2024届安徽省九师联盟高三上学期10月期中数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat20页2024届安徽省九师联盟高三上学期10月期中数学试题一、单选题1．已知复数满足，则（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用复数的除法求出复数，再利用复数模的公式计算.【详解】复数满足，则，.故选：A2．设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，【详解】由题意得，，则，则，故A错误；，或，则，故B正确；又，，故C错误；，故D错误.故选：B.3．已知是角的终边上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函数的定义可得，进而由商数关系可求.【详解】因为是角的终边上一点，所以，则，故选：B.4．已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据平面向量共线的判定定理结合充分、必要条件分析判断.【详解】若，则与共线，可知充分性成立；若与共线，例如，则不成立，可知必要性不成立；所以“”是“与共线”的充分不必要条件.故选：A.5．扇子是引风用品，夏令必备之物．我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇．如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中分别在上，的长为，则该折扇的扇面的面积为（

）

图1

图2A． B． C． D．【答案】D【分析】由扇形弧长公式求半径，利用扇形面积公式求得大扇形与小扇形面积，再作差即可求扇面面积.【详解】由弧长公式可得，，所以，则，所以该折扇的扇面面积为，故选：D.6．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值“1”分析判断.【详解】因为，可知，且在定义域内单调递减，则，即，所以.故选：C.7．如图，已知两个单位向量和向量与的夹角为，且与的夹角为，若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系结合三角函数的定义及恒等变换得B、C坐标，再利用平面向量的坐标表示计算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则，又，结合三角函数的定义易得，而，，所以，故，即.故选：D8．已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，将方程转化为，设，且，由导数得出的单调性与值域，并画出简图，设，则，得，分类讨论的范围，即可得出的范围．【详解】令，得，当时，，即或，只有2个零点，不合题意，故，又，所以，设，且，则，令，解得，且，当时，，则单调递减，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，则在的最小值为，画出简图，如图所示，所以当时，，当时，，设，则，变形为，记，令，则，画出简图，如图所示，①当时，只有一个根，则只有一个根，不合题意；②当时，有两个根，则有一个根，有两个根，符合题意；③当时，有两个根，则有一个根，有一个根，不合题意；综上所述，，即，故选：D．二、多选题9．已知函数为的两个极值点，且的最小值为，直线为图象的一条对称轴，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（

）A． B．C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称【答案】BD【分析】选项A，由的最小值为可得周期，进而解得；选项B，由对称轴代入函数可得最值，解即可；选项C，代入验证知C项错误；选项D可证明.【详解】选项A，因为为的两个极值点，且的最小值为，所以的周期，所以，故A错误；则，选项B，由为图象的一条对称轴，所以，即，因为，所以，故B正确；则，将的图象向左平移个单位长度，得，选项C，若的图象关于点对称，则，但，故C错误；选项D，由，得，即的图象关于点对称，故D正确.故选：BD.10．下列式子中最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解；对于D：取特值代入检验.【详解】对于选项A：因为，则，当且仅当，即时等号成立，但，所以的最小值不为4，故A错误；对于选项B：因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4，故B正确；对于选项C：因为，则，当且仅当，即时，等号成立，故C成立；对于选项D：令，可得，所以4不是的最小值，故D错误；故选：BC.11．已知函数的定义域为，其导函数为，且为奇函数，若，则（

）A． B．4为的一个周期 C． D．【答案】ABD【分析】选项A，由为奇函数，得，赋值可解；选项B，由已知关系式变形可得，则得周期为；选项CD，借助原函数满足的等量关系两边求导，探究性质，再结合周期性与赋值法可判断.【详解】因为为奇函数，所以，选项A，令，可得，故A正确；选项B，由，得，又已知，则，即，所以，即函数的一个周期为，故B正确；选项C，由，两边求导得，令，得，故C错误；选项D，由，两边求导得，令，得，由，两边求导得，故的一个周期为，，故D正确.故选：ABD.12．在中，内角的对边分别为为内一点，则下列命题正确的是（

）A．若，则的面积与的面积之比是B．若，则满足条件的三角形有两个C．若，则为等腰三角形D．若点是的重心，且，则为直角三角形【答案】ACD【分析】由奔驰定理及，即可判断A；由余弦定理即可判断B；由向量数量积的定义，诱导公式即可判断C；由三角形重心的性质和平面向量基本定理，即可判断D．【详解】对于A，如图，点为内任意一点，延长交于点，则，则，所以所以，所以，即，又，所以，故A正确；对于B，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以满足条件的三角形只有一个，故B错误；对于C，由得，，所以，因为，所以，即，所以为等腰三角形，故C正确；对于D，因为点是的重心，所以，即，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以为直角三角形，故D正确；故选：ACD．三、填空题13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】求导，根据导数的几何意义运算求解.【详解】因为，则，可得，即切点坐标为，斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.14．．【答案】【分析】由两角和与差的正弦和余弦公式即可化简求值.【详解】.故.故答案为：.15．函数的值域为．【答案】【分析】设，求出的取值范围，利用同角三角函数的平方关系得出，将函数解析式化简，利用判断原函数的单调性可得出该函数的值域.【详解】设，因为，则，可知，可得函数，则对任意恒成立，所以在上单调递增，且，所以该函数的值域为.故答案为：.16．函数的最大值为，最小值为，若，则．【答案】1【分析】将函数解析式边形为，设，则，记，由奇函数的定义得出为奇函数，得出在的最值，结合，即可求出．【详解】，设，则，记，因为，所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，所以，又因为，所以，故答案为：1．四、解答题17．已知向量，函数．(1)求的最小正周期和单调递减区间；(2)在中，，求边的长．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由数量积的坐标表示得到的解析式，化简得，由周期公式可解得，利用整体角的范围求解单调减区间即可；（2）由整体角范围解三角方程可得，再由已知条件，结合正弦定理可求.【详解】（1）由题意得，所以的最小正周期，令，解得，所以的单调递减区间为（2）由（1）知，，则，由，得，则，解得，又由，得，已知，则由正弦定理，得.18．已知，且是偶函数．(1)求的值；(2)若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值．【答案】(1)(2)5【分析】（1）函数为偶函数，利用求的值；（2）设，依题意有，求函数最小值，可得实数的最大整数值．【详解】（1）函数定义域为R，由函数为偶函数，有，即，则有，即，得，所以.（2）由（1）可知，，则，设，依题意有，由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，令，则，有，由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，，则有，得，所以实数的最大整数值为5.19．已知是方程的根．(1)求的值；(2)若是第四象限角，，求的值．【答案】(1)当在第三象限时，值为；当在第四象限时，值为.(2)【分析】（1）解方程得的值，利用诱导公式和同角三角函数的关系，化简算式并求值；（2），利用同角三角函数的关系与两角和的正弦公式计算.【详解】（1）方程，解得，，由，得，当在第三象限时，可得；当在第四象限时，可得，，所以，当在第三象限时，；当在第四象限时，，（2）若是第四象限角，则，，由，则，所以.20．南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数．(1)求；(2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）在直角三角形中，由边角关系分别表达，进而求出，则可得栈道总长度；（2）利用导数研究函数单调性求最值即可.【详解】（1）由题意知，，，则，，所以.所以栈道总长度为（2）建造栈道的费用为，则，令，得，又，解得，当时，，当时，，则在单调递减，在单调递增，故，此时，故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元.21．在锐角中，角的对边分别为为的面积，且．(1)求的值；(2)若，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）已知，利用面积公式和余弦定理化简，结合同角三角函数的平方关系，解出与，可求的值；（2）由正弦定理和三角变换可得，根据角的范围，转化为求三角函数值域问题.【详解】（1）在锐角中，，已知，即，得，在中，由余弦定理得，则有，由，得，又，且，解得，，所以.（2），，，由正弦定理，则有，，，，，其中，，，，，则有，，即，锐角中，，所以，则，即，有，又，则，所以，即.22．已知函数为其导函数．(1)求在上极值点的个数；(2)若对恒成立，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指数函数的单调性与三角函数有界性分段讨论的符号，由此得函数的单调性与极值；（2）先探求恒成立的必要条件，再证明其充分性.充分性的证明先构造函数，再利用导函数研究函数单调性，结合（1）结论可证.【详解】（1）①当时，，所以，，则，所以在单调递增；②当时，则，设，则，且，，则，所以在单调递减，又，故存在，使得，即，且在上，，在上，，所以在上单调递增，在上单调递减；③当时，则，所以，又，所以，故在上单调递减；④当时，则，所以，又，所以，当且仅当时取等号，所以在上单调递增；⑤当时，则，，所以，在上单调递增；综上所述，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以在上仅有个极值点.（2）当时，恒成立，即.令，若对恒成立，由，，所以当时，取得最小值.由，则为函数的极小值点，故，解得.下面证明：当时，为函数的最小值点，，令，由（1）可知，在