专题3.2 圆中垂径定理综合应用（3大类题型）（解析版）

专题3.2圆中垂径定理综合应用（3大类题型）【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】【题型1直接运用勾股定理求线段】1．（2022秋•青县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若OD＝5，AE＝2，则CD长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CD＝2CE，∠OED＝90°，∵OA＝OD＝5，AE＝2，∴OE＝5﹣2＝3，在Rt△DEO中，，∴CD＝2DE＝8．故选：C．2．（2022秋•道外区期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【解答】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB＝8，OA＝5，∴AM′＝×8＝4，在Rt△OAM′中，OM′＝＝＝3，∴线段OM长的最小值为3．故选：A．3．（2022秋•靖西市期末）如图，在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB于点D，若OC＝10，AB＝16，则CD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解答】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝8，∠ADO＝90°，在Rt△ADO中，∵OA＝OC＝10，AD＝8，∴OD＝＝6，∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4．故选：C．4．（2022秋•兴隆县期末）如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB⊥CD，垂足为M，CM＝2，则AB的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解答】解：连接OA．则OA＝OC＝CD＝5．则OM＝OC﹣CM＝5﹣3＝3．在直角△OAM中，AM＝＝＝4．∵AB⊥CD于M，∴AB＝2AM＝8．故选：D．5．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则OD的长是（）A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵半径OC与弦AB垂直于点D，AB＝8，∴AD＝AB＝4，∠ADO＝90°，∵OA＝OC＝5，∴OD＝＝3．故选：C．6．（2022秋•魏都区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝10cm，CD＝8cm，则BE的长为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．1.5cm【答案】C【解答】解：∵弦CD⊥AB，∴CE＝CD＝4，在Rt△OEC中，OE＝＝3，∴BE＝OB﹣OE＝2（cm），故选：C．7．（2022秋•定西期末）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OH⊥AB于点H，则OH＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：连接OA，∵AB＝6，OH⊥AB，OH过O，∴AH＝BH＝3，∠OHA＝90°，在Rt△OHA中，由勾股定理得：OH＝＝＝4，故选：B．8．（2022秋•河西区校级期末）如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB＝8，OC＝5，则MD的长为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：连接OA，∵CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB＝8，∴AM＝BM＝4，∵OC＝5，∴OA＝OD＝5，∴OM＝＝＝3．∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2．故选：C．9．（2023•包头一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（）A． B．8 C． D．【答案】D【解答】解：连接BE，∵AE为⊙O直径，∴∠ABE＝90°，∵OD⊥AB，OD过O，∴AC＝BC＝AB＝＝4，∵AO＝OE，∴BE＝2OC，∵OC＝3，∴BE＝6，在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，故选：D．【题型2勾股定理与方程综合求线段】10．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（）A．3 B．4.2 C．5.8 D．6【答案】C【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝10﹣R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（10﹣R）2，解得：R＝5.8，即⊙O的半径长是5.8，故选：C．11．（2021秋•瑶海区期末）如图，在⊙O中，OE⊥弦AB于点E，EO的延长线交弦AB所对的优弧于点F，若AB＝FE＝8，则⊙O的半径为（）A．5 B．6 C．4 D．2【答案】A【解答】解：连接OA，如图所示：设⊙O半径为r，则由题意可知：OA＝OF＝r，OE＝EF﹣OE＝8﹣r，又∵OE⊥弦AB于点E，∴AE＝＝＝4，在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，即，r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O的半径长为5．故选：A．12．（2022秋•宜春期末）已知：如图，⊙O的直径AC与弦BD（不是直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的长．【答案】AB的长．【解答】解：连接OB，OD，则：，∵DE＝EB＝2，即E为BD中点，∴AC垂直平分BD，又∵EC＝1，∴OE＝OC﹣CE＝OB﹣1，由勾股定理得：OE2+EB2＝OB2，即：（OB﹣1）2+22＝OB2，解得：，则AE＝AC﹣EC＝2OA﹣1＝4，∴．即：AB的长．13．（2022秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．【答案】．【解答】解：设⊙O的半径是r，∵点C是AB的中点，OC过圆心O，∴OC⊥AB，∵AB＝4，CD＝1，∴BC＝AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，∵OB2＝OC2+BC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OD＝，∴△BOD的面积＝OD•BC＝××2＝．14．（2023•蔡甸区校级开学）如图（1）是博物馆展出的古代车轮实物．为测量车轮半径，如图（2）所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则OA的长度是（）A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm【答案】D【解答】解：设⊙O的半径为rcm，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝45cm，在Rt△OAD中，∵OA＝r，OD＝r﹣15，AD＝45，∴452+（r﹣15）2＝r2，解得r＝75，即OA的长为75cm．故选：D．15．（2022秋•岳普湖县校级期末）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．1【答案】C【解答】解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AD＝4，由勾股定理可知：52＝42+（5﹣x）2∴x＝2，∴CD＝2，故选：C．16．（2023•五华县校级开学）如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝8，BE＝2，则⊙O的直径为．【答案】10．【解答】解：连接OC，如图，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，OC＝r，在Rt△OCE中，42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，∴⊙O的直径为10．故答案为10．17．（2023•五华县校级开学）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为P，且CD＝2，BP＝1，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC．∵CD⊥⊙O的直径AB，∴CP＝DP＝CD＝，设⊙O的半径为r．∵△OPC是直角三角形，∴OC2＝PC2+OP2，∴r2＝（）2+（r﹣1）2，∴r＝，∴⊙O的半径为．【题型3垂径定理在实际中应用】18．（2022秋•信都区校级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米 B．米 C．3米 D．米【答案】D【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，连接OC交AB于D，则OC⊥AB，，在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2，∴，∴，即点C到弦AB所在直线的距离是米，故选：D．19．（2022秋•龙亭区校级期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×8＝4，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝3．故选：A．20．（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，∴EM⊥CD，∵CD＝6，∴CM＝CD＝3，设OC是x米，则OM＝9﹣x，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝32+（9﹣x）2，解得：x＝5，∴OC＝5．故选：B．21．（2023•浦东新区模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【解答】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝8，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2即：（8﹣x）2+42＝x2解得：x＝5，故选：B．22．（2022秋•海淀区校级月考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．已知AB＝60m，CD＝10m，求这段弯路的半径．【答案】这段弯路的半径为50m．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，∴，设半径为r，则OD＝r﹣10，在Rt△OBD中，OD2+BD2＝OB2，即（r﹣10）2+302＝r2，解得r＝50m，答：这段弯路的半径为50m．23．（2022秋•郾城区期中）如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB为0.6米，污水的最大深度为0.1米．（1）求此下水管横截面的半径；（2）随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？【答案】（1）下水管半径为0.5米；（2）水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．【解答】解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，则CD＝0.1米，由垂径定理得：BC＝AB＝0.3米，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+BC2，∴OB2＝（OB﹣0.1）2+0.09，∴BO＝0.5，即下水管半径为0.5米；（2）如图，过点O作OH⊥MN于H，∴NH＝MH，∵水位又被抬升0.7米，∴OH＝0.1+0.7﹣0.5＝0.3米，∴NH＝＝＝0.4米，∴MN＝0.8米，∴增加了0.2米，∴水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．24．（2022秋•沭阳县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【答案】0.4米．【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC＝AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．25．如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度（所对弦长）为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m，问是否需要采取紧急措施？【答案】不需要．【解答】解：∵AB＝60米，MP＝18米，OP⊥AB，∴AM＝AB＝30（米），OM＝OP﹣MP＝（x﹣18）米，在Rt△OAM中，由勾股定理得OA2＝AM2+OM2，∴x2＝302+（x﹣18）2，∴x＝34（米）．当PN＝4时，∵PN＝4，OP＝x，∴ON＝34﹣4＝30（米），设A′N＝y米，在Rt△OA′N中，∵OA′＝34，A′N＝y，ON＝30，∴342＝y2+302，∴y＝16或y＝﹣16（舍去），∴A′N＝16，∴A′B′＝16×2＝32（米）＞30米，∴不需要采取紧急措施．26．如图，残缺轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB＝24cm，CD＝8cm．（1）找出此残缺轮片所在圆的圆心（写出找到圆心的方法）；（2）求此圆的半径．【答案】（1）圆的圆心如图所示；（2）13．【解答】解：（1）连接AC，作线段AC的垂直平分线交直线CD为O，则点O为此残缺轮片所在圆的圆心；（2）连接OA，设此圆的半径为rcm，则OD＝（r﹣8）cm，∵CD是弦AB的垂直平分线，AB＝24cm，∴AD＝12cm，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣8）2+122，解得：r＝13．27．某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m（如图）．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？【答案】此货船能顺利通过这座拱桥．【解答】解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝7.2m，∴BD＝AB＝3.6m．又∵CD＝2.4m，设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，解得r＝3.9．∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，∴CE＝2.4﹣2＝0.4m，∴OE＝r﹣CE＝3.9﹣0.4＝3.5m，在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝3.92﹣3.52＝2.96（m2），∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈3.44m＞3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．28．我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径（直径）几何？