（三年模拟一年创新）高考数学复习 第九章 第五节 抛物线及其性质 文（全国通用）-人教版高三全册数学试题

【大高考】（三年模拟一年创新）2016届高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质文（全国通用）A组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2015·巴蜀中学一模)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(2)，抛物线y2＝2px(p＞0)与双曲线C的渐近线交于A，B两点，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝4eq\r(3)x解析∵eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(2)，∴a＝b，故双曲线的渐近线为y＝±x，因此可设A的坐标为(x0，x0)，则B的坐标为(x0，－x0)，S△AOB＝eq\f(1,2)x0·2x0＝xeq\o\al(2,0)＝4，则x0＝2或x0＝－2(舍)，将(2，2)代入y2＝2px，p＝1，故抛物线的方程为y2＝2x.答案C2．(2015·吉林市摸底)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为()A．2eq\r(3) B．2eq\r(5)C．4eq\r(3) D．4eq\r(5)解析根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，即点(－2，－1)在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，则p＝4，则抛物线的焦点为(2，0)；则双曲线的左顶点为(－2，0)，即a＝2；点(－2，－1)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝eq\r(5)，则焦距为2c＝2eq\r(5).答案B3．(2014·陕西高三质检一)已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是()A.eq\f(7,2) B．3 C.eq\f(5,2) D．2解析抛物线的准线方程为x＝－eq\f(1,2)，由图知，当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时|QM|－|QF|＝|2＋3|－|2＋eq\f(1,2)|＝eq\f(5,2)，选C.答案C二、填空题4．(2014·河南十所名校第三次联考)圆x2＋y2－2x＋my－2＝0关于抛物线x2＝4y的准线对称，则m＝________．解析易知圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(m,2)))，抛物线的准线方程为y＝－1，依题意有－eq\f(m,2)＝－1，所以m＝2.答案2一年创新演练5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是()A．2±eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C.eq\r(3)±1 D.eq\r(3)－1解析Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1),2p)，y1))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,2),2p)，y2))(y1≠y2)．由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得eq\f(yeq\o\al(2,1),2p)＋eq\f(p,2)＝eq\f(yeq\o\al(2,2),2p)＋eq\f(p,2)，所以yeq\o\al(2,1)＝yeq\o\al(2,2)，又y1≠y2，所以y1＝－y2，所以|PQ|＝2|y1|＝2，|y1|＝1，所以|PF|＝eq\f(1,2p)＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2±eq\r(3).答案A6．给出下列四个命题：①若直线l过抛物线y＝2x2的焦点，且与这条抛物线交于A、B两点，则|AB|的最小值为1；②双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝－1的离心率为eq\f(5,3)；③若⊙C1：x2＋y2＋2x＝0，⊙C2：x2＋y2＋2y－1＝0，则这两个圆恰有2条公切线；④若直线l1：a2x－y＋6＝0与直线l2：4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直，则a＝－1.其中正确命题的序号是________．解析①不正确，直线l过抛物线y＝2x2(x2＝eq\f(1,2)y)的焦点，且与这条抛物线交于A、B两点，则|AB|的最小值为2p＝eq\f(1,2)；②正确，a＝3，c＝5，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)；③正确，由于⊙C1：x2＋y2＋2x＝0，⊙C2：x2＋y2＋2y－1＝0相交，所以公切线有两条；④不正确，若直线l1：a2x－y＋6＝0与直线l2：4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直，则4a2＋a－3＝0，解得a＝－1或eq\f(3,4).答案②③B组专项提升测试三年模拟精选一、选择题7．(2015·忻州四校一联)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，M为抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且外接圆的面积为9π，则p＝()A．2 B．4 C．6 D．8解析∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝eq\f(p,2)，∴eq\f(p,2)＋eq\f(p,4)＝3，∴p＝4.答案B8．(2015·北京西城区检测)设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与W相交于A，B两点，记点F到直线l：x＝－1的距离为d，则有()A．|AB|≥2d B．|AB|＝2dC．|AB|≤2d D．|AB|＜2d解析设A，B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2；d＝2.当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝4＝2d，当直线AB的斜率存在时，AB的直线方程为y＝k(x－1)，将其代入y2＝4x，整理得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2)＞2，|AB|＞4＝2d，综上，|AB|≥2d.答案A二、解答题9．(2014·山西忻州一中期中)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，过F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：△ABO与△MNO的面积之比为定值．(1)解由焦点坐标为(1，0)可知eq\f(p,2)＝1，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明当直线AB垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，所以eq\f(S△ABO,S△MNO)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OF,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，设M(－2，yM)，N(－2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x))消y并整理得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0，所以x1·x2＝1.所以eq\f(S△ABO,S△MNO)＝eq\f(\f(1,2)·AO·BO·sin∠AOB,\f(1,2)·MO·NO·sin∠MON)＝eq\f(AO,MO)·eq\f(BO,NO)＝eq\f(x1,2)·eq\f(x2,2)＝eq\f(1,4)，综上，eq\f(S△ABO,S△MNO)＝eq\f(1,4)，即△ABO与△MNO的面积之比为定值．一年创新演练10．已知A，B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若eq\o(FA,\s\up6(→))＝－4eq\o(FB,\s\up6(→))，则直线AB的斜率为()A．±eq\f(2,3) B．±eq\f(3,2)C．±eq\f(3,4) D．±eq\f(4,3)解析∵eq\o(FA,\s\up6(→))＝－4eq\o(FB,\s\up6(→))，∴|eq\o(FA,\s\up6(→))|＝4|eq\o(FB,\s\up6(→))|，设|BF|＝t，则|AF|＝4t，如图所示，点A、B在抛物线C的准线上的射影分别为A1、B1，过A作BB1的垂线，交线段B1B的延长线于点M，则|BM|＝|AA1|－|BB1|＝|AF|－|BF|＝3t，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝5t，∴|AM|＝eq\r(|AB|2－|BM|2)＝4t，∴tan∠ABM＝eq\f(4,3).由对称性可知，这样的直线AB有两条，其斜率为±eq\f(4,3).答案D11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)