整式乘法与因式分解全章测试（解析版）

整式乘法与因式分解全章测试单选题1．下列各式变形中，是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A、，没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不合题意；B、，没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不合题意；C、，没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不合题意；D、，是因式分解，故符合题意；2．已知，，则（

）A．－6 B．6 C．12 D．24【答案】B【详解】解：∵，，∴，，两式相减：，∴，3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：A．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左至右的变形不属于因式分解，等号右边有分式，故本选项不符合题意；C．从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；4．已知是完全平方式，则常数可以取（

）A．-1 B．1 C． D．2【答案】B【详解】解：∵是完全平方式，∴，∴，5．计算的结果是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：，6．如图，若用两种方法表示图中阴影部分的面积，则可以得到的代数恒等式是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：阴影部分面积可以表示为，也可以表示为，∴可得代数恒等式为，7．已知，则的值是（

）A．12 B．81 C．9 D．47【答案】D【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴．8．某校数学兴趣小组设置了一个数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得到；第二步：算出的各位数字之和得到，计算得到；第三步：算出的各位数字之和得到，再计算得到；…；依此类推，则的值是（

）A．63 B．80 C．99 D．120【答案】A【详解】解：根据题意，，，，，，，，，，∴从第三个数开始，每2个数一循环，∵，∴是第个循环的第1个数，∴的值为63，填空题(共20分)9．因式分解：______．【答案】【详解】10．已知，则代数式的值为______．【答案】【详解】解：∵，∴．11．已知是完全平方式，则______．【答案】【详解】解：∵是完全平方式，∴，∴，∴．12．若的积不含的一次项，则的值为_____．【答案】【详解】解：∵的积不含的一次项，∴，∴，∴．13．已知：，则__________．【答案】【详解】解：∵，∴．14．用如图所示的大小正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为，宽为的矩形，需要A类卡片________张，B类卡片________张，C类卡片________张．【答案】

2

3

1【详解】解：长为，宽为的矩形面积为，A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为，则可知需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张．15．若n满足，___________．【答案】4【详解】解：设，则，∵，∴，∴，∴，∴；16．如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________．【答案】【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，∵两个图形阴影部分面积相等，∴，17．如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________.【答案】【详解】第1个图形是一个小正方形；第2个图形由个小正方形拼成；第3个图形由个小正方形拼成，……拼成第个图形需要个正方形，拼成第个图形需要个正方形，，解得：；18．若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是________．【答案】4【详解】（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（24－1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（28－1）（28＋1）(216＋1)＋1＝(216-1)(216＋1)＋1=232-1+1＝232；∵，，，，，，，；∴尾数是2，4，8，6，……四个一循环，∵32÷4=8，∴232的末位数字是6，即A的末位数字是6，则A－2022的末位数字是4．解答题(共64分)19．计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．20．因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）,；（2）,；（3），；（4），．21．先化简，再求值：，其中，．【答案】，【详解】解：，，，∴原式．22．观察下列算式：①；②；③；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第④个算式：____________；(2)根据这个规律写出你猜想的第n个算式（用含n的式子表示），并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【详解】（1）解：∵，；，；，；∴第④个算式为：.（2）解：第个算式为.证明：.23．如图，图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为．(1)用两种不同方法求；（用含、的式子表示）(2)请直接写出、、这三个代数式之间的数量关系；(3)利用（2）中结论，完成下列计算：①若，，求的值；②已知，，求的值．【答案】(1)方法①：；方法②：；(2)；(3)①；②．【详解】（1）解：①∵大正方形的边长为，∴大正方形的面积为：，∵组成大正方形的四个长方形的长宽是，∴四个长方形的面积：；∴阴影部分的面积为：，②∵阴影部分的边长为：，∴阴影部分的面积为：．（2）解：∵，，∴，∴．（3）解：①∵，，∴，∴．②∵，，∴．24．【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．(1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式；(2)解决问题：若可配方成（m，n为常数），求mn的值；(3)解决问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出k的值，并说明理由．【答案】(1)(2)2(3)，见解析【详解】（1）解：，∴；（2）解：∵，又∵，∴，，∴；（3）解：当时，S是完美数，理由如下：，，∵x，y是整数，∴，也是整数，∵S是一个“完美数”，∴，∴．25．(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究与拓展】对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①

分解因式__________；②

若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．【答案】(1)(2