2022届全国高考模拟信息卷 数学（文）试题（一）

高考模拟卷01（文）

（本卷满分150分，考试时间120分钟。）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知集合4=｛小<〃｝,B=｛x|x>2）,且4n（«B）=A,则a的取值范围可以是（）

A.a<2B.a>2C.a>2D.a<2

2.复数z=（2-i）（l+2i）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知数列｛q｝为等比数列，且，%=4%,数列出｝为等差数列，S,为等差数列也｝的前〃项

和，鼠=5］（）,4="，则％=（）

4.平面向量2=（1,0）,^=（-1,73）,则向量在向量2方向上的投影为（）

A.—1B.1C・；D.—

22

6.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾

八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和

15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是

20

COS(；T-e)+COS

A.-1C.-cos2^D.cos2。

8.已知双曲线£-1=1（“＞0,。＞0）的左、右焦点分别为&&点P在双曲线的右支上，且|冏|

=2|阳|,则此双曲线的离心率e的范围为（）

A.(1,4-0°)B.(1,3](2,3]D.(1,2]

9.变量x,的〃个样本点（XQJ,（毛,%），L,（%%）及其线性回归方程9=历+机下列说

法正确的有（）

A.相关系数，•的绝对值越接近1,表示x,y的线性相关程度越强

B.相关指数店的值越接近1,表示线性回归方程拟合效果越好

C.残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好

D.若则点正,亍）一定在线性回归方程§=阮+》上

〃i=ln»=1

10.设44是两条不重合的直线，a,夕是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若6ua,

I?uD,1\/甲，l2//a,则。〃£②4J_a，4_La,则4〃4③若4J_a/J_/2,则4〃a④若aua,

则其中正确的命题个数为（）

A.0B.1C.2D.3

11.设函数”X）为奇函数，且当xNO时，/（x）=^-cosx,则|不等式,/■（2X-1）+/（》-2）＞0的

解集为（

A.(-oo,l)B.卜8,§JC.D.(h+0°)

12.已知三棱锥尸-ABC,ZSAC=1,BC<,R4，平面ABC且PA=2石，则此三棱锥的外

接球的体积为（）

32乃

A.---B.C.16TTD.

3丁

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.过点P（L1）且与曲线尸，相切的直线的条数为

14.数列｛叫的前〃项和S“=；4+1,则％+为+…+%,1=.

15.在平面直角坐标系xOy中，设抛物线丁=2小与/=2“，在第一象限的交点为4若Q4的

斜率为2,则上=________.

Pi

16.函数y=f（x）的图像是由函数丁=。0$（5）（。大于零）的图像向左平移£个单位所得，若

069

函数y="外在（乃,2万）范围内单调，则。的范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

24

17.在A43C中，它的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且8=7，b=瓜.

2

（I）若cosAcosC=§,求AABC的面积；

（II）试问工+1=1能否成立？若能成立，求此时AABC的周长；若不能成立，请说明理由.

ac

18.某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产

业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部

门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的

游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.

老年人中年人青年人

满意度

报团游自助游报团游自助游报团游自助游

满意121184156

一般2164412

不满意116232

（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团

游？

(2)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随

机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率.

(3)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为直角梯形，AD//BC,ZADC=90°,

AD=DC=2BC=2,平面PA£>_L平面A8c△R4Q为正三角形，。为AO的中点.

(1)求证：平面PB。；

(2)若点"在棱PC上，且RV/平面8MQ,求三棱锥的体积.

20.设M,电是/(力=]*3+4J*2+.4力€/?,4>0)的两个极值点，为/(X)的导函数.

(1)如果玉<2<&<4,求/'(一2)的取值范围；

(2)如果0<为<2,々-%=2,求证：b<-.

4

21.已知离心率为手的椭圆C:\+/=1.>『>0)经过点尸(3,1).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点户关于x轴的对称点为Q,过点P斜率为匕，网的两条不重合的动直线与椭圆C的另一

交点分别为M，N(M,N皆异于点。).若匕心=：，求点Q到直线的距离的取值范围.

选做

x=2cost

22.在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为.；(f为参数).以坐标原点为极点，

y=sin"/

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为20cos0-3psin0-12=0.

(1)当〃=2时，求出的普通方程，并说明该曲线的图形形状；

(2)当％=1时，P是曲线C1上一点，。是曲线C?上一点，求PQ的最小值.

23.已知函数/(x)=|2x+a+2|+2]x—@(a>0,。>0).

(1)当a=4,6=1时，解不等式〃x)<IO；

(2)若〃x)的最小值为6,求雪上的最小值.

a2b

高考模拟卷01(文)

(本卷满分150分，考试时间120分钟。)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知集合4=｛小4力，8=｛x|x>2｝,且4n他B)=A,则a的取值范围可以是()

A.a<2B.a>2C.a>2D.a<2

答案：D

2.复数二=(2-i)(l+2i)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案：A

3.已知数列｛%｝为等比数列，且〃0。=4%,数列也｝为等差数列，S“为等差数列他｝的前〃项

和，56=S]o,4=打，则，9=()

448

A.-B.——C.——D.-4

333

答案：B

4.平面向量2=(1,0),B=(-1,G),则向量在向量£方向上的投影为()

A.—1B.1C.；D.—

22

答案：A

c

D.

答案：D

6.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾

八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和

15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是

()

37c34c九n2兀

A.——B.——C.—D.—

201045

答案：A

8.已知双曲线，■-4=1(4>0,。>0)的左、右焦点分别为E,用点尸在双曲线的右支上，且|掰|

=2|咫则此双曲线的离心率e的范围为()

A.(1,+8)B.(1,3]C.(2,3]D.(1,21

答案：B

9.变量x,的〃个样本点(3,y),(x,,y2),L,(毛,％)及其线性回归方程¥=队+机下列说

法正确的有()

A.相关系数，•的绝对值越接近1,表示X,)’的线性相关程度越强

B.相关指数六的值越接近1,表示线性回归方程拟合效果越好

C.残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好

D.若元=：6西,9=:卫其，则点(x,y)一定在线性回归方程¥=/+岳上

答案：ABD

10.设44是两条不重合的直线，a,夕是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若Luc,

l2(Zp,IJ/p,IJIa，则a〃6②41a,/2la，则③若4-L«J,J-4，则4〃a④若a_Lua,

则其中正确的命题个数为（）

A.0B.1C.2D.3

答案：B

11.设函数/（x）为奇函数，且当xNO时，f（x）=ex-cosx,则不等式〃2x—l）+/（x—2）＞0的

解集为（）

A.~/）B.[8,；）C.，,+8）D.（1收）

答案：D

12.已知三棱锥P-ABC,ZSAC=y,BC=6Q4J"平面ABC且胡=2后则此三棱锥的外

接球的体积为（）

A.B.467rC.16%D.当三

33

答案：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.过点P（L1）且与曲线尸V相切的直线的条数为

答案：2

14.数列｛%｝的前n项和S,,=+1,则«,+a3+—+%,i=.

答案：之邛丫

22⑼

15.在平面直角坐标系X。），中，设抛物线丁=2型与/=2依，在第一象限的交点为4若Q4的

斜率为2,则上=________.

Pi

答案：:

O

16.函数y=/（x）的图像是由函数丁=8$（5）（。大于零）的图像向左平移2个单位所得，若

函数y=“X）在（万,2万）范围内单调，则。的范围是.

答案：（°卷]呜明

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

24

17.在AABC中，它的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,S.B=—,b=瓜.

2「

(I)若cosAcosC=§,求AA3c的面积；

(H)试问,+1=1能否成立？若能成立，求此时AABC的周长；若不能成立，请说明理由.

ac

答案：(I)巫；(II)不能成立，理由见解析.

3

解：(I)由3=至，得A+C=M,COS(A+C)=COSACOSC-sinsinC,

33

即=cosAcosC-sinAsinC.

21

又,:cosAcosC=—,/.sinAsinC=—.

36

瓜

a2近，a=2&sinA，c=2>/2sinC-

sinAsinC73

2

S^ABC=—,2\/2sinA-2^2sinC.sin8=4sinAsin8sinC=4x-x

2623

(11)假设—।—二1能成立，ci+c=cic.

ac

由余弦定理，b1=tz2+c2-2accosB，^6=a2+c2+ac.

22

(a4-c)—ac=6,/.(6rc)—ac—6=0t...ac=3或一2(舍),止匕时a+c=ac=3.

不满足a+c22>/^,・•・一+—=1不成立.

ac

18.某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产

业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部

n,对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的

游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.

老年人中年人青年人

满意度

报团游自助游报团游自助游报团游自助游

满意121184156

一般2164412

不满意116232

(1)由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团

游？

(2)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随

机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率.

(3)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？

解：(1)由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为：

2211

42~21

•••《＞£＞《，

...老年人更倾向于选择报团游.

(2)由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为。，中年人有2人，记

为。,c,青年人有2人，记为3,e,

从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),

其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),

42

这2人中有老年人的概率为「=而=不

(3)根据表中的数据，得到：

12+18+1545

报团游的满意率为

15+30+2267

1+4+61

自助游的满意率为4=

3+10+203

:巴＞4，.♦•建议他选择报团游.

19.如图，在四棱锥P-A8a)中，底面A8C。为直角梯形，ADHBC,ZADC=90°,

AD=DC=2BC=2,平面24。J_平面A8CO,为正三角形，。为AO的中点.

(1)求证：AC平面P8。；

(2)若点M在棱PC上，且P4/平面求三棱锥A-8M。的体积.

解：(1)为正三角形，。为AO的中点，PQ^AD.

VAD//BC,AD=DC=2BC,。为A£＞的中点..•.四边形BCOQ为平行四边形，.\8Q〃8.

又ZA£>C=90°,A^AQB=90°,即BQLAO.

又PQn8Q=Q,.•.?!£>_L平面P8Q.

（2）连接4C,交BQ于N,连接MN.

RV/平面BMQ,PAu平面APMN,平面8Age平面APMN=MN,/.PA//MN.

,/AD//BC,AD=2BC,。为AZ）的中点..•.四边形BCQA为平行四边形，，N为AC的中点,

.•.M为PC的中点.

•.•平面RW_L平面ABCD,平面P4OA平面AB-8=A£>，PQ-i-AD,PQ_L平面ABCD.

VAD=DC=2BC=2,则PQ=6.

匕-/WO=V“-M2=；匕，-AB2=gxgxSAABQxPQ=；xgx（；xlx2）xx/J=V。

20.设'"2是/(x)=1x3+2Jx2+x(a,/?eR,a>0)的两个极值点，为/(x)的导函数.

(1)如果玉<2<%<4,求/'(一2)的取值范围；

(2)如果0<占<2,x,一%=2,求证：b<~.

4

解：(1)由/(X)得：f'(X)=OK2+(t>-l)X+l,

由题意，芭，毛是方程=0的两根，由爸<2<々<4且。>0

•・•[潟>0,叫16〃+*33而/3)=4731)+心—33,

由不等式组得：4a-2^>0,故r(-2)=4a-»+3>3.

f'(-2)的取值范围是(3,”).

-b-1

%+*2=--------

(2)证明：方程"2+(八1卜+1=0的两根为芭,弓，由根与系数的关系得,“，

xx--

、A2a

由于x/wO,两式相除得_e-1)=工_i=_+_,即匕=-------+1.

>AT]A[JQ,JCj

由％=XI+2得：b=(p{x^=-------^--+1,易知菁e(O,2)时,e(x)是增函数，

X[X]+Z

当王《0,2)时，必再)<程(2)=；,故匕<；,得证.

21.已知离心率为当的椭圆C:£+《=l(a>6>0)经过点尸(3,1).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点P关于x轴的对称点为。，过点P斜率为匕,心的两条不重合的动直线与椭圆C的另一

交点分别为M，N(”,N皆异于点Q).若求点。到直线MN的距离的取值范围.

解：(1)由题意：e=—=>—+yr=1,a2=b~+c2>得：a2=12)b2—4f

a3bb-

y22

椭圆的标准方程为：土+匕v=1；

124

(2)设过户(3,1)的直线PM的方程：y=K(x—3)+l,

与椭圆联立，整理得(1+34)/+(6匕-18婷卜+27婷一18匕-9=0,

由△=(6匕-18后"-4(1+34)(27片-1监-9)>0,BP(^+1)2>0,得k尸-1,

由题设易知：4尸0,-1,」,土且，则3/=27f9,即=%-合3,同理

331+3k、1+Sk、

9k；-6k「3

1+3行

由《e=：，可得与=-9%；—6%+3

1+3好

-3片-64+13k：_6k「l

%=4(%-3)+1==彳(4-3)+1=

1+3"1+3%；

XMXN3

故直线MN的方程为y_31二]=_[x__9与个牡3],整理得：x+3y+-1^=0,

1+5kl3114-5k、Ji

24

124攵I-j

由题意知：Q(3,—l),点。到直线MN的距离匕注I厂+3占|,

,1+3匕匕242r—

d=--i=-=----j=$-r=7==—>/30

V10V10V10.2V35

16i

当且仅当厂=3%,即人=±组取等号，而4右=；,此时占=&，与题意矛盾，

K\33

等号不成立，即回，

综上：｛d[O<d<———).

选做

v--OP0Cf

22.在直角坐标系X