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文档简介
2022届新高考数学冲刺精品复习
立体几何解答题的建系设点问题
一、基础知识:
(一)建立直角坐标系的原则:如何选取坐标轴
1、Z轴的选取往往是比较容易的,依据的是线面垂直,即Z轴要与坐标平面
X。),垂直,在几何体中也是很直观的,垂直底面高高向上的即是,而坐标原
点即为Z轴与底面的交点
2、轴的选取:此为坐标是否易于写出的关键,有这么几个原则值得参考:
(1)尽可能的让底面上更多的点位于轴上
(2)找角:釉要相互垂直,所以要利用好底面中的垂直条件
(3)找对称关系:寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足x,y,z轴成右手系,所以在标轴
时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法,其坐标也会对应不同。但
是通过坐标所得到的结论(位置关系,角)是一致的。
5、解答题中,在建立空间直角坐标系之前,要先证明所用坐标轴为
两两垂直(即一个线面垂直+底面两条线垂直),这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论:
(1)线面垂直:
①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直,则这条直线与
该平面垂直
②两条平行线,如果其中一条与平面垂直,那么另外一条也与这个
平面垂直
③两个平面垂直,则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④直棱柱:侧棱与底面垂直;
⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体。
⑥正三棱柱、正四棱柱:顶点在底面的投影为底面的中心。
⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心。
(2)线线垂直(相交垂直):
①正方形,矩形,直角梯形
②等腰三角形底边上的中线与底边垂直(三线合一)
③菱形的对角线相互垂直
④勾股定理逆定理:若AB?+AC?=BO?,则A8_LAC
(二)坐标的书写:建系之后要能够快速准确的写出点的坐标,按照特点可以分为3类
1、能够直接写出坐标的点
(1)坐标轴上的点,例如在正方体(长度为1)中的AC。'点,坐标特点如下:
x轴:(x,O,O)y轴:(O,j,O)z轴:(0,0,z)
规律:在哪个轴上,那个位置就有坐标,其余均为0
(2)底面上的点:坐标均为(x,y,O),即竖坐标z=0,由于底面在作立体”时往往
所以要快速正确写出坐标,强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考:以」]图为例
则可快速写出点的坐标,位置关系清晰明了
2、空间中在底面投影为特殊位置的点:
如果A(X],y”Z)在底面的投影为人(%2,%,°),那么尤I=%2,M=>2(即点与投影点的
横纵坐标相同)
由这条规律出发,在写空间中的点时,可看下在底面的投影点,坐标是否好写。如果可
以则直接确定了横纵坐标,而竖坐标为该点到底面的距离。例如:正方体中的8,点,其投
影为8,而3(1,1,0)所以B'(1,1,z),而其到底面的距离为1,故坐标为3(1,1,1)
以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点,但总还有一些特殊点,那么就要用到第三
个方法:
3、需要计算的点
①中点坐标公式:A(X],y,zJ,5(X2,y2,Z2),则L3中点M)
图中的”,/,瓦/等中点坐标均可计算
②利用向量关系进行计算(先设再求):向量坐标化后,向量的关系也可转化为坐标的关系,
进而可以求出一些位置不好的点的坐标,方法通常是先设出所求点的坐标,再选取向量,利
用向量关系解出变量的值,例如:求A'点的坐标,如果使用向量计算,则设A'(x,y,z),
可直接写出A(l,0,0),3(1,1,0),3(1,1,1),观察向量通=48,而/1总=(0,1,0),
x-1=0x=1
AB=(%—1,y—1,z—1)*y—1=1=><y=0/.A(1,0,1)
z-l=0z=1
二、典型例题:
【例1】——基础
在三棱锥P-ABC中,24,平面ABC,NB4C=90°,£>,E,尸分别是棱A8,8C,C。的
中点,AB=AC=1,PA=2,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
解::BAJ■平面ABC:.PA±AB,PA±AC
ABAC=90.•.PAA氏AC两两垂直
以AP,AB,AC为轴建立直角坐标系
坐标轴上的点:A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2)
中点——‘°1
£:3。中点(;,;,0)
/:PC中点
综上所述:8(1,0,0)00,1,0),尸(0,0,2),呜,0,0),
【例2】一一设长度问题
在长方体48co-A且G。中,分别是棱BC,CG上的点,CF=AB=2CE,
AB:A。:AA=1:2:4,建立适当的直角坐标系并写出点的坐标
思路:长方体AA1,AB,AD两两垂直,本题给的是线段的比例,如果设
A3=a,AZ)=2a,A、=4。等,则点的坐标都含有a
单位长度,从而使坐标都为具体的数。
解:因为长方体ABC。—4AGA
AB,AD,AAt两两垂直
・•.以AB,AD,AA为轴如图建系,设|A8|为单位长度
EC
A£>=2,A4,=4,CF=1,CE=—
6(l,0,0),C(l,2,0),r>(0,2,0),4(l,0,4),A(0,0,4)C(l,2,4),A(0,2,4)
【例3】一一多种建系方法
如图,在等腰梯形ABC。中,AB//CD,AD=DC=CB=1,ZABC=60,
CF±平面ABC。,且CR=1,建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。
思路:本题有一个现成的线面垂直,只需在平面ABC。找过C的相互垂直的
直线即可。由题意,N3CD不是直角。所以可以以其中一条边为轴,在底面
上作垂线即可构造出两两垂直的条件,进而可以建立坐标系
方案一:(选择6c为轴),连结4c
可知ZADC=120°在AADC中
|AC|2=\ADf+\DCf-2\AD\\DC\cosADC=3:.\AC\=43
由|ACj=G,18C|=\,AABC=60可解得A5=2,ZACB=90
AC1BC:CF±平面ABCD
:.CF1AC,CF±BC
以AC,CfBC为坐标轴如图建系:
5(0,l,0),A(V3,0,0),D^,-1,0p(0,0,l)
方案二(以CD为轴)
过C作CD的垂线CM"L平面ABCD
:.CF±CD,CF±CM
.•.以8,。尸,。0为坐标轴如图建系:
(同方案一)计算可得:当A8=2
"3、(G1、
••.A--,0,B^-,-,0,0(0,—1,0),F(0,0,1)
【感悟】建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直(即z轴),对于轴的选取,如果没
有已知线段,可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴,然后作这条轴的垂线来确定另一条轴,
本题中的两个方案就是选过垂足C的直线为轴建立的坐标系。
B'
【例4】一一翻折问题
已知四边形ABCO满足AO〃BC,BA=AD=OC=—8C=a,E
D
EC
BEC
是BC中点,将“B4E翻折成△用AE,使得平面耳AEJ_平面AECD,F为BQ中点
思路:在处理翻折问题时,首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变|(同一个平
面的位置关系不变),这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时,必4£是等边三角形,
四边形AECD为60'的菱形是不变的,寻找线面垂直时,根据平面3平面AECD,
结合ABAE是等边三南形,可取AE中点则可证A"_L平面AECD,再在四边形
AECD找一组过”的垂线即可建系
解:取AE中点M,连结
•:△AAE是等边三角形
BM±AE
平面BAE±平面AECD
_L平面AECD,连结QM/.BM±ME,BM1MD
四边形AEQD为60。的菱形.NAOE为等边三角形
:.DM±AE
8'〃,MQ,ME两两垂直
如图建系,设|A网为单位长度
A,;,0,0|,E|j10,0|,。0,一,0,C1,洌£
22
7
・T
F为B'D中效
【例5】一一线段定比分点的坐标
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,对角线AC,BD交于点
0,04=4,03=3,8=4,且。PJ.平面ABC。,点〃为PC的三等分点(靠近尸),
建立适当的直角坐标系并求各点坐标
思路:由OP_L平面A8CO,可得OP作为z轴,在底面上可利用菱形对角线相互垂直的
性质,选取OB,OC作为x,y轴。在所有点中只有M的坐标相对麻烦,对于三等分点可得
PM=-PC,从而转化为向量关系即可求出M坐标
3
解:•.•QPL平面A3CO
:.OP±OB,OP±OC
•.菱形ABC。:.OB±OC
.•.OP,O8,OC两两垂直
以OP,OB,OC为坐标轴如图建系
可得:P(0,0,4),B(3,0,0),C(0,4,0),A(0,^,0),D(-3,0,0)
设M(x,y,z)由可得:PM^^PC
PM=(x,y,z-4),PC=(0,4,T)
x=0无=0
【感悟】(1)底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质
(2)对于一条线段上的某点分线段成比例,可以利用向量关系将该点坐标计算出来
[例6]一一投影法
如图所示的多面体中,已知正方形A8CO与直角梯形6。所所在的平面互相垂直,
EF//BD,ED±BD,AD=6,EF=ED=1,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点
坐标
思路:题目已知面面垂直,从而可以找到OE与底面垂直,再由底面是正方形,可选A£),OC
为轴,图中/点坐标相对麻烦,可以用投影法和向量法计算得到八
解:•.•平面£FB£>_L平面ABC。E
又因为直角梯形3。£户:.ED±DB卜'、
.•.田,平面A8C。/'
正方形ABCD:.AD±BD/D.
两两垂直,以DE,D4,DC为轴建立直角坐标系//
坐标轴上的点:A(V2,0,0),C(0,72,0),£(0,0,1)
底面上的点:8(也夜,0)
R点两种确定方式:
①可看其投影,落在5。中点处(巫,立,()],且高度为1,
所以F一•,一•,1
122J122J
②设尸(x,y,z)二方=(x,y,z—1),丽=(0,五,0)
也
-
X2
也
/变&
-/
y2nF■-
.EF^-DB■22
\
2\
Z-1=0
综上所述:A(V2,0,0),C(0,V2,0),E(0,0,l),B(V2,^,0),F—,1
I22,
【例7】一一借助线段平行且相等求点
如图,在三棱柱ABC—AgG中,”是正方形AAgB的中心,
A4,=2J2,G",平面A4A8,C、H=加,建立适当的坐标
系并确定各点坐标
思路:GHJ■平面446乃,从而G"可作z轴,只需在平面
找到过”的两条垂线即可建系(两种方案),对于坐标
只有C坐标相对麻烦,但由束=不可以利用向量进行计算。
解:方案一:(利用正方形相邻边垂直关系建系)
如图建系:则
4(正,也,0),A(夜,-及,0)再卜夜,夜,0)
B(-V2,-V2,0),C,(0,0,75)
设C(x,y,z),则束=(x,y,z—6)4.=(0,-2&,0)
x=0x=0
由录=乖可得:<y=-2A/2=><y=—2^2;.c(o,-2后网
z-6=0z=6
综上所述:
A(&,应,0),4(虎,-&,O),B1-网-点,-应,0),
C,(0,0,5/5),C(0-2^,^)
方案二:(利用正方形对角线相互垂直建系)
如图建系:由A4,=28计算可得4以=与"=2
A(2,0,0),4(0,-2,0),4(0,2,0)
H
AA
5(-2,0,0),C,(0,0,75)
设C(x,y,z),则*=(x,y,z_6)不=(-2,—2,0)
x=-2x=-2
由束=乖可得:<y=-2=><y=-2
Z-V5=0[z=y/5
综上所述:
A(2,0,0),A(0,-2,0),(0,2,0),3(-2,0,0),C,(0,0,V5),C(-2,-2,V5)
【感悟】本题虽然两种建系方法均可以,但从坐标上可以发现,用方案二写出的坐标相对简
单,尤其是底面上的坐标不仅在轴上,而且数比较整齐。(相信所给的AA=2后目的也倾
向使用方案二建系)因为在解决立体几何解答题时,建系写坐标是基础,坐标是否整数化会
决定计算过程是否更简便。若题目中有多种建系时,观察所给线段长度的特点,选择合适的
方法建系,为后面的计算节省时间。
【例8】一一画出底面的平面图求点
如图,在四棱柱ABC。-A与中,侧棱AA_L底面ABC。,AB_LAC,AB=1,
AC=M=2,A£>=C£>=君,且点M和N分别为用C和。D的中点。建立合适的空间
直角坐标系并写出各点坐标
思路:由4AJ.底面ABC。,AB,AC可得A4),AB,AC两两垂直,进而以它们为轴建
立坐标系,本题中A,A,G,2均可通过投影到底面得到横纵坐标,图中。点坐标相对麻烦,
可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。
解:•.•侧棱4AJ.底面ABC。
AA_LAB,AA_LAC
AB±ACA3,AC,AA两两垂直
以AB,AC,A、为轴建立直角坐标系
底面上的点:B(0,l,0),C(2,0,0)
由4。=。。=石可得44。。为等腰三角形,
DP1AC
DP=y/AD2-AP2=2
C
可投影到底面上的点:A(0,0,2),4(0,1,2),C,(2,0,2),Di(1,-2,2)
因为M和N分别为4c和的中点
综上所述:5(0,1,0),C(2,0,0),£)(1,-2,0),4(0,0,2),旦(0,1,2)6(2,0,2),〃(1,—2,2)
硝2,1)
【例9】画出底面的平面图求点
如图:已知PO_L平面A8C。,点。在AB上,且E4〃PO,四边形ABC。为直角梯形,
AD//BC,BC±AB,BC=CD=BO=PO=2,EA=AO^-CD,建立适当的坐标系并
2
求出各点坐标
思路:由条件可得而PO_L平面ABCD,EA//PO可得到£4_L平面ABCD,
从而以为轴建系。难点在于求底面梯形中的长度。可作出平反4,A3,A。面图利用
平面几何知识处理。
解:•.•PO_L平面ABC。,EA//PO
H4J_平面A8CD
:.EA±AB,EA±AD
•.AD//BC,BC±AB:.AD±AB
AE,AD,A8两两垂直,如图建系:
EA=;CO=]£(0,0,1)
心496中:AB=y/OB2-O^=V3
Ani
cosAOB=----=—=>Z.AOB=60
BO2
•.AD//BCZBOC=ZAOB=60
BC=BO..ABOC为等边三角形
:.OC=BC=CDZOCB=60
/.ZDOC=60..ACOD为等边三角形
:.OD=CD=2
5(73,0,0),0(0,l,0),D(0,3,0),C(>/3,2,0)
P在底面ABC。投影为。且PO=2P(0,l,2)
综上所述:B(V3,0,0),0(0,1,0),D(0,3,0),C(V3,2,0),P(0,1,2),E(0,0,1)
【例10】一一借助向量求点
已知斜三棱柱ABC-A与G,NBC4=90',AC==2,4在底面ABC上的射影恰为
4C的中点。,又知BA1AC,,建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
思路:本题建系比较简单,A。J_平面ABC,进而4。作z轴,再过。引4c垂线即可。
难点有二:一是三棱柱的高未知,进而无法写出上底面点的竖坐标;二是目的投影不易在
图中作出(需要扩展平面ABC),第一个问题可先将高设为人,再利用条件BA】1AC.求
解;第二个问题可以考虑利用向量计算得到。
解:过。作AC的垂线DM,平面ABC
4。±DC,A,D,而。M,OC
.•.以4。,。。,。又为轴建立直角坐标系
A(0,-l,0),C(0,l,0),B(2,l,0),设高为h
则A(0,0,〃),设G(x,y,z)
则配=(0,2,0),而"=(x,y,z-〃)
x=0x=0
由前=宿可得:<y=2n{y=2.-.C,(0,2,/z)
z—h=0z=h
BAy=(—2,—1,/z),ACj=(0,3,/z)
2
:.BA,±AC1=>^4-Aq=0=>-3+/Z=0,解得〃=百
.•.A(O,O,@,G(O,2,@
设耳(x,y,6)=(x,y,O)
而通=(2,2,0)且AE=丽J,-:?.•.与(2,2,6)
综上所述:A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A(0,0,V3),CI(0,2,A^),B1(2,2,V3)
一、抽离
如图,在直四棱柱ABCO—48iCiDi中,AB=AD=2,DC=2y/3,AAi=下>,AD1DC,AC
±BD,垂足未£,
(I)求证:SDl/liC;
(II)求二面角Ai-BD—Ci的大小;
(III)求异面直线AD与BCi所成角的大
二、平移法
如图,在三棱柱ABC-AiBiCi中,回BAC=90°,AB=AC=2,AiA=4,Ai在底面ABC的射
影为BC的中点,D是BiCi的中点.
(1)证明:A1DI3平面A1BC;(2)求二面角Ai-BD-Bi的平面角的余弦值.
【解析】(1)证明:如图,以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OAi所在直线分别为X、
y、z轴建系.
则BC=MAC=2圾,AIO=JAA]2-A02=VH,
易知Ai(0,0,VH),B(V2-0,0),C(-A/2-0,0),
A(0,V2,0),D(0,-V2-714)1Bi(血,-血,V14),
A]6=(。,A/2>0),BD=(-V2>-A/2>V14)>
0A;=(。,0,V14)>
【2014新课标1】如图,三棱柱ABC-AiBiCi中,侧面BBiCiC为菱形,AB回BiC.
(0)证明:AC=ABi;
(0)若ACOABi,0CBBi=6O°,AB=BC,求二面角A-A1B1-Ci的余弦值.
【解析】(2)ElAOHABi,且。为BiC的中点,0AO=CO,
又团AB=BC,00BOA00BOC,UIOAEIOB,
00A,OB,OBi两两垂直,
以O为坐标原点,丽的方向为x轴的正方向,|而|为单位长度,
国的方向为y轴的正方向,示的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,
0E1CBBI=6OO,EECBBi为正三角形,又AB=BC,
0A(0,0,登),B(1,0,0,),Bi(0,恒0),C(0,-亨0)
33
二、设参数法
如图,己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABBCD,AC0BD,垂足为H,PH是四棱
锥的高,E为AD中点
(1)证明:PEEBC
(2)若回APB=囱ADB=60。,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.
p
【解答】解:以H为原点,HA,HB,HP分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长,
建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),B(0,1,0)
(0)设C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0)
则D(0,m,0),E(-|,0).
可得而=(-1,T,-n),BC=(m,-1,0).
因为瓦诙%-分0=0
所以PE0BC.
(S)由已知条件可得m=-In=l,故C(-*g,0,0))
33
D(0,-噂,0),E([,-,0),P(0,0,1)
oLb
三、动点
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD回平面ABCD,PAmPD,PA=PD,ABEJAD,AB=1,
AD=2,AC=CD=A/5.
(0)求证:PDI3平面PAB;
(0)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(0)在棱PA上是否存在点M,使得BMI3平面PCD?若存在,求瞿的值,若不存在,说
AP
明理由.
【解析】
(0)解:取AD中点为O,连接CO,PO,
0CD=AC=V5,
121co回AD,
又E)PA=PD,
回PC®AD.
以O为坐标原点,建立空间直角坐标系如图:
则P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),
(0)解:假设存在M点使得BM回平面PCD,
由(回)知,A(0,1,0),P(0,0,1),即二(0,-1,1).B(1,1,0),
AM=(0,yt-1,zP,
则有赢二人而,可得M(0,1-入,入),
如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴
旋转120。得到的,G是陈的中点.
(1)设P是注上的一点,且APEIBE,求回CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
解法二:
以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角
坐标系.
由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(l,S,1),故症=(2,0,-3),晶=(1m,0),荏=(2,0,3),
如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点,PA=1,P在平面ABC内的
射影为BF的中点0。
(I)证明Q4_LBF;
(II)求面APB与面。PB所成二面角的大小。
p.
第19题(II)以0为坐标原点,建立空间直角坐标系,P(0,0,
IJ3
1),A(0,,0),B(,0,0),D(0,2,0),
22
如图,在四棱柱ABCD-AIBICIDI中,侧棱AAiEl底面ABCD,AB0AC,AB=1,
AC=AAi=2,AD=CD=、而,且点M和N分别为BiC和D1D的中点.
(0)求证:MN回平面ABCD
(0)求二面角Di-AC-Bi的正弦值:
(回)设E为楼AiBi上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为求线段A1E
的长.
【解析】(附证明:如图,以A为坐标原点,以AC、AB、AAi所在直线分别为x、y、z
轴建系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0
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