＋c2－b2＝ac，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(ac,2ac)＝eq\f(1,2).又0°＜B＜180°，所以B＝60°，C＋A＝120°，又C－A＝90°，所以C＝90°＋A，A＝15°，cosAcosC＝cosAcos(90°＋A)＝－eq\f(1,2)sin2A＝－eq\f(1,2)sin30°＝－eq\f(1,4)，选C.答案C5．(2013·广东佛山调研)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，BA．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m解析在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，AB＝50eq\r(2)(m)．答案A一年创新演练6.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出四种测量方案，(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a；④测量a，b，B，则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为()A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④解析选项①，在△ABC中，B＝π－(A＋C)，所以sinB＝sin(A＋C)，由正弦定理得eq\f(b,sin（A＋C）)＝eq\f(c,sinC)，所以c＝eq\f(bsinC,sin（A＋C）)；选项②，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以c＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)；选项③，在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sin（A＋B）)，所以c＝eq\f(asin（A＋B）,sinA)；选项④，用余弦定理cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)解得的c，可能有两个值．答案A7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2eq\f(A＋B,2)－cos2C＝eq\f(7,2)，且a＋b＝5，c＝eq\r(7)，则△ABC的面积为________．解析因为4sin2eq\f(A＋B,2)－cos2C＝eq\f(7,2)，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝eq\f(7,2)，2＋2cosC－2cos2C＋1＝eq\f(7,2)，cos2C－cosC＋eq\f(1,4)＝0，解得cosC＝eq\f(1,2).根据余弦定理有cosC＝eq\f(1,2)＝eq\f(a2＋b2－7,2ab)，ab＝a2＋b2－7，3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6，所以△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)ab·sinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).答案eq\f(3\r(3),2)B组专项提升测试三年模拟精选一、选择题8．(2015·济南一中检测)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，A为锐角，lgb＋lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)))＝lgsinA＝－lgeq\r(2)，则△ABC为()A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析由lgb＋lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)))＝lgeq\f(b,c)＝－lgeq\r(2)＝lgeq\f(\r(2),2)，得eq\f(b,c)＝eq\f(\r(2),2)即c＝eq\r(2)b，由lgsinA＝－lgeq\r(2)，sinA＝eq\f(\r(2),2)，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA得a＝b，故B＝A＝45°，因此C＝90°.答案D9．(2015·湖南十二校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanA＝7tanB，eq\f(a2－b2,c)＝3，则c＝()A．4 B．3 C．7 D．6解析由tanA＝7tanB可得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(7sinB,cosB)，即sinAcosB＝7sinBcosA，所以sinAcosB＋sinBcosA＝8sinAcosA，即sin(A＋B)＝sinC＝8sinBcosA，由正、余弦定理可得c＝8b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，即c2＝4b2＋4c2－4a2，又eq\f(a2－b2,c)＝3，所以c2＝4c，即c＝4.故选A.答案A二、解答题10．(2014·广东茂名一模)如图，角A为钝角，且sinA＝eq\f(3,5)，点P，Q分别是角A的两边上不同于点A的动点．(1)若AP＝5，PQ＝3eq\r(5)，求AQ的长；(2)设∠APQ＝α，∠AQP＝β，且cosα＝eq\f(12,13)，求sin(2α＋β)的值．解(1)∵∠A是钝角，sinA＝eq\f(3,5)，∴cosA＝－eq\f(4,5)，在△AQP中，由余弦定理得PQ2＝AP2＋AQ2－2AP·AQcosA，∴AQ2＋8AQ－20＝0，解得AQ＝2或－10(舍去)，∴AQ＝2.(2)由cosα＝eq\f(12,13)，得sinα＝eq\f(5,13).在△APQ中，α＋β＋A＝π，又sin(α＋β)＝sin(π－A)＝sinA＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－cosA＝eq\f(4,5)，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝eq\f(5,13)×eq\f(4,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＝eq\f(56,65).11．(2013·济南一中检测)在△ABC中，已知(sinA＋sinB＋sinC)·(sinB＋sinC－sinA)＝3sinBsinC.(1)求角A的值；(2)求eq\r(3)sinB－cosC的最大值．解(1)∵(sinA＋sinB＋sinC)(sinB＋sinC－sinA)＝3sinBsinC，由正弦定理得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)由A＝eq\f(π,3)，得B＋C＝eq\f(2π,3)，∴eq\r(3)sinB－cosC＝eq\r(3)sinB－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝eq\r(3)sinB－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)cosB＋\f(\r(3),2)sinB))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，∵0＜B＜eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,6)＜B＋eq\f(π,6)＜eq\f(5π,6)，当B＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即B＝eq\f(π,3)时，eq\r(3)sinB－cosC的最大值为1.一年创新演练12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为eq\f(\r(3),6)a，则eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)的最大值是()A．8 B．6C．3eq\r(2) D．4解析eq\f(b,c)＋eq\f(c,b)＝eq\f(c2＋b2,bc)，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA＝eq\f(c2＋b2－a2,2bc)①，而条件中“高”容易联想到面积，a·eq\f(\r(3),6)a＝bcsinA，即a2＝2eq\r(3)bcsinA②，将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋eq\r(3)sinA)，∴eq\f(b,c)＋eq\f(c,b)＝2(cosA＋eq\r(3)sinA)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，当A＝eq\f(π,3)时取得最大值4.答案D13．在△ABC中，BC＝2，A＝eq\f(2π,3)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o