专题11函数y=Asinwxk的图像与性质（重难点突破）

专题11函数的图像与性质考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期频率相位初相(A>0，ω>0)AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)eq\a\vs4\al(ωx＋φ)φy＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φeq\a\vs4\al(0)eq\f(π,2)eq\a\vs4\al(π)eq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法考点二函数与函数的性质函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：定义域：；（2）值域：；（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．（5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．重难点题型突破1“五点法作图”画函数的图象例1、（22·23·全国·专题练习）画出函数在区间上的图象.【答案】图象见解析【分析】按照列表、描点、连线的步骤画出函数图象.【详解】列表：00010描点，连线，可得图象如下：【变式训练11】、（22·23上·海淀·阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0xmnp1611(1)求出实数m，n，p的值；(2)求出函数的解析式；(3)将图象向左平移个单位，得到的图象．若为偶函数，求t的最小值．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（1）根据表格列方程，解方程得到，，；（2）根据表格得到，解方程得到，然后结合（1）中结论即可得到的解析式；（3）根据图象的平移变换得到，根据为偶函数得到为最值，然后解方程求即可.【详解】（1）由题意得，解得，所以，，.（2）由题意得，解得，所以.（3）由题意得，因为为偶函数，所以或，即，即，解得，因为，所以当时，最小，最小为.重难点题型突破2函数y＝Asin(ωx＋eq\a\vs4\al(,φ))的图象及变换例2．（1）、（23·24上·河南·阶段练习）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向右平移8个单位长度 B．向左平移8个单位长度C．向右平移2个单位长度 D．向左平移2个单位长度【答案】D【分析】利用三角函数图像左右平移变换关系即可选出正确答案.【详解】设．把函数的图象平移（向左为正数，向右为负数）个单位长度后，得到的图象．令，易知的周期，为了得到函数的图象，只需令，得，根据选项可知，，即把函数的图象向左平移2个单位长度即可得到的图象．故选：D．（2）、（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度D．所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【答案】D【分析】由诱导公式与三角函数的图象变换判断，【详解】，故只需将函数的图象所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，或先向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，只有D满足题意故选：D【变式训练21】、（21·22·乌鲁木齐·二模）已知函数，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则在上的单调递减区间为；【答案】【分析】通过平移变换得，然后利用正弦函数的单调性解不等式可得.【详解】将函数的图象向左平移个单位，得，即，由得.故答案为：【变式训练22】、（2022·福建省厦门第六中学高三阶段练习）若函数的图像向左平移个单位长度后所得函数图像关于对称，则的最小值为______.【答案】【分析】先求出平移后的解析式，得到对称轴方程，把代入即可求解.【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数.其对称轴：，代入，得，解得：.因为，所以当时，.故答案为：.重难点题型突破3由图象求函数y＝Asin(ωx＋eq\a\vs4\al(,φ))的解析式例3．（1）、（22·23下·宜春·期中）函数一个周期的图象如图所示，则函数的解析式为.【答案】【分析】根据图像，由最值求得，根据周期求，最后找点代入求，从而得解.【详解】由图象可知，又，则，所以，又在该曲线上，所以，则，即，又，则，故.故答案为：.（2）、（2021·河北安平中学高三月考）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．在区间上单调递增D．若，则【答案】AD【分析】由图知即可求；根据且求；代入验证并结合正弦函数的单调性判断在上单调性；由代入解析式，利用诱导公式转化函数式判断是否成立.【详解】由图知：，而，可得，A正确；∴，又且，有，，又，∴，即，B错误；综上，，∴，则，显然在上不单调，C错误；若，则，故，D正确.故选：AD【变式训练31】、（22·23上·北京·期末）函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（

）A．2， B．2， C．2， D．4，【答案】C【分析】先由图象确定周期，求解，再代入最值点，求解.【详解】设函数的周期为，则由图象知，，解得，；由图象点在函数的图象上，则，则，则，解得，又已知，则.故选：C.【变式训练32】、（22·23上·周口·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．直线是图象的一条对称轴C．图象的对称中心为D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象【答案】C【分析】对A，根据图最大值为3可得，再根据周期求得，再根据最高点判断可得，即可判断；对B，代入判断函数是否取最值即可；对C，根据正弦函数对称中心的公式求解即可；对D，根据三角函数图象平移性质判断即可.【详解】对A，由最大值为3可得，由图知，故，故，由图象最高点可得，即，又，故，故.故，故A错误；对B，，不为函数最值，故直线不是图象的一条对称轴，故B错误；对C，令，解得，故对称中心为，故C正确；对D，的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，故D错误；故选：C重难点题型突破4求函数的单调区间例4．（1）、（22·23·全国·专题练习）在上的单调递减区间为.【答案】和【分析】化简的解析式，求出的单调递减区间，求出与集合的交集即可.【详解】，令得则的单调递减区间为令,∴在上的单调递减区间为和.故答案为：和.（2）、（2022·河北保定·高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据图像上特殊点的坐标满足的解析式，结合函数的周期情况，即可求得参数，再利用整体法求函数单调增区间.【详解】根据的图象可知：，故可得，即，又，故；又，故可得，解得或，解得：或，数形结合可知：，即，结合，解得，显然不满足题意，故对，当且仅当时，满足题意；故；令，解得.即的单调增区间为：.故选：B.【变式训练41】、（2007·天津·高考真题（文））函数为增函数的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数单调性的求法求得正确答案.【详解】，，，，令可的的递增区间为.故选：C【变式训练42】、（2022·全国·高三专题练习）函数在上的单调递减区间为______.【答案】【分析】令解不等式，再结合范围即可.【详解】令，解得，令得，所以函数在上的单调递增区间为.故答案为：.例5．（23·24上·烟台·期中）已知函数，其中，，函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为.(1)求的解析式和单调递增区间；(2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据题意可求出的值，然后求出的解析式后再求解其单调递增区间；（2）根据题意进行变化得到的解析式，然后求出的解析式并求出其最大值.【详解】（1）由题知，，所以，，所以，.所以得：.所以得：，即，故的单调递增区间为.（2）将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得，再向右平移个单位长度，得.所以可得：，因为，所以得：，所以当：时，即：时，取得最大值为.【变式训练51】、（23·24上·平凉·阶段练习）已知函数.(1)若函数的图象关于直线对称，且，求函数的单调递增区间；(2)在（1）的条件下，当时，求函数的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数的对称轴即可得，利用的取值范围即可求得函数解析式，由三角函数单调性即可求出单调递增区间；（2）根据函数解析式，利用的取值范围及三角函数单调性即可求得的值域.【详解】（1），因为的图象关于直线对称，所以，即.因为，所以，所以.令，则有.所以的单调递增区间是.（2）因为，所以，所以，则.所以函数的值域是.重难点题型突破5求函数的最大、最小值例6．（23·24上·凉山·阶段练习）已知函数的图像如图所示.(1)求的解析式及对称中心；(2)将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数，求函数在上的值域.【答案】(1)；对称中心为(2)【分析】（1）根据图象求出振幅和周期，从而求解得，再根据特殊点求得，即可求出解析式，代入正弦函数的对称中心结论即可求得对称中心；（2）根据平移变换求得，再根据换元法求值域即可.【详解】（1）由图可知，，所以，所以.当时，，，所以，.又，所以.所以的解析式为.令得，，所以对称中心为.（2）由题可知，当时，，所以，所以，所以在上的值域为.【变式训练61】、（23·24上·保定·阶段练习）已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）结合函数的周期与诱导公式化简，然后利用整体法求解函数的单调递增区间；（2）根据函数的变化法则解得，然后整体求解函数范围，结合余弦函数性质即可求解；【详解】（1）根据函数的周期性与诱导公式，，令，解得，所以的单调递增区间为．（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，所以．因为，所以，则，所以在上的值域为．重难点题型突破6求函数对称轴与对称中心例7．（1）、（23·24上·广州·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，下列各点是的对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到平移后的解析式，进而代入检验得到答案.【详解】向右平移个单位长度，得到，A选项，，故A正确；B选项，，B错误；C选项，，故C错误；D选项，，D错误.故选：A（2）、（2021·全国·高二课时练习）函数的图像的对称中心为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正切函数的对称中心是，求出的图像的对称中心，即可得到答案.【详解】解：根据正切函数的对称中心是，令，解得，；所以函数的图像的对称中心为故选：D（3）、（23·24上·湖南·开学考试）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则．【答案】【分析】根据函数的平移可得函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式，进而结合正弦函数的奇偶性求解即可.【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，要使该函数为奇函数，则，，即，，又，则．故答案为：.【变式训练71】、（23·24上·重庆·期中）将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数图像变换可得新函数的解析式，利用正弦函数的对称性，可得答案.【详解】将函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，由题意可得，则，解得，化简可得：，由，则当时，取得最小值为.故选：B.【变式训练72】、（23·24上·哈尔滨·阶段练习）函数向左平移个单位后，所得图像关于轴对称，则的最小值是．【答案】【分析】求解函数向左平移个单位后函数的解析式，再根据正弦函数的对称性求解的最小正值.【详解】函数向左平移个单位后，得，因为所得图像关于轴对称，则，即，所以的最小值是.故答案为：.【变式训练73】、（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若函数的最小正周期为，则其图象关于直线对称B．若函数的最小正周期为，则其图象关于点对称C．若函数在区间上单调递增，则的最大值为2D．若函数在有且仅有4个零点，则的取值范围是【答案】ACD【分析】对于A、B，根据周期求出，再代入检验即可，对于C、D，由的取值范围，求出的取值范围，再根据所对应的条件得到不等式组，解得即可.【详解】解：对于A选项：∵的最小正周期为，∴，∴，故函数关于对称，故A正确；对于B选项：∵的最小正周期为，∴，∴，故函数关于对称，故B错误；对于C选项：∵，∴．又函数在上单调递增，∴，∴，故C正确；对于D选项：∵，∴，又在有且仅有4个零点，则，∴，故D正确，故选：ACD．重难点题型突破7三角函数的综合应用例8．（1）、（23·24上·贵州·开学考试）已知函数，相邻两个零点的距离为，且在区间上有5个不同的零点，则5个零点之和的取值范围是.【答案】【分析】由函数的最小正周期得到，作出函数图像，问题转化为区间上方程有5个不同实数根，利用曲线的对称性和正弦函数的性质，求5个零点之和的取值范围.【详解】由题知，所以，即，区间上方程有5个不同实数根，令，解得，分别令得三条对称轴分别为，，令，解得，令，则，作出图形如图所示，则，所以，则5个零点之和的取值范围是.故答案为：（2）、（23·24上·广州·期中）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．函数最小正周期为 B．C．在区间上单调递减 D．方程在区间内有3个根【答案】AC【分析】根据函数图象可求出函数的最小正周期，进而可求出，再利用待定系数法求出，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.【详解】由图可知函数最小正周期，故A正确；，所以，则，又，所以，所以，又，所以，故B错误；所以，由，得，所以在区间上单调递减，故C正确；令，得或，所以或，又，所以或或或，所以方程在区间内有4个根，故D错误.故选：AC.【变式训练81】、（22·23上·伊犁·阶段练习）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若，则的最小值为.【答案】【分析】首先求得函数平移解析式，然后根据诱导公式求解即可；【详解】将函数的图象向右平移个单位，解得：，因为，所以是偶函数，所以,解得：，又因为，当时，，故答案为：.【变式训练82】、（23·24上·厦门·期中）将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的图象变换及单调性计算即可.【详解】向左平移，得，当时，，因为在上单调递减，所以，解得，又，故.故选：D1．（23·24上·银川·阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【分析】先把目标函数变形为，再把平移函数变形为，即可确定平移方向和平移单位.【详解】因为函数可变形为，函数可变形为，故把函数的图象向左平移个单位即可得到的图象，故选：2．（23·24上·榆林·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．点是的对称中心B．直线是的对称轴C．的图象向右平移个单位得的图象D．在区间上单调递减【答案】D【分析】根据三角函数部分图象求出解析式，利用三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，,,解得，所以，解得，将代入中，得，解得，,因为，所以，当时，，所以的解析式为.对于A，，所以点不是的对称中心，故A错误；对于B，，所以直线不是的对称轴，故B错误；对于C，的图象向右平移个单位得的图象，故C错误；对于D，当时，，所以在区间上单调递减，故D正确.故选：D.3．（23·24上·南宁·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正