2022届青海省海东市第一中学高考模拟（一）数学（理）试题（解析版）

2022届青海省海东市第一中学高考模拟(一)数学(理)试

题

一、单选题

1.已知集合4=卜心+1)(工-7)<()},B={x\x=2n,n&N},则4nB=()

A.{1,2,3,4,5,6}B.{(),2,4}C.{2,4,6}D.{(),2,4,6}

【答案】D

【分析】先化筒集合4B,再利用集合的交集运算求解.

【详解】解:由(*+1)(尤一7)<0,得A=(-l,7),

又8={0,2,4,6,…},

所以AD3={0,2,4,6}.

故选：D

2.设(1-0%=2,则|z卜()

历

A.注B.J2C.ID.2

2

【答案】A

【分析】根据复数的四则运算法则及模的运算即可求得答案.

【详解】由题意，(l-i)3=-2i(l-i)=-2(l+i),.、=?Izk—.

-2(14-1)22

故选：A.

3.已知cos®=-巫，且。是第二象限角，贝Isin20=()

10

A.之B.-C.1D.」

5555

【答案】B

【分析】由同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简求解.

【详解】由题意得sin6=M^,则sin28=2sin，cosO=-3.

105

故选：B

4.设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为()

8¥"2

A.9-B.3D.3-

【答案】B

【分析】设圆锥的底面半径为〃母线长为/,高为〃，求得圆锥的侧面积和底面积，即

可得出母线长和半径的关系，然后利用勾股定理即可求解.

【详解】设圆锥的底面半径为「，母线长为/,高为〃，由题意得万〃=3万一,

解得/=3r,又『='+层，则力=2及厂，彳=竿.

故选：B.

5.研究与试验发展（researchanddevelopment,RD）指为增加知识存量（也包括有关

人类、文化和社会的知识）以及设计已有知识的新应用而进行的创造性、系统性工作.国

际上通常采用研究与试验发展CRD）活动的规模和强度指标反映一国的科技实力和核

心竞争力.据国家统计局公告，下图是2016-2021年全国RO经费总量（指报告期为实

施研究与试验发展（RD）活动而实际发生的全部经费支出）及投入强度（R。经费投入

与国内生产总值（GOP）之比）情况统计图表，则下列四个说法，所有正确说法的序号

是（）

②2016-2021年全国经费投入强度的平均值未达到2.30；

③2016-2021年全国经费支出数据中，极差为0.34；

@2016-2021年全国经费支出及投入强度均与年份成正相关.

A.①③B.②④C.①②④D.①③④

【答案】C

【分析】对①，根据中位数的公式求解即可;

对②，根据经费投入与国内生产总值（GDP）之比的平均数分析即可;

对③，根据极差的定义分析即可;

对④，根据正相关的意义分析即可

19678+22144

【详解】由图可知，2016-2021年全国RD经费支出的中位数为>20000,

2

①正确;

210+212+214+224+241+244

乙|"，."+乙14+，.“+乙旬+乙的。2.24,②正确；③0.34为全国即经费投入强度的

6

极差，故③不正确；④正确.

故选：c

6.曲线y=xe"2在工=2处的切线方程为()

A.y=3x+4B.y=4x+3

C.y=3x-4D.y=4x-3

【答案】C

【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程.

【详解】y'=(l+x)e'-2,“口=3,曲线产xe”2在点⑵2)处的切线方程为

y-2=3(x-2),即>=3x-4.

故选：C.

______?

7.已知在AABC中，AD=-3BD，CD=A.CE>AE=/JAB+-AC,则〃=()

1i3

A.-B.■-C.—D.1

424

【答案】A

【分析】根据而=-3丽，AE=pAB+^AC,得到荏=与亚+|Z，再根据

丽=几屈求解.

【详解】解：因为而=-3而，

_.4-.

所以=

,——2—

因为AE=//AB+—AC,

所以亚=生而+2/，

33

y.CD=ACE，

所以通.而+金正，

AA,

___17__

又AB=—A/5+—而，

33

14

所以

X-1Z

-------——

23

得〃=;

4

故选：A

8.将函数〃x)=sin(2x+g)的图象向右平移?个单位长度，然后将所得图象上所有点

O。

的横坐标缩小到原来的g(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则当xe0,?时,

函数g(x)的值域为()

1nr,r

A.B.-1,~

22jL2_

C.[-1,1]D.-pl

【答案】D

【分析】先利用平移变换和伸缩变换得到g(x)=si"4x-*)的图象，再利用正弦函数

的性质求解.

【详解】解：将/(x)=sin(2x+令的图象向右平移7个单位长度得：

y=sin2[?=5而(2万一奈)的图象，

再将图象上各点的横坐标缩小到原来的g(纵坐标不变)得：

g(x)=si.4x-/)的图象，

因为OKxwf，

所以-£44X—

6o6

所以-；4sin(4x-')41.

所以函数g(x)的值域为-1,1.

故选：D

/v2a

9.已知椭圆C:=+4=l(a>〃>0),直线x==与椭圆C交于A,B两点,。为原点,

a'b-3

若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为()

A.旦B.克C.JLD.巫

4224

【答案】D

【分析】将x=]代入C中，求得AB坐标，利用三角形AO8是等腰直角三角形，求得

a,b的关系，从而求得离心率.

【详解】将".代入C中，得8住-零],由题意得出，，

3U3(133)33

故选：D.

io.卜-1+1）的展开式中常数项为（）

A.-61B.-59C.-57D.-55

【答案】B

【分析】将原式看成6个相同的因式相乘,按x的选取个数分类，计算得解.

【详解】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类,

得展开式中常数项为C：+C；C；（-2）+C©（-2）2=-59.

故选：B.

II.已知四棱锥P-A8CO中，24,平面ABCO,底面ABC。是矩形，AD=3AB=3PA,

若四棱锥P-ABCQ外接球的表面积为Ibr,则四棱锥P-ABC。的体积为（）

A.3B.2C.&D.1

【答案】D

【分析】若外接球的半径为R,由外接球体积可得=11，补全四棱锥为长方体，结

合长方体外接球直径与体对角线关系及已知各棱的数量关系求棱长，最后由棱锥体积公

式求体积.

【详解】设四棱锥P-ABCZ）外接球的半径为R,则4乃收=1E，即4尸=11.

由题意，易知尸。2=4叱，得PC=d，

设A8=x,得&+9/+丁=11，解得x=l，

所以四棱锥P-A8CD的体积为gxlx3xl=l.

故选：D

2

12.已知函数“力=g*-号，若有且仅有两个正整数，使得，（力＜0成立，则实数

。的取值范围是（）

A

-[i'l）B.3

「、「、

C•[菽91旬D1,2御

【答案】C

22

【分析】将/（可＜0转化为心+2）＜£,再分别求导分析g（x）=?和〃（x）=a（x+2）的

图象，再分别求得（1，8。）），（2,g（2））,（3,g（3））至Ij（-2,O）的斜率，分析临界情况即可

22

【详解】由/（》）＜0且x＞0,得a（x+2）＜・，设g（x）=h（x）=a（x+2）,

g，(x)="二三，已知函数g(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+00)上单调递减,

er

g⑵_1g⑶_9

函数〃⑺=〃(x+2)的图象过点(一2,。),

2-(-2)e23-(-2)-5e3

91191

结合图象，因为hh/，所以赛於发

二、填空题

x+y-2>0

13.设x,y满足约束条件,x-)「140,则z=2x+y的最大值为

x-2y+2>0

【答案】11

【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2=〉+2工，观察该直线在y轴上截距

最大值即可求出答案.

【详解】作出不等式组所表示的可行域，如下图,

X「—Vy—+1>人0。,解得：44,3)，所以z取得最大值为…

联立

故答案为：11.

14.已知函数/(x)=logja-W),若/(x+1)是奇函数，则实数斫.

【答案】1

【分析】利用奇函数的性质/(r+l)=-/(x+l)列方程求参数.

【详解】由题意，/(-x+l)=-/(x+l),即10g2(a-S^)=-k>g2(a-A^),

.2a-^-ax工+2八日=1口，

所以一--=-~-——，化简得r2，解得。=1.

2-x2a-4+ax[a=1

故答案为：1

15.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,%,c.已知4=2,sin,A+Bsii?8=231?C,

则cosC的最小值为.

【答案】B

4

【分析】先利用正弦定理将角化为边，然后利用余弦定理结合基本不等式求解即可.

【详解】a=2,则原等式为sin2A+3sin»=4sin2C,由正弦定理得/+3尸=4cz,

a2+b2-c2«2+^--(«2+3^2)3a2+〃C,当且仅当从=3/时取等号.

cosC=--------------=---------------------------=----------->—

2ab2ab8ab4

故答案为：3.

4

22

16.已知尸是双曲线C:*-*•=l(a>0⑦>0)的右焦点，过点F的直线/与双曲线C

的一条渐近线垂直，垂足为A,且直线/与双曲线C的左支交于点B,若3|E4|=|A3|,

则双曲线C的渐近线的方程为.

【答案】y=±^x

【分析】设C的左焦点为E，连接々B,过耳作耳。，尸8于£>,根据已知及双曲线性质

有”。为线段FB的中垂线，结合双曲线定义及参数关系求“、b的数量关系，即可得渐

近线方程.

【详解】设C的左焦点为6,连接月B,过K作耳。，尸8于。，易知：FtD//OA,

在曲线C中，易知：I网=匕，则同=»,则。为线段FB的中点.

又|五耳=46,|6目=48_2«=2c,即c+a=»,得c+a=4(c-a),则c=|”,

44

又/=/+从，得b=渐近线方程为y=±：x.

4

故答案为：卜=±§'

三、解答题

17.设数列｛q,｝的前〃项和为S.,Sn=2a„+n-4.

(1)证明：数歹1」｛。“一1｝是等比数歹U.

2"]17()

(2)若数列——的前m项和北=三，求m的值.

l«A+J513

【答案】(1)证明见解析

(2)8

【分析】(1)根据S.与氏的关系式化简证明；(2)由(1)得数列｛4｝的通项公式为

2"11

%=2〃+1.所以——r—,继而求和计算•

““4+1z+1z+1

【详解】（1）当〃=1时，4=2〃］一3,q=3.

当“22时，S“T=2%+（〃—1）—4,两式相减得。“=2%-1,

即4-1=2（/_1-1）,4-1=2,

则数列｛4-1｝是首项为2,公比为2的等比数列.

（2）由（1）得〃〃-1=2"，=2〃+1,当〃=1时，%=2+1=3,

数列包｝的通项公式为4=2"+1.

2"=2"=_J______1

anan+l~（2“+1）（2"*'+1）-2"+1-2川+1'

人11_170

?3-2m+1+l_513,

得2"+1=513,解得加=8.

18.如图，在三棱柱ABC-AB£中，A.C==2AB=2AC=2BC,£BA\=60°.

（1）证明：平面ABC,平面

（2）设P是棱CC,的中点，求AC与平面尸A内所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵正

4

【分析】（1）设AB=2,由余弦定理求出A8=2g,从而由勾股定理得到AQ,48,

ABLBC,进而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向

量求解线面角的正弦值.

［详解］⑴设AB=2.

在四边形44名8中，•••A4,=2A8,ZBA4,=60°,连接

2

由余弦定理得A,B=4A2+-2AA.COS=12,即43=26，

A82AB600

22

♦:AXB+AB=4A：,

\BLAB.

又；AB'BC'AC"

AtBlBC,ABcBC=B,

AB_L平面ABC,

•；ABu平面AA罔B,

平面ABC±平面AA^B^B.

(2)取AB中点£>,连接CD,VAC=BC,ACD1AB,

由（1）易知C£>_L平面4A用B,且CO=V5.

如图，以B为原点，分别以射线84,为轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz,

则A(2,0,0),4(0,2百,0),C(l,0,G),B,(-2,25/3,0),,P(0,G,G).

福=(-2,0,0),平=(0M,6),

设平面丛田的法向量为3=（x,y,z）,则卜竺二，，

万•A尸=0

-2x=0

得隔尹任=0'…贝丽=（。/，1），

泥=（一",…斗尚=系咚

AC与平面PA"所成角的正弦值为好.

4

19.随着日益增长的市场需求，某公司最初设计的生产能力已不能满足生产的需求，公

司新安装了A,8两条生产线.在生产线试运行阶段，为检测生产线生产的产品的合格

率，对两条生产线生产的产品采取不同的方式进行检测.其中A生产线生产的产品分三

次随机抽检，经统计，第一次抽取了30件产品，合格率为|,第二次抽取了40件，合

格率为;，第三次抽取了30件产品，合格率为3；对3生产线生产的产品随机抽取了

100件，并测量了每件产品的某项指标值“€[75,100].经统计，得到如图所示的频率分

布直方图，已知产品的质量以该项指标值为衡量标准，且指标值〃485,95]时为合格产

品.两条生产线之间生产的产品及各生产线上生产的产品合格与否相互独立.

(2)以(1)中的估计值为A,B两条生产线试运行阶段生产的产品的合格率.在A,B两

条生产线生产的产品中各随机抽取2件产品，记合格产品的个数和为X.若其中至少有

3件产品合格，则可判定两条生产线生产状况安全稳定.

(i)求P(X=2)；

(ii)求可判定两条生产线生产状况稳定的概率.

【答案】(1)3[,3

45

117243

⑵(i)P(X=2)=—；(ii)—

400400

【分析】(1)应用古典概型的概率求法求A生产线的合格率，根据直方图及频率与概率

关系求B生产线合格率;

(2)(i)(ii)应用独立事件乘法公式及互斥事件加法求尸(X=2)、两条生产线稳定生

产的概率;

【详解】(1)设A,3两条生产线在试运行阶段产品的合格率分别为P1,p29

235

30x-+40x-+30x-,

p、=—2——4——6=3,

130+40+304

由直方图得：(0.02+0.03+a+0.08+0.03)x5=1,解得a=0.04,

p2=(0.08+0.04)x5=0.6=1.

33

⑵由题意知，试运行阶段A,3两条生产线生产的产品的合格率分别为

45

⑴。(X=2)=吟#；.找+图｛1)+&)唱

(ii)记事件C表示：可判定两条生产线生产状况稳定.

,C1.-+C'9—■—•

255244

20.已知定点P（2,0）,抛物线E：y2=2px（p>0）的焦点/满足|OF|=|闭，O为坐标

原点.

⑴求E的方程：

⑵过点F作斜率为我（女工0）的直线/与E交于两点，过点尸且与/垂直的直线4与

/交于点M,与E交于C,。两点（设A,C两点在同一象限），若直线与直线8c

平行，求左?的值.

【答案】⑴V=4x

（2）公=包

2

【分析】⑴由定点尸（2,0）,抛物线的焦点尸整0）,根据|。同=阀求解；

（2）/:7=^-1）,易得直线4：y=-：（x-2）,分别与E联立，根据AO〃8C,由

K

kAD=kBC>结合韦达定理求解.

【详解】⑴解：已知定点P（2,0）,抛物线£丁=2»5>0）的焦点尸H，0）,

因为|OF|=|闭,

所以垓=之一会解得P=2,

则尸（1,0）,所以抛物线方程是y2=4x；

(2)易知/：y=%(x-l),A(ay),8(毛,%)(设才>。)，

联立<:消去y得心2_（2%2+4卜+二=0,

-4

则…=2+"

中2印

直线4：y=-g(x—2),联立<)'=一％("—2),消去X得V+4切—8=0,

k2A

y=4x

/、/、fy,+y=-4k

设C%%,(设方>0),贝ij,34,

[%%=-8

3皿44

%一%y+以々一项必+%

若AD〃BC,则砥"=&c，

即y+M=%+乃，%-%=%-%>°，

y+丫2=%(%+%)_2%=)，乂%=7而^=4

K

(M—%丫=(%+%『-4%)，2=^+16,

同理得(M-yj=(%+yj-4y3y4=16犷+32,

化简得/+二一1=0,解得公=避二1(负值舍去).

2

21.已知函数/(x)=(x+')lnx-以，a>0.

⑴若〃=2,求函数〃x)的极值；

⑵设g(x)=g(e~w2+ar),当x>0时，〃x)4g'(x)(g'(x)是函数g(x)的导数)，

求。的取值范围.

【答案】(1)极大值为2,极小值为工-e

e

〜2

(2)a>-

e

【分析】(1)求导/'(x)=lnx-吗-l+AnU-lllnx-l),再利用极值的定义求解;

xx~Vx~)

(2)将问题转化为(Y+l)lnx2wlnepe'a+l),设°(x)=(x+l)lnx,则⑴(e"*)2夕(x),

利用导数法得到函数以x)在(0,田)上单调递增，则得到我221nx在((),+<»)上恒成立求

解.

【详解】⑴解：/'(x)=lnx-^^-l+*=(l-g)lnx-1),

令尸(x)=0,得工=1或"=6,

当0cx<1或x>e时，f'(x)>0,当1cx<e时，/f(x)<0,

所以函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,e)上单调递减，在®+00)上单调递增,

所以函数小)的极大值为川)=-2,函数〃x)的极小值为小)=卜.

(2)/(x)=；a(e"-2x+l),

(xH—)Inx—ax45a(e”—2x+1),即2(x~+l)lnx4<zx(e"v+1),

即(f+l)lnx2<lnem(e^+l),

设O(x)=(x+l)lnx,^(x)=lnx+—+1,

x

1Y一1

设A(x)=l+—+lnx,k\x)=­z-,

xx

当0cx<1时，％'(幻<0,当x>l时，k'(x)>0,

所以函数-x)在(0,1)上单调递减，在(1,E)上单调递增，

Mx)“⑴=2,即d(x)N”⑴=2,

则函数以x)在(0,y)上单调递增，则由e(e")>^(x2),

得y2好在(0,内)上恒成立，即以w21nx在(0,+8)上恒成立.

设/z(x)=尊，/(如=2(1]”,

当0<x<e时，〃'(幻>0,当x>e时，//(x)<0,

所以函数版x)在(0,e)上单调递增，在(e,+e)上单调递减，

2

所以〃(x)"(e)=—,

e

2

故。之一.

e

fx=6+6cosa

22.在直角坐标系xOy中，曲线片的参数方程为(。为参数)，P是片上

[y=6sina

的动点，点。满足加=3丽，。点的轨迹为曲线E2.

(1)求当的直角坐标方程；

⑵以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线a音(P训与片，E,

的异于极点的交点分别为A,B,射线&=?(夕20)与£,心的异于极点的交点分别为

O

C,D,