2022届烟台市重点高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知双曲线=1（。＞0力＞0）的离心率为g抛物线y2=2p；c（p＞0）的焦点坐标为（1,0）,若e=p,则双曲

线C的渐近线方程为（）

A.y=B.y=±2A/2X

C.y=±旦D-y=±4X

2

2.已知点A（x，y）,3（%,%）是函数/（x）=a6+加2的函数图像上的任意两点，且＞=在点

后至■，/［北爱处的切线与直线平行，贝人）

A.。=0,5为任意非零实数B.h=0,a为任意非零实数

C.a、b均为任意实数D.不存在满足条件的实数a,b

3.如图，在四边形ABC。中，AB=1,BC=3,ZABC=120°,ZACD=90°,NS4=60°,则BO的长度

为（）

B.25/3

D.拽

3

4.如图，在等腰梯形ABC。中，ABIIDC,AB=2DC=2AD=2,NZMB=60。，E为AB的中点，将

与ASEC分别沿E。、EC向上折起，使A、8重合为点F,则三棱锥尸-OCE的外接球的体积是（）

32

C.-71D.—71

23

5.设1/U)是定义在R上的偶函数，且在(0,+8)单调递减，则()

3<,4403

A./(log30.3)>/(2-°-)>/(2-)B./(log3().3)>/(2-0-)>/(2-)

03443

C./(2-)>/(2-°-)>/(log3().3)D./(2-°-)>/(2-0)>/(log3().3)

1+z

6.已知复数z=l-i,I为z的共物复数，则一=()

3+z1+z1-3/l+3z

A.——B.——C.-------D.—

2222

项和为S.5=",S3=7

7.已知正项等比数列｛q｝的前〃则aa-・•。”的最小值为()

27,{2

A.(^-)2B.小户/4、4白

C.(―4D.

27272727

8.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S.，若4=12,55=90,则等差数列｛4｝公差"=()

3

A.2B.-C.3D.4

2

9.已知函数f(x)=sin[s+?kxeR,。＞0)的最小正周期为兀，为了得到函数g(x)=coss的图象，只要将

y=/(x)的图象()

向左平移£个单位长度TT

A.B.向右平移夕个单位长度

O

兀7T

C.向左平移7个单位长度D.向右平移了个单位长度

4

10.“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数〃，如果"为偶数就除以2,如果〃是奇数，就将其乘3再加

1,执行如图所示的程序框图，若输入“=10,则输出i的()

/输H"/

r^r)

A.6B.7C.8D.9

11.已知复数z=a+i,aeR,若|z|=2,则a的值为()

A.1B.V3C.±1D.土也

12.已知｛为｝为正项等比数列，S“是它的前”项和，若q=16,且％与%的等差中项为2,则S5的值是(

O

A.29B.30C.31D.32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

b_i_「

13.已知函数/(6=加+加+5,若关于1的不等式/(力＜0的解集是(-8,-1)50,2),则——的值为

a

14.设等差数列｛a,,｝的前〃项和为S“，若S3=6,S7=28,则a“=____,的最大值是______.

3”+4

15.已知数列｛6,｝满足4=1,且%=0恒成立，则&的值为.

16.已知x,yeR,i为虚数单位，且(x-2)i-y=-l+i,贝ijx+y=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在四棱锥P-ABCD中，底面A8CD是平行四边形，底面

ABCD,PD=AD=1,AB=6sin/A8O=手.

(1)证明：PA±BD；

（2）求二面角A—PB—C的正弦值.

18.（12分）已知数列｛%｝的各项均为正数，S“为其前〃项和，对于任意的〃GN*满足关系式2s“=3。”-3.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

,、，13

（2）设数列｛4｝的通项公式是包--------------,前“项和为刀,，求证：对于任意的正数〃，总有7；〈二.

l°g3an.l°g3an+24

X=1+2COS6Z

19.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程是｛—.（。为参数），以原点。为极点，x轴正

y-2sma

半轴为极轴，建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕cos（e+?）=&.

（I）求曲线C的普通方程与直线/的直角坐标方程；

（II）已知直线/与曲线C交于A,B两点,与X轴交于点P,求4HpB|.

3乃1

20.（12分）已知在平面四边形ABC。中，ZABC=——,4BJ.AO,AB=1,AA5C的面积为一.

42

（1）求AC的长；

而

（2）已知。。=士，/AOC为锐角，求

2

21.（12分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%,则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖

生猪的相关数据如下表所示：

月份1月2月3月4月5月6月7月8月

月养殖量/千只33456791012

月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1

生猪死亡数/只293749537798126145

（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；

（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.

（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该

月利润约为多少万元？

一加反

附：线性回归方程夕=G+1x中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：6=与----------，a=y-bx

一就2

/=1

88

参考数据：»；=460,ENX=379.5.

Z=1i=\

22.（10分）如图，四棱锥P—ABC。中，底面为直角梯形，AB//CD,ZBAD=90°,AB=2CD=4,PA1CD,

在锐角△B4O中，E是边PD上一点,且AD=PD=3ED=3日

(2)当班的长为何值时，AC与平面PCO所成的角为30。？

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a,b关系，即可得到双曲线的渐近线方程.

【详解】

抛物线y?=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=2,

又e=p,所以e=£=2,可得。2=4层=。2+",可得：b=@,所以双曲线的渐近线方程为：y=±&x.

a

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用.

2.A

【解析】

求得了(X)的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得。=0,人为任意非零实数.

【详解】

X1+xX]+x

依题意/,（司=；2+2云，y=在点22处的切线与直线A8平行，即有

22

+g+x2)=京+叱-aRbx；

Xf+Xx—X)

2.22

2

/3⑸+所以a

国内+犬）=6+5，由于对任意上式都成立，可得a=0,〃为非

々一玉

零实数.

故选：A

【点睛】

本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题.

3.D

【解析】

设NACB=a,在AABC中，由余弦定理得AC?=］（）一6cosl2（T=13,从而求得CO,再由由正弦定理得

ABAC

,求得sina,然后在AfiCZ）中，用余弦定理求解.

sinasin120°

【详解】

设NACB=a,在AABC中，由余弦定理得AC?=10—6cosl200=13，

则AC=JR,从而CO=

.ABAC0n.Ji

由正弦定理得---=..…c，即sina=,

smasin120°2J13

-JT,

从而cosNBCD-cos(90°+a)=-sina=,

1349

在AfiCO中，由余弦定理得：BD2=9+—+2x3x

3T

则如孚

故选：D

【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

4.A

【解析】

由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积.

【详解】

由题意等腰梯形中公4=AE=E5=BC=C£),又=60。，,AAED,ABCE是靠边三角形,从而可得

。石=CE=CZ),...折叠后三棱锥b—£>EC是棱长为1的正四面体，

设"是ADCE的中心，则平面。CE,DM=-x—xl=—,FM=\JFD2-DM2=—»

3233

R—DCE外接球球心。必在高FM上，设外接球半径为R,即0/=0。=7?,

:・片=件一玲2+(与2,解得宠=手，

球体积为V=—7iR3=—TTXn.

3348

故选：A.

【点睛】

本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体.

5.D

【解析】

利用/(X)是偶函数化简〃log3().3),结合/(X)在区间(0,+8)上的单调性，比较出三者的大小关系.

【详解】

•••/(x)是偶函数，41%0.3)=/(-log3y)=/(log3y),

而10g,y>l>25>244>0,因为/(X)在(0,+00)上递减，

34

.­./(log3y)</(2^)</(2^),

即/(log3().3)</(2«3)</(25).

故选:D

【点睛】

本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.

6.C

【解析】

求出三，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.

【详解】

l+z_2-z_l-3<

2

故选：C

【点睛】

本题考查复数的代数形式的四则运算，共转复数，属于基础题.

7.D

【解析】

]7

由§2=3，邑=方，可求出等比数列｛4｝的通项公式%=—，进而可知当1W〃W5时，41；当〃26时，。“>1,

92727

从而可知…4的最小值为4a2a34%，求解即可.

【详解】

设等比数列｛%｝的公比为4,则。>0,

24

1

44=—

1

由题意得，a3=S3-S2=一，得<4+49=3,解得'27.

q>04=2

当时，。〃<1；当〃之6时，。〃>1,

4

55

则4a2…4的最小值为“a2a3aM=(«3)=(―)-

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

8.C

【解析】

根据等差数列的求和公式即可得出.

【详解】

Vai=12,Ss=90>

5x4

A5x12+------d=90,

2

解得d=l.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

9.A

【解析】

由/(x)的最小正周期是〃，得0=2,

即/(x)=sin(2x4--)

4

71(八乃、

=cos-------

L2I功

(乃、

=cos2x----

I4)

=cos2(x--),

TT

因此它的图象向左平移一个单位可得到g(x)=cos2x的图象.故选A.

8

考点：函数/(x)=Asin(3x+0)的图象与性质.

【名师点睛】

三角函数图象变换方法:

法一法：

画出片3nM的图像画出厂sinx的图像

M禁急产上移⑹个"7

横坐标变为版*的古侪

得到片sin（«+牛）的图像得到广sin3的图像

横坐标变为原米的惠倍I夕I

平移㈤个必位

得到也s|n（3*+p）的图像卜----4得到yfin（的图像

纵坐标变为原来的八倍纵坐标变为原来的八倍

得到片A：n（3z+<?）的图像卜・得到广4s!n（3”"）的图像|

10.B

【解析】

模拟程序运行，观察变量值可得结论.

【详解】

循环前，=1,〃=10,循环时：〃=5,i=2,不满足条件〃=1；"=16"=3,不满足条件〃=1；〃=8,i=4,不满

足条件〃=1；"=4,i=5,不满足条件〃=1；〃=2"=6,不满足条件〃=1；〃=1"=7,满足条件〃=1,退出

循环，输出i=7.

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论.

11.D

【解析】

由复数模的定义可得：|Z|=J7W=2,求解关于实数”的方程可得：a=±百.

本题选择O选项.

12.B

【解析】

设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计

算即可得到所求.

【详解】

设正项等比数列的公比为q,

则a4=16q3,a7=16q6,

加与a7的等差中项为?9，

O

即有34+37=—,

4

9

即16q3+16q6,=—，

4

解得q=J(负值舍去)，

则吐

l—qi-l

2

故选C.

【点睛】

本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-3

【解析】

h4-c

根据题意可知G：2+"+C=O的两根为—1,2,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解——即可.

a

【详解】

解：因为函数/(工)=以34-Zzx2+cx=x^ax1+bx+c),

・・・关于x的不等式/(x)<0的解集是(f,-1)"0,2)

ox?+匕％+c=O的两根为：T和2；

b

所以有：(T)+2=——且(-1)x2二一；

aa

b=-a且c~~-2a；

b+c—a—2a

----=-------=-3；

aa

故答案为：-3

【点睛】

本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系，属于基础题.

I

14.«—

7

【解析】

利用等差数列前〃项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列｛%｝的通项公

a.+a4+a

式，可求出七之的n表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出」「n的最大值.

3〃+4J”+4

【详解】

,、fSq=34+3d=6fa=1

⑴设等差数列4的公差为d,贝U二r“，解得｛,,

，J⑸=7q+21d=28[d=l

所以，数列｛%｝的通项公式为4=4+(〃-1)d=〃；

力g_〃(％+%)_〃(〃+1).4+4=2(1+〃)

S'=―L=-i1一(〃+5)(〃+4)'

q+_2t_2

令，=〃+1,贝！U22且feN,S_4_«+4)«+3)―(+口+7,

t

由双勾函数的单调性可知，函数y=f+?+7在40,2回时单调递减，在“(26,+8)时单调递增，

a,+a„1

当「=3或4时，取得最大值为三.

S,17

故答案为：〃；—.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式、前〃项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

15.—

16

【解析】

11c,1.

易得--------=3,所以｛一｝是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可.

明4an

【详解】

11c,1,

由已知，a,尸0，因+%-4=0,所以--------=3,所以数列｛一]是以

an+\anan

工=1为首项，3为公差的等差数列，故,=1+(6-l)x3=16,所以4=-L

q416

故答案为：—

16

【点睛】

本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.

16.4

【解析】

解：利用复数相等，可知由x-2=l,y=l有x+y=4.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(1)见解析(2)-

3

【解析】

(1)利用正弦定理求得sinNADB=l,由此得到NAZ)B=90=>BDLA。，结合证得80,平面PAD,

由此证得Q4,瓦).

(2)建立空间直角坐标系，利用平面和平面PBC的法向量，计算出二面角A-PB-C的余弦值，再转化为正

弦值.

【详解】

ABAD

(1)在△AS。中，由正弦定理可得:

sinZADB~sinZABD

sinZADB=gsm/A'Q.ZADB=90°..BDLAD,

AD

底面ABC。，：.PD±BD,

平面PAO,

:.PA±BDi

(2)以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，•.•PD=A。=1,43=石，:.BD=2,

：.A(l,0,0),B(0,2,0),C(-l,2,0),P(0,0,1),AB=(-1,2,0),CB=(l,0,0),PB=(0,2,-1)

心=°可得」一元+2y=0一

设平面ABP的法向量为"=(x,y,z),由，,令y=l,则〃=(2J2),

元•PB-02y-z=(J

in-CB=0X.=0_

设平面PBC的法向量为"2=(%,如4),由,一一可得:C八，令弘=1，则m=(0,1,2),

m-PB=0[2y-4=0

设二面角A—P6-C的平面角为。，由图可知。为钝角,

5_V5

则cos0=-|cos<m,n>|m-n

1\m\*-\n—,\

sine=Jl—cos*=故二面角A-PB-C的正弦值为一.

33

c

【点睛】

本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

n

18.(1)an=3(2)证明见解析

【解析】

(1)根据公式4,=得到%=(〃22),计算得到答案.

(2)bn=M---M,根据裂项求和法计算得到+!一一二一一二］,得到证明.

+2n+ln+2J

【详解】

(1)由已知得(〃22)时，2(S,一5,1)=34—3%-1，故%=3a,i(〃之2).

故数列｛%｝为等比数列，且公比4=3.

又当”=1时，2q=3q-3,.,.4=3.r.a“=3".

八11If11

(2)b｝=---------------------=------------=---------------.

"log3tz„-^3^2〃(〃+2)2(〃n+2)'

=-1+--------------------<-.

2(2〃+1n+2)4

【点睛】

本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

19.(1)(x-l)2+y2=4,直线1的直角坐标方程为*一7一2=0；(2)3.

【解析】

⑴消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数

方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于/的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求

解.

【详解】

⑴由曲线C的参数方程F=l+2co(a为参数)nf-1=26，"'(a为参数),

ly=2sin«ly=28ina

两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x—l)2+y2=4；

由直线1的极坐标方程可得pcosOcos-j-psin0si/t-j-=^^>pcosO—psi//0=2,

即直线1的直角坐标方程为x-y-2=0.

fx=2+^t.

(2)由题意可得P(2,0),则直线1的参数方程为I(t为参数).

设A,B两点对应的参数分别为ti,t2,则少卜腿|=同悯,

fx=2+^t,

将IL(t为参数)代入(x-l)2+y2=4,得t2+或t-3=0,

则A>0,由韦达定理可得t/t2=-3,所以|PAHPB|=|-3|=3.

20.(1)石；(2)4.

【解析】

(1)利用三角形的面积公式求得忸。|,利用余弦定理求得|AC|.

(2)利用余弦定理求得cosNC4B,由此求得si/NZMC,进而求得s%NA£>C,利用同角三角函数的基本关系式求

得tanZADC.

【详解】

(1)在AABC中，由面积公式：

S.ABC=；XIX忸qXsinZABC=乎x忸C|=；

.•.忸

在△ABC中，由余弦定理可得：