概率统计第三节

区间估计的思想

区间估计要求的是根据样本给出未知参数的一个范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。§2.3区间估计

.定义1设总体X的分布函数为，

则称区间为参数的置信度为

使得置信区间，分别称为置信上、下限。样本，对于给定若存在统计量未知，是来自总体X

的.

注意：

1、置信区间以概率包含不能说成落在内。

2、置信水平是说区间包含的可信度或可靠度。

.通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%...

3.

给了样本值区间的端点也随之确定。称区间

4

区间估计的精度常用置信区间的平均长

它是一个普通区间，简称置信区间。为置信区间的一个实现，度来表示，越小，精度越高.

通常采用基于点估计构造置信区间的方法来获得置信区间，称此方法为

枢轴量法。具体思路如下：一、寻求置信区间的方法.

1、明确要求的是什么参数的置信区间，置信度多大？

2、构造含未知参数且有确定分布的

随机变量

3、根据分布，对给定的置信度定出分位点（即临界值）4、利用不等式变形，求出的置信区间。

具体步骤如下：

2、围绕构造一个仅包含样本和被估参数

适当地确定常数，一般选满足

1、选取的一个较优的点估计枢轴量且分布已知3、对于给定置信度由等式.

4、把不等式化为等价不等式5、得置信水平的的置信区间.

为正态分布，确定临界值（一）若枢轴量。即推得，随机区间：.

由解出.为自由度为n–1的T

分布，确定

（二）若枢轴量

.推得，随机区间：.

为自由度为n–1的分布，确定

（三）若枢轴量.。得随机区间：..

设总体,为X的样本

分别为样本均值和修正样本方差。1、已知，求均值的置信区间（1）构造枢轴量

一、一个正态总体的情形.

查正态分布表，确定临界值

(3)

由（4）得置信水平为的置信区间为（2）对置信水平由.

例1

设总体其中未知

解

的置信区间为试求

的95%置信区间。样本，测得样本均值为现取得样本容量为36的一个.

于是

从而，的95%置信区间为查表得.2、未知，求均值的置信区间(1)

构造枢轴量（2）对于置信水平由

查自由度n–1的t分布表，确定临界值.（3）由（4）得置信水平为的置信区间为.3、未知，求方差的置信区间（1）

构造枢轴量

（2）对于置信水平，由查分布表，确定临界值

.

（3）解出

（4）得置信水平为的置信区间为

。(5)标准差的置信水平的置信区间

.4、已知，求方差的置信区间（1）构造枢轴量（2）对于置信水平，由查分布表，确定临界值

.

（3）解出

（4）得置信水平为的置信区间为.

例2设工件长度，今抽取10

件测量其长度，得到如下数据（单位:cm）

24.2,23.8,24.0,25.5,25.6,24.8,23.6,24.5,25.3,24.7

，

在置信度0.95下。求参数，的置信区间

..置信度为95%的置信区间为解因对给定的置信度

置信度为95%的置信区间为标准差置信度为95%的置信区间为.

这就是说估计工件长度的均值在24.09厘米与25.11厘米之间。这个估计的可信度为95%。若以此区间内一值作为的近似值，其误差不大于这个误差估计的可信度为95%。

二、两个正态总体的情形

设

分别为来自总体

的样本，且假定两个样本相互独立，记，分别为样本均值和修正样本方差。

.1.已知，求均值的置信区间

（1）

构造枢轴量（2）对于置信水平，由查正态分布表，确定临界值

.（3）由

解出

（4）得置信水平为的置信区间为.

例研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似为取样本容量为得燃烧率的样本均值为.

解代入公式得置信水平为0.99的置信区间为（-6.04，-5.96）

注：得到置信区间的上限小于零，在实际中就认为比小

2.未知时，求均值的置信区间

（1）构造枢轴量其中

.

(2)对于置信水平，由

查T分布表，确定临界值

（3）由.

解出

（4）得置信水平为的置信区间为例为提高某一化学生产过程的得率，试图采用一种新的催化剂。为慎重，在实验工厂先进行试验，先采用原来的催化剂进行次试验，测得率的平均值样本方差,后来用新的催化剂进行次试验，测得率的平均值样本方差假定采用两种催化剂下的得率都服从正态分布，且方差相等，试求两种催化剂平均得率之差的置信度为95%的置信区间。.

解

.

的置信度95%的置信区间为

由于所得置信区间包含零，在实际中就认为采用这两种催化剂所得的得率的均值没有显著差别。注意：.

例7

为比较A,B

两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取A型子弹10发，得到枪口速度的平均值，标准差分别为

随机地取B

型子弹20发，得到枪口速度的平均值，标准差分别为

假设两总体都可认为近似地服从正态分布。且由生产过程可认为方差相等。求两总体均值差的一个置信水平为0.95的置信区间。

解按实际情况，可认为分别来自两个总体的样本是相互独立的，又因由假设两总体的方差相等，但均值未知，故可用该公式求均值差的置信区间。由于

.

本题中得到的置信区间的下限大于零，在实际中就认为比大

.

3、当均未知但，求均值的置信区间（1）

构造枢轴量其中

。

(2)

对于置信水平，由

查T分布表，确定临界值

（3）由

..

解出

（4）得置信水平为的置信区间为推导：令则是来自总体的样本设则由T

分布的定义.

例

某一货运公司欲试验两种不同品牌的卡车轮胎的耐磨性，以便选择耐磨性较好的加以采购。各购买了A种和B种轮胎8个，各抽取一个组成一对，再用随机抽样的方法安装在8辆卡车上。行驶一定里程后，测量轮胎磨损量（单位：mg）假定两种轮胎的磨损量均服从正态分布，试求的置信水平为0.95的置信区间。49005220550060206340766086504870

49304900514057006110688079305010.

设相互独立且同服从正态分布

其中未知4900522055006020634076608650487049304900514057006110688079305010-30

320360320230780720-140解

和分别表示A,B两种轮胎的磨损量，令将的观察值列入表第3行，.

给定置信水平，使查t

分布表，得.

得置信水平为0.95的置信区间为A种高于B

种轮胎的磨损量至少52.73,故选B种。

说明：

成对观察值能极小化外来因素的影响，减少误差，给出较精确的区间估计。.

4、当均未知，方差比的区间估计（1）构造枢轴量（2）对于置信水平，由

查F分布表，确定临界值

.解出

（4）得置信水平的置信区间为（3）。

假定两种配方的伸长率服从正态分布，

例某橡胶配方中，原用氧化锌5g,氧化锌5g540533525520545531541529534氧化锌1g565577580575556542560532570561求两总体标准差之比的置信区间.测得橡胶伸长如下：现减少为1g.分别对两种配方作一批试验，。

解对查F

分布表，得所以.

的置信度为95%的置信区间为.

例

。

解.

.

1、指数分布参数的区间估计设总体，即X

具有概率密度其中参数是来自总体三、非正态总体参数的区间估计（了解）求的区间估计。X

的一个样本，对给定的置信度,。

选取枢轴量为证明略.

复习（略）当（1）.

(2).且

独立，则(3)

可加性若.推导因是的无偏估计，由可加性.

由分布与分布的关系，令则随机变量函数的密度函数

当t>0时，单调，且值域因为反函数,导数为代入公式有.

。

故

所以，取枢轴量为即证毕.

(1)

构造枢轴量（2）对于置信水平，由查分布表，确定临界值

.（3）解出

（4）

得置信水平为的置信区间为.

设总体，其中0<p<1是未知参数,是来自总体X的一个样本，欲求p的置信度为

的置信区间。2、（0—1）分布参数的区间估计.

该分布仍与参数有关，故不能按前面推导（略）方法处理。由中心极限定理..即，有所以.

（1）构造枢轴量

（2）对于置信水平，由

查正态分布表，确定临界值

.（3）将不等式

化成。（4）得置信水平近似为

的置信区间为。

例设自一大批产品的100个样品中因为

则一级品率p

是（0-1）分布的参数，而解p的置信水平为0.95的置信区间。，得一级品60个，求这批产品的一级品率.

故，得p

的一个置信水平为0.95的近似置信区间为（0.5，0.69）.

设总体X

的均值存在但未知，是来自总体X

的大样本（即n充分大），求的置信度为的置信区间。3、大样本条件下总体均值的区间估计可以证明，当n充分大时，.

（1）构造枢轴量

(2)

对于置信水平由查正态分布表，确定临界值.(4)

得置信水平近似为的置信区间为解出（3）.

特别的

中1的个数大样本，其中m

为样本设是来自（0-1）分布的本来导出一个更简便的近似计算公式。知参数的置信区间。利用大样对于总体服从（0-1）分布，求未

.

而故由上式，可得

p

的置信度近似为的置信区间.

如果一个总体X，其均值,方差是两个独立的参数，或者我们根本就不知道X的分布类型，那么在大样本情形下，对参数或的区间估计完全类似于正态总体情形，只不过那里枢轴量的精确分布在这里均变成为渐近分布，相应的置信区间变为近似的置信区间。小结：.

定义1

设总体X的分布函数，未知

则称随机区间为参数的置信度为的单侧置信区间，称为单侧置信下限

是来自总体X

的样本，对于给定

若存在统计量使得六、单侧区间估计

.

若存在统计量

则称随机区间为参数的置信度为

使得的单侧置信区间，称为单侧置信上限。.为

说明：

未知参数单侧置信区间的求法与其双侧置

信区间的求法大同小异。仅就正态总体均值,

方差未知的情形给出单侧置信区间的求法。样本方差。X

的样本，