中考数学二轮复习对称性质在最值问题中的应用综合训练

对称性质在最值问题中的应用1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AB边上的一点，且AE＝1，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为________．第1题图第2题图2.在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值是____．3.如图，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB，OA上的动点，当△CDE周长最小时，点D坐标为________．第3题图第4题图4.如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM＋MN的值最小，则这个最小值为________．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E，F分别是AB，CD上的动点，且EF⊥AC.连接EC，AF，则EC＋AF的最小值为________．第5题图6.如图，抛物线的顶点D的坐标为(－1，4)，抛物线与x轴相交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)．若点E的坐标为(0，－3)，在抛物线的对称轴上有一点F，使得△CEF的周长最小，请求出点F的坐标．第6题图参考答案1.1＋eq\r(3)【解析】如解图，作点E关于AC的对称点E′，连接E′Q，E′E，E′B，且E′B交AC于点Q′.∵四边形ABCD为菱形，∴点E′在AD上．∵点E与点E′关于AQ对称，∴QE′＝QE.∵EB为定值，∴当EQ与BQ和最小时，△QEB的周长最小．∵QE＋QB＝QE′＋QB≥Q′E′＋BQ′＝BE′，当点E′，Q，B在一条直线上时，△QEB的周长最小．∵AE＝AE′，∠DAB＝60°，∴△AEE′为等边三角形．∴∠E′EA＝∠AE′E＝60°，EE′＝AE.∵AB＝2，AE＝1，∴EB＝AE，∴EE′＝EB.∴∠EE′B＝∠EBE′＝eq\f(1,2)∠E′EA＝30°，∴∠AE′B＝90°.∴E′B＝eq\r(AB2－AE′2)＝eq\r(3).∴△QEB的周长的最小值为E′B＋BE＝1＋eq\r(3).第1题解图2.8cm【解析】如解图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M′，连接C′M，CC′，∵C′M＋DM≥C′M′＋DM′＝C′D，∴当M与M′重合时，CM＋DM的值最小，由垂径定理，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AC′,\s\up8(︵))，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(AC′,\s\up8(︵))，∵eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，AB为直径，∴C′D为直径，∴CM＋DM的最小值是8cm.第2题解图3.(eq\f(25,7)，eq\f(24,7))【解析】如解图，作点C关于OA的对称点C′，点C关于直线AB的对称点C″，连接CC″交AB于点F，∵直线AB的解析式为y＝－x＋7，∴OA＝OB＝7，AB＝7eq\r(2)，∵C(1，0)，∴BC＝6，易得△BCF∽△BAO，∴eq\f(BC,BA)＝eq\f(BF,BO)即eq\f(6,7\r(2))＝eq\f(BF,7)，∴BF＝3eq\r(2)，易知△ABO为等腰直角三角形，过点F作FG⊥x轴于点G，∴FG＝BG＝3，∴F(4，3)，∵F是CC″中点，∴可得C″(7，6)．连接C′C″与AO交于点E′，与AB交于点D′，此时△DEC周长最小，∵C′(－1，0)，C″(7，6)，∴设直线D′E′的解析式为y＝kx＋b，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝0,7k＋b＝6))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,4),b＝\f(3,4)))，∴直线D′E′的解析式为y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(3,4)，联立直线AB和直线D′E′的解析式可得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋7,y＝\f(3,4)x＋\f(3,4)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(25,7),y＝\f(24,7)))，∴点D′的坐标为(eq\f(25,7)，eq\f(24,7))．即△CDE周长最小时，点D的坐标为(eq\f(25,7)，eq\f(24,7))．第3题解图4.16【解析】如解图，作点B关于直线AC的对称点B′，交AC于点E，连接B′M，过点B′作B′G⊥AB于点G，交AC于点F，由对称性可知，B′M＋MN＝BM＋MN≥B′G，当且仅当点M与点F、点N与点G重合时，等号成立，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10eq\r(5)，∵点B与点B′关于AC对称，∴BE⊥AC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BE＝eq\f(1,2)AB·BC，得BE＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(20×10,10\r(5))＝4eq\r(5)，BB′＝2BE＝8eq\r(5)，∵∠B′BG＋∠CBE＝∠ACB＋∠CBE＝90°，则∠B′BG＝∠ACB，又∠B′GB＝∠ABC＝90°，得△B′GB∽△ABC，eq\f(B′G,AB)＝eq\f(B′B,AC)，B′G＝eq\f(BB′·AB,AC)＝eq\f(8\r(5)×20,10\r(5))＝16.∴BM＋MN的最小值是16.第4题解图5.5【解析】如解图，过点A作AA′∥EF，且AA′＝EF，连接A′E，连接A′C交AB于点E′，∴四边形AA′EF为平行四边形，∴AF＝A′E，EC＋AF＝EC＋A′E，当A′，E，C三点共线时，EC＋AF最小，最小值为A′C.过点E作EG⊥CD于点G，∴∠FEG＋∠EFG＝90°，∵EF⊥AC，∴∠EFG＋∠DCA＝90°，∴∠FEG＝∠DCA，∵AB＝4，BC＝2，∴tan∠DCA＝eq\f(1,2)，∴tan∠FEG＝eq\f(FG,EG)＝eq\f(1,2)，∴FG＝1，∴EF＝eq\r(EG2＋FG2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴AA′＝eq\r(5).∵EF⊥AC，AA′∥EF，∴AA′⊥AC，在Rt△ABC中，由勾股定理易得AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴在Rt△AA′C中，A′C＝eq\r(AA2＋AC2)＝eq\r(（\r(5)）2＋（2\r(5)）2)＝5.∴EC＋AF的最小值为5.第5题解图6.解：设抛物线的表达式为：y＝a(x＋1)2＋4，把x＝0，y＝3代入得：3＝a(0＋1)2＋4，解得：a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3，如解图，作C关于对称轴的对称点C′，连接EC′交对称轴于点F，此时CF＋EF的值最小，则△CEF的周长最小．∵C(0，3)，对称轴为直线x＝－1，∴C′(－2，3)，设直线C′E的解析式为y