2022届新高考开学数学摸底考试卷8

2022届新高考开学数学摸底考试卷8

一、单项选择题：（每题5分，共40分）

1.函数产xcosx+siar在区间［-兀，7i］图象大致为（）

2.若把单词邛勺字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（）

A.17B.18C.19D.20

2

3.（x+2-）（x+y）5的展开式中W的系数为（）

X

A.5B.10

C.15D.20

4.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度

条件下进行种子发芽实验，由实验数据（七,y）"=1,2,…,20）得到下面的散点图:

由此散点图，在10℃至40。（2之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率），和温度x的回归方程类型

的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y-a+bexD.y-a+b\nx

5.设函数/（x）为R上的增函数，〃、beR,则a+b20是+/（匕）之/（一a）+/（一人）的（）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.充分不必要条件

6.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”,

事件8为“小赵独自去一个景点“，则P（B|A）=（）

,3八4八5,6

A.-B.-C.—D.一

7777

7.已知函数/（x）是定义在R上的奇函数，且〃x+4）=—/（x）,当xe[-2,0）时，f{x}=ex,则

/（2018）+/（2021）+〃2022）等于（）

11

A.-B.——C.-eD.。

ee

8.已知定义在R上的函数y=的导函数为尸（x）,满足/（%）＞/'（%）,且/⑼=2,则不等式

了（司＞2,的解集为（）

A.（-oo,0）B.（0,4-a））C.（-oo,2）D.（2,+oo）

二、多选题：（选错不得分，漏选得3分，每题5分，共20分）

9.对于函数/（%）=国^（%€火），下列判断正确是（）

A./（-%+1）+/（%-1）=0

B.当加e（O,l）时，方程/（%）=加有唯一实数解

C.函数/（X）的值域为（—,+℃）

D.v…，一＞0

%-x2

10.设/（力=/+办+b,a,康口若/力人工无实根，则下列结论成立的有（）

A.当x＞0时，/（X）＞0B.VxeR,,/（x）＞x

C.VxeR,/（/（%））＞%D,IxeH,使得〃〃X））=X成立

11.如图，已知直线丫=区+机与曲线y=/（x）相切于两点，则—x）：/。）一日有（）

A.1个极大值点，2个极小值点B.2个零点

C.0个零点D.2个极小值点，无极大值点

12.已知函数/（x）=xlnx,若0＜当＜々，则下列结论正确的是（）

A.%/（西）＜玉/（工2）

B.玉+/（石）＜W+/（W）

c/（王）-/（々）＜0

玉一马

D.当」＜%＜%2时，Xlf（Xl）+X2f（X2）＞^X2f（Xi）

e

三、填空题：（每题5分，共20分）

13.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

14.已知A为抛物线。：丁=2〃%（“＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则

P=.

15.某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工

作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000,502）,且各个元件能否正常相互

独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

16.一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取

球停止时拿出黄球的个数为随机变量4,则P（J=0）=—,石（4）=.

四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.记函数/（x）=lg（l-奴2）的定义域、值域分别为集合A,B.

（1）当。=1时，求ACB；

（2）若"xeA”是“xeB”的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

22

18.设椭圆C：,+g=l（a＞人＞0）的左、右焦点分别为匕，F2,下顶点为A,。为坐标原点，点O到

直线AF,的距离为也，△A^F,为等腰直角三角形.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若倾斜角为45。的直线经过椭圆C的右焦点工，且与椭圆C交于M,N两点（M点在N点的上方），

求线段M居与NF2的长度之比.

19.班主任为了对本班学生的考试成绩进行题目考点分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽

取一个容量为7的样本进行题目考点分析.

（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同样本？（写出算式即可，不必计算出结果）

（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：

学生序号i1234567

数学成绩Xj60657075858790

物理成绩K70778085908693

①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩

均为优秀的人数为4,求J的分布列和数学期望；

②根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数

学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？

附：线性回归方程y=Zzx+a，

_

£（毛—x）（yj—y）

其中匕------------,a=y-bx.

i=l

7_7__

£（玉-光）2

XyZ（x,-x）（»-y）

Z=1i=l

7683812526

20.已知函数y=/(x),若在定义域内存在不,使得/(一毛)=一/(左)成立，则称不为函数“X)的局部

对称点.

(1)证明：函数/(0=2*—1在区间［―1,2］内必有局部对称点；

(2)若函数/(6=4'-力2向+那一3在/?上有局部对称点，求实数机的取值范围.

21.

已知函数/(x)=(x-k)2e^,

(I)求/(x)的单调区间；

(H)若对于任意的XG(0,+8),都有/(X)w',求人的取值范围.

e

22.设函数=其中0<Q<L

e

(1)证明：〃力恰有两个零点;

⑵设玉)为了(X)极值点，%为了(X)的零点，且玉>%,证明3%-芭>2.

2022届新高考开学数学摸底考试卷8

一、单项选择题：（每题5分，共40分）

1.函数）=xcosx+sinx在区间［-兀，树的图象大致为（）

【参考答案】A

【题目解析】

【题目考点分析】

首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在》=万处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【题目详细解读】因为/（x）=xcosx+sinx,贝ij/（-x）=-xcosx-sinx=-/（x）,

即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，

据此可知选项C。错误；

且》=万时，y=^cos^+sin^=-^-<0,据此可知选项B错误.

故选:A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，

判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.（4）

从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

2.若把单词“err”"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（）

A.17B.18C.19D.20

【参考答案】C

【题目解析】

【题目考点分析】

结合排列组合的知识，利用分步乘法计数原理求得5个字母排成一排所有可能的写法的种数，则可确定错

误写法的种数.

【题目详细解读】解：将5个字母排成一排，可分三步进行：

第一步：排e,。，共有&=20种排法；

第二步：排三个广，共有C；=l种排法；

•••将5个字母排成一排共有20x1=20种排法，

・・•可能出现的错误写法的种数为20-1=19种；

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合综合应用问题，关键是能够采用分步的方式，确定所有可能的结果的种数.

3.（x+E）（x+y）5的展开式中Vy3的系数为（）

X

A.5B.10

C.15D.20

【参考答案】C

【题目解析】

【题目考点分析】

求得（x+y）’展开式的通项公式为（+1（reN且r<5）,即可求得与（x+yp展开式

的乘积为。#6-，旷或。"4一4+2形式，对「分别赋值为3,1即可求得汇13的系数，问题得解

【题目详细解读】（x+y）'展开式的通项公式为（r6"且/"<5）

所以（x+匕］的各项与（x+y）5展开式的通项的乘积可表示为：

22

rr6rr5rrrr+z

xTr+l=xC^-y=Qx-y和二心=工C；x-y=C^-y

XX

在x&i=C#6-y中，令r=3,可得：x7；=C；x3y3,该项中dy3的系数为］0,

22

在上7；+1=C0jy+2中，令厂=1,可得：±7；=。*3y3,该项中尤3>3的系数为5

X,X

所以的系数为］0+5=15

故选：c

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及题目考点分析

能力，属于中档题.

4.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度

条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x,,y）（，=1,2,…,20）得到下面的散点图：

由此散点图，在l（TC至40。＜2之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型

的是（）

A.y=a+hxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y-a+b\nx

【参考答案】D

【题目解析】

【题目考点分析】

根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【题目详细解读】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率丁和温度x的回归方程类型的是y=a+6nx.

故选：D.

【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

5.设函数/（x）为R上的增函数，a、beR,则a+b20是/（。）+/。）之/（一。）+/（一3的（）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.充分不必要条件

【参考答案】c

【题目解析】

【题目考点分析】

先证充分性，若a+ONO,则ai—/?,b>-a,根据函数/(x)为R上的增函数结合不等式的基本性质求

解，必要性，采用反证法，假设a<-h<-a,根据函数/(x)为R上的增函数结合不等式的基本性质

求解.

【题目详细解读】若a+bNO,则aNT?,b>-a,

因为函数为R上的增函数，

所以/⑷4(询,/(0)”(—a),

由不等式的加法得：

/(a)+/®之/(-。)+f(-b),

故充分；

反之，若/(a)+/e)N〃-a)+/(-»,假设b<-a,

因为函数/(x)为R上的增函数，

所以〃a)</(的</(-a),

由不等式的加法得：

f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),与题设矛盾,

则假设不成立，故必要；

故选：C

【点睛】本题主要考查充要条件的判断以及函数单调性，不等式的基本性质和反证法的应用，属于基础题.

6.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”,

事件8为“小赵独自去一个景点”，则P(B|A)=()

346

7777

【参考答案】A

【题目解析】

【题目考点分析】

直接利用古典概型概率公式，结合条件概率公式求解即可.

【题目详细解读】设事件A="4个人去的景点不相同”，

事件3="小赵独自去一个景点”，

44-463

则P(A)=

4464

4.33

P⑻丁

4J

P(AB)

P(AB)3

则尸(B|A)=

P(A)7

故选：A

【点睛】本题主要考查分组分配问题、古典概型概率公式，考查了条件概率的求解，属于中档题.

7.己知函数“X)是定义在R上的奇函数，且〃%+4)=一〃力，当2,0)时，〃x)=e',则

〃2018)+〃2021)+/(2022)等于()

11

A.-B.——C.~eD.e

ee

【参考答案】A

【题目解析】

【题目考点分析】

根据函数满足/。+4)=-/(力，得到函数的周期是8,再由xw[-2,0)时，/(%)=",且函数

“X)是定义在R上的奇函数，将〃2018)+/(2021)+〃2022)转化求解.

【题目详细解读】因为函数满足/(x+4)=-/(x),

所以/(x+8)=—/(x+4)=/(x),

所以函数/(x)的周期是8,

又当2,0)时，/(x)=e*,且函数/(x)是定义在R上的奇函数,

所以/(2018)+/(2021)+/(2022),

=〃2)+/(5)+〃6)，

=/(-1)=；-

故选：A

【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，属于基础题.

8.已知定义在R上的函数y=/(x)的导函数为了'(X),满足/(x)>/'(x),且"0)=2,则不等式

/(%)>2/的解集为()

A.(-co,0)B.(0,+力)C.(-co,2)D.(2,+oo)

【参考答案】A

【题目解析】

题目考点分析：先构造函数g(x)=/⑷，再根据函数单调性解不等式.

e

题目详细解读：令g(x)=/1a，因为g'*)=/(")：”")<0,g(0)=2

ee

所以/(x)>2exng(x)>g(0)=x<0

因此解集为(-8,0)，

选A.

点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅

助函数常根据导数法则进行：如r(x)<fM构造g(x)=/区，八幻+f(x)<0构造g(x)=e'f(x),

e

矿(x)</(x)构造g(x)=,xf\x)+f{x)<。构造g(x)=xf(x)等

X

二、多选题：(选错不得分，漏选得3分，每题5分，共20分)

9.对于函数=[雨(xeA),下列判断正确的是()

A./(-x+l)+/(x-l)=0

B.当时，方程/(%)=机有唯一实数解

C.函数/(力的值域为(f,E)

I).弋…,“内)—”-〉。

X]—x2

【参考答案】ABD

【题目解析】

【题目考点分析】

先根据奇函数的定义证得函数为奇函数，然后根据复合函数的单调性求得单调性及值域，逐项判断即可.

【题目详细解读】解：/(-x)+/(x)=—+-^-=0,故/(X)为奇函数，对于A,令t=x-1,即

1+I-XI1+1XIv7

/(-r)+/(f)=o,正确，故A正确;

x!

当x>0时，f(x)=——=1------,

l+x1+X

.."(X)在(0,+8)上单调递增，

又/(0)=0,f(x)=4<i,且/(x)是奇函数，

••J(x)的值域为(一1,1).

・••/(幻的单调增区间为(-8,+00).

故B正确，C错误，

•••/(X)的单调增区间为(YO,+00),故Vxw%2，/(')+/(；”)>0正确.D正确；

X]—%2

故选：ABD.

【点睛】本题考查了函数奇偶性、单调性值域等性质，属于中档题.

10.设/(力=%2+分+》，“，beR.若/。)=%无实根，则下列结论成立的有()

A.当工〉0时，/(x)>0B.VxwR,/(x)>x

C.VxeR,/(/(%))>%D.HxeR,使得〃〃x))=x成立

【参考答案】ABC

【题目解析】

【题目考点分析】

由题意题目考点分析可推出/(x)的图像恒在y=x的上方，即“X)>X恒成立，可判断选项A,B；

设f=/(x),利用〃x)>x恒成立，判断CD即可.

【题目详细解读】若〃句=%无实根，

因为/(x)=d+"+b对应的抛物线开口向上，

所以/(力的图像恒在y=x的上方，

即/(x)>x成立，故B正确；

当龙>0时，/(x)>x>0,故A正确；

由/(x)>x成立，

可设t=/(x)，

则/«)>£=/(x)>x,

即VxwH,/(/(%))>%,故C正确；D不正确.

故选：ABC.

【点睛】本题主要考查了利用函数的性质求解不等式的问题.属于较易题.

11.如图，已知直线y=与曲线y=/(x)相切于两点，则b(x)=/(x)-自有()

A.1个极大值点，2个极小值点B.2个零点

C.0个零点D.2个极小值点，无极大值点

【参考答案】AC

【题目解析】

【题目考点分析】

由图像知，根据函数“X)有一个极大值点，两个极小值点，判断尸'(X)=/'(X)-Z的符号即可得出A正

确;f^x)>kx+m,k<0,m>0,则/(x)-履N/n>0,则』(x)=/(x)-爪没有零点，C正确.

题目详细解读】解：

直线y="+"z与曲线y=/(x)相切于两点，

kx+m-f\x)有两个根，且/(x)>kx+m,

由图象知々<0,m>0,则/(x)一去2加>0

即F(x)=〃x)-Ax>0,则函数/(x)=)(%)—Ax,没有零点，故C正确.

函数/(力有三个极值点，其中一个极大值点，两个极小值点，

设/(x)的三个极值点分别为a,b,c,不妨设a<h<c,

则尸'(X)=尸⑺一左,

①当XG(FM)时，由图像知，/(x)图像上任意一点的切线斜率都小于左,

即尸(x)<%<0，？(x)=/'(x)-左<0,所以/(兀)=/(%)-「在(-00,0递减,

②当xe(a,。)时，由图像知，/(力图像上任意一点的切线斜率都大于0,

即尸(x)>。，/=-2>0,所以F(x)=/(x)-Ax在(a,。)递增，

③当xe(8,c)时，由图像知，/(力图像上任意一点的切线斜率都小于左，

即尸(%)<左<0，F'(x)=/'(x)-A:<0,所以F(x)=/(x)-Ax(-℃,a)递减，

④当X€(C,+»)时，由图像知，“力图像上任意一点的切线斜率都大于0,

即/'(力>。F'(x)=/'(x)-A:>0,所以7(x)=f(x)-Ax在(c,-F8)递增,

综合①②③④有，R(x)=/(x)-Ax有1个极大值点，2个极小值点，故A正确.

故选：AC.

【点睛】考查函数零点以及极值点个数的判断，函数的零点个数转化为方程解的个数或与x轴交点的个数,

函数的极值点个数转化为其导函数变号零点的个数，中档题.

12.已知函数/(x)=xlnx,若0<无心々，则下列结论正确的是()

A.^/(x1)<x1/(x2)

B.玉+/(xj<w+/(x2)

/(x,)-/(x2)

,斗一马

D当，<玉<工2时，.^/(^)+A2/(X2)>2A2/(X1)

e

【参考答案】AD

【题目解析】

【题目考点分析】

设g(x)=《@=lnx,函数g(x)单调递增，可判断A；设〃(x)=/(x)+x,则〃'(x)=/nx+2不是恒

大于零，可判断B；f{x}=xlnx,/'(x)=/nx+l不是恒小于零，可判断C；当时，lnx>-\,故

/,(x)=/nx+l>0,函数/(x)=xlnx单调递增，故

。一万)[/(%)-/(%)]=V(芭)+V(%)-V(石)一V。)>0,

即%/(动+马/5)〉；^〃%,)+%]〃々)，由此可判断D.得选项.

【题目详细解读】设g(x)=/^=lnx,函数单调递增，所以g(X2)>g(xJ，所以史」>山^，

X%2%

即有王/(工2)>%/(%1)，故A正确；

设〃(X)=/(X)+X,则〃'(X)=/HX+2不是恒大于零，所以玉+/(xj<马+/(%2)不恒成立，故B错误;

f(x)=xlnx,/'(x)=/nr+l不是恒小于零，所以‘"J-<°不恒成立,故C错误；

王一X2

当寸，lnx>-\,故/'(x)=/nx+l>0,函数/(x)=xlnx,x>4单调递增，

故(马一凡)[/(々)一/(与)]=尤1/(%)+W(*2)-V(与)一XJ(々)>0,

XI/(XJ+A/(A)>X/(XI)+XI/(X2)，

即222又In1="xJ>n^=lnX],所以玉/(%)>%2/(%)，

X2%

所以W/(xJ+X]/(/)>2%/(玉)，所以有XI/(xJ+x2/(x2)>2x2/(玉)，故D正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查利用导函数研究函数的单调性，判断不等式是否成立，属于较难题.

三、填空题：(每题5分，共20分)

13.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

【参考答案】y=2x

【题目解析】

【题目考点分析】

设切线的切点坐标为(%,%),对函数求导，利用y'1=2,求出/,代入曲线方程求出％,得到切线的

点斜式方程，化简即可.

【题目详细解读】设切线的切点坐标为(Xo，No)，y=lnx+A；+l,y'=L+l,

X

yLJo=—+1=2,/=1,%=2,所以切点坐标为(1,2),

所求的切线方程为y-2=2(x-l),即y=2x.

故参考答案为：y=2x.

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

14.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12,到)，轴的距离为9,贝IJ

p=.

【参考答案】6

【题目解析】

【题目考点分析】

根据点A到C的焦点的距离为12,由抛物线的定义得到=12,然后由点A到y轴的距离为9,

得到乙=9求解.

【题目详细解读】设抛物线的焦点为F,因为点A到C的焦点的距离为12,

所以由抛物线的定义知|A可=4+5=12,

又因为点A到y轴的距离为9,

所以4=9,

所以3=3,

2

解得"=6.

故参考答案为：6.

【点睛】本题主要考查抛物线的定义，还考查了转化化归思想，属于基础题.

15.某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工

作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,5()2),且各个元件能否正常相互

独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

【参考答案】-

物

【题目解析】

设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=；,

，该部件的使用寿命超过1000的事件为(Ag+XB+AB)C.

I11II11_3

，该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P=—X—+—X—+—X—X———

22222228

16.一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取

球停止时拿出黄球的个数为随机变量4,则P(0=0)=—,E仔)

【参考答案】(1).1(2)-1

【题目解析】

【题目考点分析】

根据题意求得自的取值，结合题意，求得其分布列，则P(g=0),E4)得解.

【题目详细解读】根据题意可知，4可取0,1,2,

「("0)=|+39!

(此时取球情况是：第一次取红球；第一次取绿球，第二次取红球)

121121

-X-

42

----

(此时取球情况是：第一次取3黄球5，第二3次取3红球;

第一次取绿球，第二次取黄球，第三次取红球；

第一次取黄球，第二次取绿球，第三次取红球)

尸(=2)=1—尸(=1)—尸(=0)=3.

1119

故£《)=(^+卜—不=§.

12

故参考答案为：一；一.

23

【点睛】本题考查随机变量分布列的求解，以及随机变量数学期望的求解，属综合基础题.

四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.记函数/(x)=lg(l-o?)的定义域、值域分别为集合A,B.

(I)当a=l时，求AflB；

(2)若“xeA”是“xeB”的必要不充分条件，求实数〃的取值范围.

【参考答案】(1)(-1,0]；⑵(-»,0].

【题目解析】

【题目考点分析】

(1)由对数函数的定义域和值域求得集合4股根据集合的交集运算可得参考答案；

(2)由已知条件可得3是A的真子集，从而可求得。的取值范围.

【题目详细解读】(1)。=1时，/(%)=lg(l-x2),由1—必>0得_]<x<1,即A=(-1,1),

由0<1—12<1得8=(-oo,0],

AAnB=(-l,0]；

(2)“xeA”是“xeB”的必要不充分条件，则8是A的真子集，若a〉0，

则由1—以2>0得一J1<x<即A=(《，6,与(1)类似得5=(7,0],不合题意，

若a=0,则/(x)=lgl=0,即A=/?,B={0},满足题意，

若a<0,则1一℃221,A=R,8=[0,+x>),满足题意.

综上。的取值范围是(-8,0].

【点睛】本题考查对数函数的值域和定义域，以及集合间的交集运算，充分必要条件，属于基础题.

22

18.设椭圆。：3+2=1(。>6>())的左、右焦点分别为耳，F2,下顶点为A,。为坐标原点，点。到

a~b

直线AF,的距离为Y2,AA耳工为等腰直角三角形.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若倾斜角为45。的直线经过椭圆C的右焦点工，且与椭圆C交于M,N两点(M点在N点的上方)，

求线段M居与NF2的长度之比.

YM居1

【参考答案】(1)—+丁=1；(2)谪=？

【题目解析】

【题目考点分析】

（1）写出直线AK的方程，由点0到直线人工的距离可得4=岳0,耳巴为等腰直角三角可得6=c,

结合/=b2+c2即可得到椭圆标准方程.

（2）写出经过右焦点工，倾斜角为45。的直线方程并与椭圆方程联立，可得了“和y”从而得到所求长度

之比.

【题目详细解读】（1）由题意可知：直线AE,的方程为二+上=1,即—bx+①+8c=0,

c-b

点。到直线AK的距离为变，则A="=a=42bc

2\Jb2+c2a2

因为aAf；鸟为等腰直角三角形，所以。=c,可得”=J为2,

又42=匕2+。2,可解得4=血，b—\,C=l,

所以椭圆C的标准方程为t+V=1.

2

（2）倾斜角为45。的直线经过椭圆。的右焦点工，则直线方程为y=x-l,

y=x-l01

联立♦，c2c，得3y2+2y—l=0,所以y=-l或一，

x+2y=23

所以=H=1.

―闫一3

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查题目考点分析能力和计算

能力，属于基础题.

19.班主任为了对本班学生的考试成绩进行题目考点分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽

取一个容量为7的样本进行题目考点分析.

（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）

（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：

学生序号i1234567

数学成绩须60657075858790

物理成绩%70778085908693

①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩

均为优秀的人数为g,求彳的分布列和数学期望；

②根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到o.oi）；若班上某位同学的数

学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？

附：线性回归方程y=bx+a，

其中b=“------------,a=y-bx

£（玉-幻2

/=1

人7乙一尤_A7__

Xy

/=1/=1

7683812526

【参考答案】（1）不同的样本的个数为c；4c3

9

（2）①分布列见题目解析,E记）=一.

7

②线性回归方程为y=0.65x+33.6（）.可预测该同学的物理成绩为96分.

【题目解析】

【题目考点分析】

（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.

（2）7名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数《服从超几何分布，

故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预

测该同学的物理成绩.

7

【题目详细解读】（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为一*24=4名，

42

7

18名男同学中应抽取的人数为一xl8=3名，

42

故不同的样本的个数为。；4。点

（2）①名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，

二4的取值为0,1,2,3.

・••尸(4=0)笔4,%=1)=等

叱上警嚎叱3)哈4

，自的分布列为

0123

418121

P

35353535

.八，、4,1812cl9

・・E(匕)=Ox--F1x---F2x---F3x—=—.

v7353535357

@«0.65,。=歹一8x5=83—0.65x76=33.60.

.♦.线性回归方程为y=0.65x+33.60.

当x=96时，)=0.65x96+33.60=96.

可预测该同学的物理成绩为96分.

【点睛】在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算(如二项分布、超几何

分布等).

20.已知函数y=/(x),若在定义域内存在％,使得/(-%)=—/(%)成立，则称/为函数/(力的局部

对称点.

(1)证明：函数〃x)=2”T在区间［―1,2］内必有局部对称点；

(2)若函数/(x)=4,一加2田+〃一3在R上有局部对称点，求实数，〃的取值范围.

【参考答案】(1)见题目解析；(2)1—

【题目解析】

【题目考点分析】

(1)设。=2、(一lWx<2),可求出/+；=2的解为r=le；,4,从而可知当不=0时，

2』一1=_2凤+1成立，即可证明函数"X)=2、-1在区间［—1,2］内必有局部对称点；

(2)由题意知/(—x)+/(x)=0在R上有解，令2'+2一』，则/一2制+2加2一8=0在止［2,+00)上

有解，结合二次函数零点的分布，分别讨论方程在fe[2,位)上根的个数，得到关于m的不等式，从而可

求出实数机的取值范围.

【题目详细解读】证明：⑴设/=2%—14XW2),则令》+工=2,贝卜2_2f+i=o，

解得f=lw；,4,即当/=0时，2一而_1=_2'。+1，即/(-%)=-/(%)成立，

即函数/(%)=2'—1在区间［一1,2］内必有局部对称点

解：(2)/(-x)=4"-m-2-r+l+m2-3,则/(-x)+“x)=O在R上有解.

即4一£一，小2-印+加2—3+4,—m+加2-3=0在R上有解，

于是(4'+4一)-2加・(2'+2-*)+2(*-3)=0(*)在R上有解.

令2*+2-*=/,则4*+4-*=/一2,所以方程(*)变为产-2成+2〉-8=0,

E/\22』+122'2+1（2、…-1）（2*-2々）

设玉<马<0则2为+2F一（2超+＞）=--~------------------＜，

\）2V|2迎2f+今

由王<々<0，y=2”在R上单调递增知，2国一2与<0，2*计物<1，2t|+J：2>0,

即此时2&+2-共一(2*+2土)>0,所以函数y=2、+2T在(f,0)上单调递减;

22*2+1（2…-1乂2*-24）

设0＜%%,贝I］2V|+2r

2*227+电

由0<%</，y=2”在R上单调递增知，2"-29<0,〉1,2"%>。，

即此时2*+2f—(2助+2一处)<0,所以函数y=2'+2一'在(0,+“)上单调递增；

故/e[2,+00),从而已知即“一2mt+2加之一8=0在/e[2,4w)上有解.

设g”)=『-2,泡+2加2-8(r>2),分为两种情况：

①当方程有在，e[2,+8)唯一解时：

(2)=4-4/W+2/n2-8=0

则g(2)=4—4m+2加2-8<0或*2m>

2

g（2）=4—4根+2m2—8=0

解g(2)＜0得，一百+1＜机＜6+1；解＜—2m得，m=-G+1，

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