2023-2024学年北京市海淀区高一上学期期中数学学情检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年北京市海淀区高一上学期期中数学学情检测模拟试题本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设集合，，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．若方程组的解为，则（

）A．， B．，C．， D．，3．命题“，使得”的否定是（

）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得4．下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．函数f（x）=x3+2x-5的零点所在的一个区间是（）A． B． C． D．6．设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（

）A．<< B．<<C． D．8．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为A． B．C． D．9．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象.给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本.其中，正确的说法是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数的定义域为.12．若，则函数的最小值为.13．已知､分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则.14．函数在上满足若，则，求实数a的取值范围.15．关于函数的性质描述，正确的是.①定义域为；②值域为；③为定义域内的增函数；④的图象关于原点对称.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知全集U=R，集合P={x|x（x-2）≥0}，M={x|a＜x＜a+3}．（1）求集合∁UP；（2）若a=1，求集合P∩M；（3）若∁UP⊆M，求实数a的取值范围．17．解下列关于x的不等式.(1)；(2).18．已知函数.(1)求；(2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(3)证明是奇函数.19．2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式通车．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函效．当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量可以达到最大？并求出最大值．（车流量指：单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）．20．已知二次函数.(1)若函数的零点是和1，求实数b，c的值；(2)已知，设、关于x的方程的两根，且，求实数b的值；(3)若满足，且关于x的方程的两个实数根分别在区间，内，求实数b的取值范围.21．对于区间[a,b](a<b),若函数同时满足：①在[a,b]上是单调函数，②函数在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数的“保值”区间（1）求函数的所有“保值”区间（2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由1．D【分析】由子集的定义判断.【详解】集合，，M中的所有元素都是N中的元素，可得.故选：D2．B【分析】将方程组的解代入求参数即可.【详解】由题设.故选：B3．C【分析】根据特称量词命题否定的法则即可.【详解】对于的否定为，对于的否定为；故选：C.4．B【分析】根据不等式的性质，对选项进行判断.【详解】若，当时，不成立，A选项错误；若，可知，则有，B选项正确；若，当时，有，C选项错误；若，当时，有，D选项错误.故选：B5．D【分析】根据函数零点的判定定理验证选项中使得函数值取得正负的自变量，由此可得结论．【详解】易知函数f（x）＝x3+2x﹣5是连续函数，由于f（-1）＝﹣8＜0，f（0）＝﹣5＜0，f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝8+4﹣5＝7＞0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝x3+2x﹣5的零点所在的区间为（1，2），故选D．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．6．A【分析】根据充分性和必要性的定义，结合特例法进行判断即可.【详解】因为,所以能推出，故充分性满足，当时，不能推出，故必要性不满足，所以“”是“”的充分不必要条件.故选.7．C【分析】由题可得在上为减函数,则有,再结合偶函数的性质,即可得出结论.【详解】∵偶函数的定义域为R,当时,是增函数,∴x∈(-∞,0)时,是减函数,∵为偶函数,∴.∵在上为减函数,且,∴,即,故选:C.本题考查函数奇偶性及单调性的综合应用,难度不大.8．D【详解】由f(x)为奇函数可知，＝<0.而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.当x>0时，f(x)<0＝f(1)；当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．所以0<x<1，或－1<x<0.选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内9．D【分析】作出图象，不妨设，，由数形结合及二次函数图象性质可得，，即可求范围.【详解】不妨设，，如图所示，，由，故，，故.故选：D10．C【分析】根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系，再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.【详解】由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为，显然，，为票价.当时，，则为固定成本.由图象(2)知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，且，则变小，成本减小.故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大.变大，即提高票价，不变，则不变，成本不变.故③正确，④错误.故选：C.11．【分析】根据函数特征，由被开方数非负且分母不为零列式计算即可求解.【详解】且，函数的定义域为，故12．【分析】利用基本不等式求最值,即得结果.【详解】，则函数，当且仅当时，取得最小值.故答案为.本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性求得正确答案.【详解】依题意､分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，，即.故14．【分析】先确定函数单调递增，然后根据分段函数每一段递增，并且左边一段的最高点不低于右边一段的最低点列不等式求解.【详解】，当时，，即函数是上的单调递增函数，解得.故答案为.15．①②④【分析】由被开方式非负和分母不为零，解不等式组可得函数的定义域，可判断①；化简，讨论，，分别求出的范围，求并集可得的值域，可判断②；由，可判断③；由奇偶性的定义可判断④【详解】解：对于①，由，解得且，所以函数的定义域为，所以①正确；对于②，由①可得，当时，，当时，，所以的值域为，所以②正确；对于③，由，则为定义域内的不是增函数，所以③错误；对于④，由①可知的定义域关于原点对称，因为，所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，所以④正确，故①②④此题考查函数的性质和应用，主要考查函数定义域和值域的求法、单调性的判断和图像的特征，考查分类思想，属于中档题16．（1）∁UP={x|0＜x＜2}

（2）P∩M={x|2≤x＜4}

（3）[-1，0]【分析】（1）先求出集合P={x|x（x-2）≥0}={x|x≤0或x≥2}，全集U=R，由此能求出集合∁UP．（2）a=1时，M={x|a＜x＜a+3}={x|1＜x＜4}．由此能求出集合P∩M．（3）由集合∁UP={x|0＜x＜2}．M={x|a＜x＜a+3}，∁UP⊆M，列不等式组，能求出实数a的取值范围．【详解】（1）∵全集U=R，集合P={x|x（x-2）≥0}={x|x≤0或x≥2}，∴集合∁UP={x|0＜x＜2}．（2）a=1时，M={x|a＜x＜a+3}={x|1＜x＜4}．∴集合P∩M={x|2≤x＜4}．（3）∵集合∁UP={x|0＜x＜2}，M={x|a＜x＜a+3}，∁UP⊆M，∴，解得-1≤a≤0．∴实数a的取值范围是[-1，0]．本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．(1)##或(2)答案见解析【分析】由分式不等式求解方法解得即可，由含参一元二次不等式解法解得即可.【详解】（1）因为，所以，所以,解得.（2）即，则，，当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为.18．(1)(2)在区间上单调递减，证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用函数解析式，代入求函数值；（2）定义法判断并证明函数的单调性；（3）定义法证明函数的奇偶性.【详解】（1），则；（2）函数在区间上是减函数，证明如下，证明：任取，且，则.因为，所以，因为，所以，，，，，所以，所以.所以函数在区间上是减函数.（3）证明：函数的定义域为，关于原点对称.对于任意，因为，所以是奇函数.19．（1）；（2）当辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.（1）设.根据题意可得求得，即可求函数的表达式；（2）先求出，再分和求函数的最大值，即可求解.【详解】（1）由题意可得：当时，；当时，设.因为，解得所以，（2）由（1）得，当时，为增函数，所以的最大值为；当时，，则当时，的最大值为.综上所述：当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.关键点点睛：本题解题的关键是设，利用待定系数法求出函数的表达式，再利用分段函数的性质求出的最值.20．(1)，(2)(3)【分析】（1），1为方程的两个根，把根代入方程，或利用韦达定理，求系数；（2）由已知化简方程，由判别式得出的取值范围，已知等式结合韦达定理求实数b的值；（3）满足，方程中消去，由二次函数的图像和性质，结合实数根所在区间，求实数b的取值范围.【详解】（1）法1：由题可知：，1为方程的两个根，所以，解之得：，.法2：由题可知：，1为方程的两个根，由韦达定理，得，解之得：，.（2）因为，，所以，因为、是关于x的方程的两根，所以，即，所以，因为，所以，所以.所以，所以或，因为，所以.（3）因为，所以，设，则有，解得，所以b的取值范围为.21．（1）；（2）.【分析】（1）由已知中的保值区间的定义，结合函数的值域是，可得，从而函数在区间上单调，列出方程组，可求解；（2）根据已知保值区间的定义，分函数在区间上单调递减和函数在区间单调递增，两种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】（1）因为函数的值域是，且在的最后综合讨论结果，即可得到值域是，所以，所以，从而函数在区间上单调递增，故有，解得.又，所以.所以函数的“保值”区间为.（2）若函数存在“保值”区间，则有：①若，此时函数在区间上单调递减，