一元二次方程及应用

第8讲一元二次方程及应用考点・梳理知识点【梳理】1.一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程.一般形式为ax2＋bx+c=0（a≠0）.其中二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c.2.一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.考点1一元二次方程的有关概念及解法

配方法的一般步骤：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为（x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解.（3）公式法：用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的求根公式是（4）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.它的理论依据是两式相乘积为0时至少有一个因式为0.因式分解法的步骤：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.4.解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外），但又必须熟练掌握.解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法.1.把一元二次方程3x2+1=7x化成一般形式是____________________.2.方程（m-2）xn-1+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m_____，n________.3.方程axa-2=0是关于x的一元二次方程，则方程的根为________.典例精析3x2-7x+1=0≠2=324.把方程x2+6x+3=0变形为（x+h)2＝k的形式后，h=_____,k=_____.5.把方程x2-2x-1=0配方后可得_____________,然后开平方可得_______________.6.用公式法解方程x2+4x-2=0,可直接写出x=_________________.7.把方程x2+x-2=0用因式分解法可化先化为_____________________,然后求得方程的根是______和________.36(x-1)2=2

(x-1)(x+2)=01－2【梳理】1.一元二次方程根的判别式（1）根的判别式：在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，Δ=b2-4ac叫做它的根的判别式.（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与根的判别式之间的关系是：①Δ＞0方程有两个不相等的实数根；考点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系②Δ=0方程有两个相等的实数根；③Δ＜0方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系：设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=________，x1x2=_______.3.以两个实数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1＋x2）x＋x1x2＝0.

1.在方程3x2-6x+2=0中，Δ=(-6)2-4×3×2=12>0,方程有_________________的实数根.2.在设x1，x2是方程2x2+8x-2=0的两根，则x1+x2=____，x1·x2=___，x12+x22=_______.3.已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为－3和－1，则p=______,q=_____.典例精析两个不相等-4-11843【梳理】1.运用一元二次方程解决简单的实际问题.2.了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想.一元二次方程的应用考点3某种商品经过两次降价后，价格为降价前的64%，则平均每次降价______%.典例精析20考点・聚焦宁夏中考

命题点1一元二次方程的解法C2.(2013·宁夏)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（）A.-1B.0C.1和2D.-1和2D3.(2018·绍兴)解方程x2-2x-1=0.补充加练4.由多项式乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)尝试：分解因式：x2+6x+8=(x+_______)(x+_______)；(2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.解：x2-3x-4=x2+(-4+1)x+(-4)×1=(x+1)(x-4)=0，∴x+1=0或x-4=0，∴x1=-1,x2=4.24

一元二次方程根的判别式命题点2

D

D8.（2018·山西）下列一元二次方程中，没有实数根的是()A.x2-2x=0B.x2+4x-1=0C.2x2-4x+3=0D.3x2=5x-2补充加练C9.(2018·娄底)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是()A.有两不相等实数根B.有两相等实数根C.无实数根D.不能确定10.(2018·聊城)若关于x的方程(k-1)x2-2kx+k-3=0有两个相等的实根，则k的值是________.A

一元二次方程根与系数的关系命题点3A12.(2018·宜宾)一元二次方程x2-2x=0的两根分别是x1、x2，则x1x2为（）A.-2B.1C.2D.013.(2018·江西)若一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1、x2，则x21-4x1+2x1x2的值为___________.补充加练D2

3-2

16.（2018·宁夏）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是()A.300（1+x）=507B.300（1+x）2=507C.300（1+x）+300（1+x）2=507D.300+300（1+x）+300（1+x）2=507一元二次方程的应用命题点4B17.(2015·宁夏)如图，某小区有一块长为18m，宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为xm，则可以列出关于x的方程是()A.x2+9x-8=0B.x2-9x-8=0C.x2-9x+8=0D.2x2-9x+8=0C18.(2018·绵阳)酒会上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，则参加酒会的有()A.9人B.10人C.11人D.12人补充加练C19.(2018·宜宾)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为()A.2%B.4.4%C.20%D.44%C20.(2018·盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.(1)若降价3元，则平均每天销售数量为______件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元?26解：（1）26