《数字信号处理题解及电子课件》第9章-信号处理中的若干典型算法

第9章信号处理中的若干典型算法9.1信号的抽取与插值9.2信号的子带分解及滤波器组9.3窄带信号及调制与解调9.4逆系统、反卷积及系统辨识9.5奇异值分解9.6独立分量分析9.7同态滤波及复倒谱9.1信号的抽取与插值前言：关于抽样率转换问题

（一）为什么要作抽样率转换？

1.信号原来的抽样频率不合适如抽样频率过高，数据量太大,因此存储量大；计算负担重，传输时需要大的带宽。2.实际的数字系统中，不同的处理环节需要不同的抽样频率例如：在音频世界，就存在着多种抽样频率。得到立体声信号（Studiowork）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz。

同一首音乐，从录音、制作成CD唱盘到数字音频广播，抽样频率要多次变化。再例如：当需要将数字信号在两个或多个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换。3.信号多分辨率的需要

根据信号频率成分的分布，将一个信号分解成低频信号和高频信号，或分解成多带信号（如M个带），分解后的信号带宽减少M倍，所以抽样频率可减少M倍。多抽样频率下信号的处理称为

“多抽样率信号处理”

MultirateSignalProcessing（二）、如何实现抽样率的转换？3.基于原数字信号，用信号处理的 方法实现抽样率转换。☆？2.1.对原来的模拟信号重新抽样；（三）、多抽样率信号处理的内容信号的抽取(Decimation);信号的插值（Interpolation);抽取与插值的实现、多相结构、多抽样率系统；两通道滤波器组，分析与综合；M通道滤波器组，分析与综合；多抽样率信号处理的应用。一、信号的抽取

↓MDown-Sampler最简单的方法是将中每

个点中抽取一个，依次组成一个新的序列，即抽样频率减少倍？要找到抽取前后，和的时域、频域关系。对于抽取，要通过中间序列

现证明如右的关系：证明：？

的抽样率仍为令：的抽样率是

现在的任务是:1.找到和的时域与频域的关系;2.找到和的时域与频域的关系;3.找到和的时域与频域的关系;令关键是和的关系：为一脉冲序列，其抽样频率也为正确周期序列展为傅里叶级数

所以：又因为：最后：信号抽取前后频域的关系如何理解？令：将作3倍的扩展将移动后作3倍的扩展将移动后作3倍的扩展再迭加！将信号作的抽取，得

目的：将抽样频率降低倍；原则：应保留中的全部信息；措施：的一个周期应等于的一个周期；结论：：抽取的结果不会发生频谱的混迭

由于

是可变的，所以很难要求在不同的

下都能保证

结果：出现了频谱的混迭，如：抽取后频谱的混迭

解决的办法：在抽取前加反混迭滤波器，去除中的成分。虽然牺牲了一部分高频内容，但总比混迭失真好。加上频带为（）的低通滤波器后，可以避免抽取后频谱的混迭二、信号的插值最简单的方法是将每两个点之间补L-1个零。

Up-Sampler信号抽取前后频域的关系镜像（Image)必须去除！坐标轴的又一种标注法

去除镜像的目的实质上是解决所插值的为零的点的问题。方法：滤波三、抽取与插值相结合的抽样率转换

分数倍抽样率转换：CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz。如何转换？先倍插值，再的抽取合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取

插值抽取

因为两个滤波器工作在同样的抽样频率下，所以可将它们合并成一个单独抽取和单独插值时时域关系的结合例如何计算？包含很多乘以零的运算，实际上是不需要的

法1由求，每两个点只要一个，即白计算了所以，在抽取与插值中，一定会有高效的计算方法，原则是：插值时，乘以零的运算不要做；抽取前，要舍弃的点就不要再计算。的又一种表示形式：表示对模求余多相结构表示法2例考查一个多抽样率系统是如何工作的四、抽取和插值的滤波器实现

问题：卷积后有大量的数据被舍去，浪费了计算时间。改进：右图假定：分析一下和滤波器系数相乘的输入数据：与相乘的滤波器系数：与相乘的滤波器系数：与相乘的滤波器系数：可把滤波器的系数分成组， 每组个系数例令作L＝3倍的插值；作M＝4倍的抽取；作L/M=3/4倍的抽样率转换。作为作业：请编程实现该题的要求，并给出类似下页的图形

9.2信号的子带分解及滤波器组的基本概念将信号的频谱均匀或非均匀地分解成若干部分，每一个部分都对应一个时间信号，我们称它们为原信号的子带信号。对信号x(n)，我们欲将其传输，若用数字方法，其传输过程包括数字化、量化、编码及调制等步骤。若对该信号用抽样频率fs

进行抽样，每一个抽样数据为16bit，那么其1秒数据所需要的bit数是16fs。

例

能否保证在传输信号不失真的情况下，减少所用的bit数？我们发现x(n)的频谱主要中在归一化频率0.08及0.12处，而从0.25～0.5处的能量很小。解决方法分别用一个低通滤波器H0(z)和一个高通滤波器H1(z)进行滤波H0(z)↓2H1(z)↓2由于：的频带减小了一半；所以：可以在它们后面跟一个二抽取环节；这时：的抽样频率为含有较多的信号能量，每个抽样点仍用16bit含有较少的信号能量，每个抽样点用4bit总的bit数原来滤波器组的基本概念

一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的相加后的输出概念：分析滤波器组综合滤波器组分析滤波器组的作用：将信号按频带分解，分解为低通、一系列带通和高通信号。按信号能量的分布，或按重要性，给以分别的处理。去除抽取时的混叠。无混叠有混叠通道滤波器组综合滤波器组的作用：去除插值后的镜像；实现真正的插值；重建原信号。：由于每一个子带信号的频带降为原来的，所以抽样频率可降低倍；：恢复原来的抽样频率，使重建后的信号和原信号有相同的抽样频率。又抽取又插值的作用：达到按信号能量分布给以不同处理的目的，如 编码；抽取后的信号可能要传输很原才重建。需要研究产生失真的原因：

对失真的因素:1.混迭失真：抽样频率不满足（1）个滤波器如何设计？（2）每一路的滤波如何计算？（3）如何保证PR?2.幅度及相位失真：滤波器组的频带在通带内不“平”，而其相频特性不具有线性相位所致3.编码,量化，传输所产生的误差9.3窄带信号及调制与解调：低频，其最高频率远小于

待调制信号(modulatingsignal)或基带信号

假定为常数：载波信号（carriersignal）

：调制信号(modulatedsignal)一、窄带信号：频谱的中心在；

有效带宽窄带信号又称幅度调制幅度调制说明窄带信号多是幅度调制信号，如：窄带信号的表示方法：1.直接表示：2.间接表示则垂直分量同相分量令3.解析信号表示复数包络令则如果相位为零，则复数包络即是结论：窄带信号的频谱可由其复数包络的频谱作移位而得到。

或：窄带信号可由一个低通信号来表示。二、信号的调制与解调信号为什么要调制？要传输的是语音、图像和数据，它们都是低频信号。这样的信号如直接通过信道传输，将会产生严重的衰减，且易受噪声的干扰。

幅度调制(AM)频率调制（FM）相位调制（PM）调制方式传输方式时分复用（TDM）频分复用

（FDM）调幅（AM）双边带（DSB）调制单边带（SSB）调制双边带调制的带宽是单边带调制的2倍调相（PM）：待调制信号；：偏移常数；：载波的幅度，为常数。调频（FM）令则瞬时频率频率调制后的信号待调制信号PM、FM统称角度调制，为非线性调制，特点是传输的带宽大，抗噪性能好。应用于高保真广播。给定一低频正弦信号，可用modulate.m文件实现其不同形式的调制。结果如图。例FMPMAmdsb-scAmdsb-tc

Amssb

Amdsb：双边带；Amssb单边带

信号的解调（Demodulation)对幅度调制，其过程即是“包络检测”，使用的方法即是通过Hilbert变换，求出解析信号，然后将频谱移位，得到低通包络信号。窄带信号的抽样：若：，太大了！窄带信号抽样定理9.4逆系统、反卷积及系统辨识若，已知，求，正问题；多数情况如此若，已知，求，逆问题；已知系统和输出，求源心电逆问题，脑电逆问题若，已知，求，逆问题；已知输入输出，求系统矿物勘探、地球物理等领域由输出求输出和系统这两种情况都要用到“逆系统”和“反卷积”的概念：如果互为逆系统稳定的充要条件最小相位系统1.若系统输入、输出已知，希望求系统调整的参数，使接近等于，则2.若系统输入未知，输出已知，希望求系统调整的参数，使接近等于，则若系统输出已知，再知道输入或系统，欲求另一个，可采用反卷积的方法：依次递推deconv.m

系统辨识－从频域求解：谱分解9.5奇异值分解正交阵对角阵长方阵正交阵

的奇异值的左奇异向量的列向量的列向量的右奇异向量奇异值分解的本质是用两个正交阵对一个长方阵分别做变换，使其变成对角阵。然后按大小将奇异值排序。几点结论和说明：所以，是的左奇异向量1.2.所以，是的右奇异向量3.是是特征向量或

特征值的开方4.矩阵可看作奇异向量做外积后的加权和，权重即是非零的奇异值，即

5.矩阵的Frobenius范数定义为关系：6.如果：满秩

，的列向量也按此排序7.排序的前个列向量形成了的列向量所张成的空间的正交基；的前个列向量形成了的行向量所张成的空间的正交基；的后个列向量形成了的零空间的正交基；的后个列向量形成了的零空间的正交基。结论8.伪逆（pseudo-inverse）

展开9.线性方程组方程数大于未知数:超定(overdetermined)方程组；方程数小于未知数:欠定(underdetermined)方程组在超定和欠定两种情况下，方程的解可表为：超定()：欠定()：10.超定方程组无唯一解，但给定约束条件

现讨论解的性质。有唯一解解的性质：所以，由伪逆给出的解是最小平方（二乘）解，其求解算法可以用奇异值分解来实现。

SVD在信号处理中的应用：反卷积、信号的最小平方估计、噪声去除、ARMA模型求解及参数模型阶次的估计等。

例信号去噪矩阵的奇异值可以反映信号和噪声能量集中的情况。如果将它们按照递减的顺序排列起来，即那么，前个较大的奇异值将主要反映信号，较小的奇异值则主要反映噪声，把这部分反映噪声的奇异值置零，就可以去除信号中的噪声。这就是利用SVD去除噪声的基本原理。对一维信号，关键是如何形成矩阵。方法1：方法2：

9.6独立分量分析简介独立分量分析（independentcomponentanalysis，ICA）是近年来由信源盲分解（blindsourceseparation,BSS）技术发展起来的多通道信号处理方法。

如何由头皮脑电信号反演来求出皮层内的脑电信号？这是一个典型的反卷积问题，也是一个典型的信源盲分解问题，极具挑战性的课题。高分辨脑电脑电核磁图像3维模型剖分脑电核磁图像

ICA模型每一个分量都是时间的函数源信号：M个（假定：颅内偶极子给出）观察信号：N个（假定：头皮电极给出）是混合矩阵，将个变为个，它可以看作是从皮层通过颅骨到头皮的路径（系统）。我们的任务是由观察信号求出源信号，设想我们可以构造出一个解混合的矩阵。混合矩阵如果保证则当然只能是近似！为保证解混合过程能实现，且求解稳定，要求：（1）相互独立（3）源信号的各分量最多只能有一个是高斯信号。因为高斯信号的线性组合仍然是高斯的，两个以上高斯信号的解混问题是病态的。在ICA中，有两大类问题需要解决：一是如何判断解混后的信号的各分量之间是相互独立的，二是如何发展一套算法使混合信号通过解混运算后实现相互独立。（2）源信号的分量个数小于观察信号分量的个数。也就是说，由个观察信号最多只能分解出个源信号分量。衡量一组信号是否接近于相互独立，需要优化判据。判据有：代价函数极小化判据、互信息极小化判据、输出熵极大化判据以及极大似然估计判据等。

ICA的基本思路是选择上述某一种独立性判据，构造一个多通道随机信号的目标函数，通过合适的优化算法来调节解混矩阵从而使目标函数达到最大化或最小化。两大类：批处理算法；自适应处理算法。前者包括成对旋转法、改进的成对旋转法及固定点算法等；后者包括随机梯度法（Infomax算法）、自然梯度及相对梯度法（扩展的Infomax算法）、非线性主分量分解法等。仿真举例源信号混合信号解混信号例

9.7同态滤波及复倒谱简介

加法性噪声线性滤波乘法性噪声卷积性噪声调制信号就是乘法性的，即传输出去的信号是待调信号和载波信号的乘积。卷积性信号多出现在有回波的场合，如语音、雷达、声纳及超声成像等领域。在这两种情况下信号的频谱和噪声的频谱混叠在一起，不能简单地用线性滤波的方法去出噪声。同态滤波用来实现这一类型的去噪问题。对乘法性噪声：步骤1：取对数步骤2：滤波步骤3：取指数对卷积性噪声：步骤1：取Z变换步骤2：取对数步骤3：取Z反变换步骤5：取反变换步骤4：滤波步骤6：取指数在上述步骤中：有是的傅里叶变换取自然对数后的傅里叶反变换，称其为倒谱，由于其一