2022届高考文科数学考前押题卷（全国甲卷）（含答案）

2022年高考文科数学考前押题卷（全国甲卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知集合知="€?^|次|<6},%=卜€2|犬—6》+5<0},则MIN=（）

A.{2,3,4}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,3,4,5,6}D.{0,1,2,3,4,5,6}

2.若复数z满足z-（l+i）=l-百+（1+我i,则闭为（）

A.lB.2C.3D.4

3.命题f-aVO”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a"B,a>5C.a"D.a«5

4.2021年，我国通信业积极推进网络强国和数字中国建设，5G和千兆光网等新型信息基

础设施建设覆盖和应用普及全面加速，移动电话用户规模小幅增长.截止2021年，全国电话

用户净增4755万户，总数达到18.24亿户，其中移动电话用户总数16.43亿户，全年净增

4875万户，其中，4G移动电话用户为10.69亿户，5G移动电话用户达到3.55亿户，周定

电话用户总数1.81亿户，全年净减121万户.自2011年以来固定电话与移动电话普及率（单

位：部/百人）如图所示，则以下说法错误的是

固定普及率移动普及率

（部/百人）（部/百人）

100m-,112.2_112.9.120

94

R?90.8-592.5114.4,116.3

80

73,6~*-------90

60

■60

40

2L320.619718.316.81513.913.813.612.912.8

20■30

0------,——,——,——,——1——,——,——,——------L0

2011年2013年2015年2017年2019年2021年

-6-固定电话普及率I-移动电话普及率

2011-2021年固定电话及移动电话普及率发展情况

A.近十年以来移动电话普及率逐年递增

B.近十年以来固定电话普及率逐年递减

C.2021年移动电话普及率为116.3部/百人，比上年末提高3.4部/百人

D.2021年固定电话普及率为12.8部/百人，比上年末降低0.1个百分点

5.已知sina+2cosa=0,则cos2a-sin2a等于（）

6.已知a,夕为锐角，且tana=2,cos(«+/J)=9则tan(a—/7)=()

9-9「7c7

A.——B.—C.——D.—

13131212

7.如图，长、宽分别为50cm、30cm的矩形图片，现向图片中随机扔100粒豆子，落在图中

阴影部分的有34粒，则该阴影区域所占的面积约为()

A.505cm2B.507cm2C.508cm2D.510cm2

8.已知函数/(x)=r|凡且〃加+2)+/(2机—1卜0,则实数2的取值范围为

A.(一00,一§)B.(-oo,3)

C.(3,-Foo)D.(,4-00)

3

9.已知函数/(x)=sin(ox-geostwx®>0)的图象向左平移-个单位长度后得到函数g(x)

6

的图象关于y轴对称，则出的最小值为()

2

A.lB.2C.—D.5

3

10.为了提高学习兴趣，某数学老师把《九章算术》与《孙子算经》这两本数学著作推荐给

学生进行课外阅读，若该班甲、乙两名同学每人至少阅读其中的一本，则每本书都被同学阅

读的概率为()

,2c1-2r7

A.-B.-C.—D.一

9339

22

11.已知点P(x,y)(xw0,yH0)是椭圆土+二=1上的一个动点，F],乃分别为椭圆的左，右

168

焦点，0是坐标原点，若M是的平分线上的一点(不与点尸重合)，且丽•丽'=0,

贝UI加I的取值范围为()

A.[0,3)B.(0,2亚)C[2也,3)D.[0,4]

2

12.已知函数/(%)=tnx+3cosx-3(/7?>0)4R上有且只有一个零点，则实数m的最小值为

123

A.—B.一C.lD.—

232

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知单位向量a,b的夹角为£,则|。一麻|=.

22

14.已知A,B分别是双曲线。:=-1=1(“>0,6>0)的右顶点与虚轴的上端点，尸(2,0)是

a"h~

双曲线C的右焦点，直线AB与双曲线C的•条渐近线垂直，则双曲线C的标准方程为

uuuuu

15.在直角三角形四C中，N8=90°,P在线段AC上，AB=EBC=1,则|3BP+"|的最

小值为.

16.如图，等腰Rt4/W)所在平面与矩形ABCD所在平面垂直，且隙=PD=AB=2,则四

棱锥P-ABCD的外接球的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(12分)随科技创新方面的发展，我国高新技术专利申请数也日益增加，2015年到2019

年我国高新技术专利申请数的数据如表所示(把2015年到2019年分别用编号1到5来表示).

年份编号X12345

专利申请数M万件)1.61.92.22.63.0

(1)求高新技术专利申请数y关于年份编号x的回归方程；

(2)由此线性回归方程预测2022年我国高新技术专利申请数.

2七%一时$

附：吞3--------,公=歹一以,三七%=37.4.

i=l

18.(12分)2021年5月22日10时40分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火

星表面，开始巡视探测.为了增强学生的科技意识，某学校进行了一次专题讲座，讲座结束

后，进行了一次专题测试(满分：100分)，其中理科学生有600名学生参与测试，其得分都

在［50,100］内，得分情况绘制成频率分布直方图如下，在区间［6(),70),［70,80),［80,9())的频率依

次构成等差数列.

若规定得分不低于80分者为优秀，文科生有400名学生参与测试，其中得分优秀的学生有

50名.

(1)若以每组数据的中间值代替本组数据，求理科学生得分的平均值；

(2)请根据所给数据完成下面的列联表，并说明是否有99.9%以上的把握认为，得分是否优秀

与文理科有关？

优秀不优秀合计

理科生

文科生

合计1000

附：K2.________幽一切2----------，其中"=a+力+c+d.

(a+h)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P伴决)0.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

19.(12分)我校开发一项实践课程，名为“厨房掌勺”(做菜)，为了解该课程受欢迎程度,

在全校男女学生中随机各抽取了30名学生进行调研，统计得到如下的列联表：

喜欢不喜欢总计

女生24

男生1230

总计

附：参考公式及数据小小粽"E，其中i+F+d.

尸（六滋）0.500.400.250.150.1000.0500.0250.0100.0050.001

k。0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

（1）补全列联表中所缺的数据，判断是否有85%的把握认为“喜欢该课程与性别有关”？

（2）现用分层抽样的方法从喜欢该课程的学生中，抽取7人进行进一步的VIP问卷调查，

再从接受VIP问卷调查的学生中随机抽取2人赠送小礼品，求这2人中至少有1名女生获得

小礼品的概率.

22

20.（12分）己知椭圆E:X+»=1（。＞人＞0）的左、右焦点分别为",生，下顶点为M,直

线〃尸2与E的另一个交点为P，连接尸石，若△PA"；的周长为4女，且写鸟的面积为

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）若直线/:、=区+,"（相片-1）与椭圆£交于4B两点，当m为何值时，M41MB恒成

立？

21.（12分）已知函数/（x）=e'—℃—1（。eK）.

（1）求函数“X）的单调区间及极值；

（2）当a=l,xN0时，证明：（2+cosx）-/,（x）＞3sinx.

（-）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22.【选修I：坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标系X。），中，以坐标原点0为极点，”轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：

[.《

X=-24---1

psin2Q-2acos＞0）,直线/：,厂2（，为参数）.

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程；

⑵设直线/与曲线C交于“、N两点，P（-2,0）,若WM，|MV|,|PN|成等比数列，求

实数。的值.

23.【选修4-5：不等式选讲[（10分）

已知函数/(x)=|x+l|+|x-2|.

(1)解不等式f(x)>6;

(2)若关于x的不等式/(x)Nx2+,〃在［0,4］上恒成立，求实数m的取值范围.

答案及解析

1.答案：A

解析：已知集合M={XGN||X|<6},?/=|XGZ|x2-6x+5<01,故集合M={0/23,4,5,6},

N={2,3,4},所以MIN={2,3,4}.故选A.

2.答案：B

解析：Qz-(l+i)=l-g+(l+#)i,

复数zJ_G+(l+6)i=]+后,;.|z|=2,故选B.

1+i

3.答案：B

解析：因为命题“Vl《x42,x2-a<0"是真命题，所以Vl《x《2,“NV恒成立，所以“2牝

结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是“25.故选B.

4.答案：A

解析：A.由于2015年移动电话普及率比2014年的普及率低，所以近十年以来移动电话普及

率逐年递增是错误的，所以该选项错误；

B.近十年以来固定电话普及率逐年递减，所以该选项正确；

C.2021年移动电话普及率为116.3部/百人，2020年移动电话普及率为112.9部/百人，所以

2021年比上年末提高3.4部/百人，所以该选项正确；

D.2021年固定电话普及率为12.8部/百人，2020年固定电话普及率为12.9部/百人，2021

年比上年末降低0.1个百分点，所以该选项正确.

故选A.

5.答案：D

解析：由sina+2cosa=0得tana=阿区=一2

cosa

cos2a-sin2a-2sinacosa1-tan2a-2tana1—4+4

所以cos2a-sin2a=

si.n2a+cos2atan2a+14+15

故选D.

6.答案：A

解析：因为a,夕为锐角,所以a+/7e(0,;r).

由cos(a+/7)=得sin(a+/?)=-cos2(a+(3)=

To-'

则tan(a+/?)=-：.又tan2a=2tana----4-

1-tan2a3

故—2故选A.

7.答案：D

解析：设阴影区域的面积为xcm2,因为矩形面积为50x30=1500（5?）,则由几何概型公

r34

式得」_=2L,解得x=510,故选D.

1500100

8.答案：D

解析：对/(x)=r|x|,其定义域为R,且/(-X)=M=-/(X),故为R上的奇函数；

又当X>0时，/(%)=—「，其在(0,内)上单调递减：当X<0时，/(X)=?,其在(T&0)上

单调递减；

又/(x)是连续函数，故/(x)在R上都是单调减函数.

所以/(加+2)+/(2优-1)<0,即/(加+2)</(1-2加)，

所以〃2+2>1—2加，解得〃

故选D.

9.答案：D

解析：•・•/(%)=sin3一百coss=2sin(但一,

(7[)兀(①兀兀)

；.g(x)=2sinX+-I-j=2sin[0x+%--§J.又函数g*)的图象关于y轴对称，则

—--=kn+-,kwZ,：.co=6k+5,攵eZ.：0>O,,当k=0时，。有最小值5,故

632

选D.

10.答案：D

解析：记这两本书分别为A,B,则甲、乙阅读这两本图书的所有可能情况有

(AA),(B,B),(A,B),(B,A),(AB,A),(AB,B),(AAB),(B,AB),(AB,AB)9种不同的情况，其中

7

两本书都有同学阅读的情况有7种，故所求概率P=；,故选D.

11.答案：B

解析：如图，延长尸入，FiM)交于点N,则为等腰三角形，M为片N的中点，

|两|=3物卜口|丽%丽|丽2||.由图可知，当P在短轴端点时，I而I取

得最小值，此时|。面|=0,当P在长轴端点时，|加|取得最大值，此时|丽'|=2加,但

P不能在坐标轴上，故取不到端点值，所以I而1的取值范围为(0,2啦).

12.答案:D

解析：由题可知，/(X)为偶函数，/(0)=(),l..f(x)=2mr-3sinx.

设g(x)=2wx-3sinx,则g'(x)=2m-3cosx»

3

当m21时，g，(x)±3—3cosx20,故g(x)在(0,+8)上单调递增，

故当x>0时，g(x)>g(0)=0,即尸(x)>0,即在(0,+oo)上单调递增，

故/(x)在(0,+8)上没有零点，由/(x)为偶函数，可知/(X)在R上有且只有一个零点；

当0<〃7<：时，存在使25=3cos±),当xe(O,Xo)时，g'(x)=2〃?-3cosx<0,

即g(x)在(0,x0)上单调递减，故g(x)<g(0)=0,即/(x)v0,故/(x)在(0,x(1)上单调递减,

故/(3)</(0)=0，且/'3)=4的2>(),则/(X)在(Xo,2n)上有零点,不符合题意，

故〃此士，即实数m的最小值为二，故选D.

22

13.答案：1

解析：Ia-出肝=/-2&a•方+=1-3+3=1,贝.

14.答案：--^-=1

22

h

解析：由题意得A(a,0),3(0,力，双曲线的渐近线方程为y二±±x,

a

.,_bb2.

..KAQ=—,..—T=-1,••a—of

aa

又尸(2,0),:.c2=a2+b2=2a2=4,:.a2=b2=2,

92

・•・双曲线C的标准方程为三-二=1.

22

15.答案：也

2

uuutlUliuuuuuuu

解析：由题可得CA=2,ZBC4=60。.设CP=ACA,2s(0,1),则PA=(1-A)CA,则AP=(2-1)CA,

UUiUlllUUUULIUUUUUUUUUUULIULUI

所以13BP+AP1=13BC+3cp+AP|=\3BC+3AC4+(A-1)CA|=|3BC+(4A-1)G4|=

fUUUDUUUT[HIiHT~I,

y]9BC2+(42-l)2G42+2.3BC.(42-1)04=9+(42-1)--4+2x3(4A-l)-2xlx

_____________7nruni

2

V64Z-56Z+19.当；1=正时，(I3BP+AP|)min=味.

16.答案：1271

解析：如图，连接AC,80,交于点0,取AQ的中点“，连接尸M，

因为A4=PD=AB=2,所以尸M1A£），

因为等腰Rtzx/W）所在平面与矩形ABCD所在平面垂直，且平面PA£）n平面ABCD^AD,

所以PM1平面ABCD,

连接。M,0P,则PM10M.

在等腰Rt△出。和矩形ABCD中，PA=PD=AB=2,

所以A“=2>/2,PM=鼻,AC=BD=J8+4=24,

所以。4=。5=OC==⑸MO=1,

所以OPXPM'OM?=小，

所以。尸=OA=08=OC==0，

所以点0为四棱锥P-ABC。的外接球的球心，则球的半径为G，

所以四棱锥P-ABCQ的外接球的表面积为4兀•（石了=12兀，

故答案为：12兀.

17.解析：（1）由已知可得h=3,歹=2.26,

工匕=15,Zy,=11.3,=37.4，

i=li=\i=l

工占y-5.

37.4-33.9

-------=0.35，

55-45

E^,2-5X2

i=l

a=y-bx=1.2\,

所以回归方程为5,=O.35x+1.21.

⑵由⑴知》=0.35x+1.21.

又2022年对应的是编号8,

所以2022年我国高新技术专利申请数y=().35x8+1.21=4.01(万件),

即可以预测2022年我国高新技术专利数为4.01万件.

18.解析：(1)由第三、二、四组的频率依次构成等差数列可得2〃="?+0.015.

又频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1,则(0.015+〃+刃+0.015+0.010)x10=1,

解得机=0.035,〃=0.025,

理科学生得分的平均值为

(55x0.015+65x0.025+75x0.035+85x0.015+95x0.010)x10=73(^).

(2)理科学生优秀的人数为(0.015+().010)x10x600=150,

二补全2x2列联表如表所示,

优秀不优秀合计

理科生150450600

文科生50350400

合计2008001000

1(X)()>(50>350—450>50>

K2=23.4375>10.828

600x400x200x800

二有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.

19.答案：(1)有85%的把握认为“喜欢该课程与性别有关”

解析：(1)由题意，补全列联表如表所示,

喜欢不喜欢总计

女生24630

男生181230

总计421860

心…2

所以有85%的把握认为“喜欢该课程与性别有关”.

（2）喜欢该课程的学生中，女生24人，男生18人，由分层抽样易得应该抽取女生4人,

男生3人.

设4个女生分别记为a，&,A,,A",3个男生分别记为耳，B2,,在这7人中,

随机抽选2人赠送小礼品有基本事件：

（Ad），（4,4），（A,A,）,（4,4），（4，4），（4,4），（4，与），（4，区），（A，W），

（4出），（&刍），（&,”），（4,6），（4,刍），（43，名），（A4,8J，（4,耳），（4⑸，

（男,仇），（B,,B3）（B,,B,））共21种;

其中这2人至少有1名女生获得小礼品的基本事件：

（A，4），（A，a），（A，A），（A2,A,）>（4,A|），（4,A,），（A，3j,（4,,B,）>（、品），

（外出），（4,线），（4,鸟），（4,西），（4,生），（4，居），（4，用），（4,小），（4，居），

共18种，

则这2人中至少有1名女生获得小礼品的概率尸=羽=2

217

20.答案:（1）标准方程为上+y2=l.

2

（2）当机=■!■时，M41MB恒成立.

3

解析：（1）设忻引=2c.

由椭圆的定义可知，月的周长为44=4忘，故〃=>/5.

直线M居的方程为y=—,

C

22(1/I2r//、

与二+4=1联立可得点PF~7-~7,

a2b2+Ccr+CJ

:.APFE的面积为；x2cx―鼻=；4=1/73,

即3c=2+c2,

解得c=l或c=2(舍)，贝|]/=苏一/=1,

二椭圆E的标准方程为二+丁=1.

2

y=kx-\-m,

(2)联立消去y得(242+l)d+4如吠+2”，一2=0A=8(2A:2-/n2+1)>().

由(1)可知加(0,-1),

设A(X[，x),5(七,%)'

i4km2〃/-2

贝mi」x+x>=------——,xx=

2d+1-92k2+1

,/、小^k2m,2m

y+%=攵(匹+x,)+2m=---；----F2m=—；

।~V12F+12^+1

22

y}y2=(fct)+m)(Ax2+m)=kx]x2+mk(3+x2)+m

&2Q/-2)4k2m22nr-2k2

=----------------z—+in-=------,

2k2+i2k2+\2k2+\

ULIIUUUU

:.MA，MB=(%,%+1)・(々,》2+1)

=x,x2+(y,+l)(y24-1)

=玉电++y+%+1

2m2-2m2-2k2Im.

=—;——+——----+—;—+1-

2k-+\2k-+\2k1+\

由M41MB得遥.潴=0,故3M+2加-1=0,

解得“2=1或〃?=-1(舍)，

3

.•.当加=1时，M4_LMB恒成立.

3

21.解