2022届（全国乙卷）文科数学模拟试卷二（学生版+解析版）

保密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷二

（全国乙卷•文科）

学校:姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

评卷人得分

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（本题5分）已知集合4=卜€42-2工-3«0},B={x|y=log2（3-x）},则Au3=

（）

A.（—,3]B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.R

2.（本题5分汜知命题p：叫>0,In/<0,命题4：VxeR,e*>l,则下列命题为真命题

的是（）

A.B.PZ

C.PHD.-i（pvq）

3.（本题5分）在复平面内，复数2=二（其中i为虚数单位）对应的点位于（）

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.（本题5分妆口图为陕西博物馆收藏的国宝一唐•金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，

是唐代金银细工的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：《-£=1的右

39

支与直线x=0,y=4,y=-2围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，

则双曲线C的渐近线方程是（）

A.y=±-xB.y=±3xc-y=±TxD.y=±y/3x

5.（本题5分）旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中

所发生的一切关系和现象的总和.随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生

活的一部分.某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查,

得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论正确的是（）

A.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5%

B.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人

人数的一半

C.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助

游的青年人多

D.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为8.75%

6.（本题5分）已知“=（，b=log,2,c=log43,则有（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

7.（本题5分）等差数列｛%｝中，囚，4为等比数列，则公比为（）

A.1或4B.yC.--D.1

8.（本题5分）若AABC满足/=从+°2-be，且sin8=2sinC,则AABC的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.锐角三角形或直角三角形

9.（本题5分）已知直线加_1_平面a,直线”u平面夕，则“a〃尸”是“m_L〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.（本题5分）已知圆例：/+y2—2冲=0（4>0）截直线x+y=0所得线段的长度是2夜，

则圆M与圆M（》-1）2+&-1）2=1的位置关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.外离

11.体题5分）已知函数〃x）=2sin（5+e）3>o，M|4m）图象相邻两条对称轴间的距

离为诏且对任意实数X,都有将函数y=〃x）图象向左平移2个单位

长度，得到函数y=g（x）的图象，则关于函数y=/（x）+g（x）描述不正确的是（）

A.最小正周期是2万B.最大值是逐+四

C.函数在0T,T-上单调递增D.图象关于直线x=TfT对称

_3」4

12.（本题5分）已知点P为抛物线V=4x上一动点，A（l,0）,B（3,0）,则44PB的最

大值为（）

评卷人得分

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.体题5分）若平面向量/］满足向=5,向=3,|，邪6,则：工=.

I7

14.（本题5分）曲线y=_2在点处的切线的倾斜角为一

15.（本题5分）已知定义在R上的奇函数/（x）,满足f（x+2）=-f（x）,且当xe［0,l］时，

/（X）=/+x+sinx,若方程/（x）=m（m>0）在区间［-4,4］上有四个不同的根内,々,匕，，

则为+&+再+匕的值为.

16.（本题5分）当xe0,—时，不等式m<sinx（cosx-bsinx）+正•<7"+2恒成立，则

L2」2

实数机的取值范围为.

评卷人得加三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、

23题为选考题，考生根据要求作答.）

（-）必考题：共60分

17.（本题12分）已知数列｛叫满足4=l，4,=4i+2（"eN*,〃22）

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）若数列他,｝满足“=（〃eN）,5“是数列色｝的前"项和，求S”.

44+1

18.（本题12分）某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1.现从两条生产线上按

分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各

自生产线的标记.

产品件数一等品二等品总计

甲生产线2

乙生产线7

总计50

（1）请将2x2列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的

等级差异与生产线有关？

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k()2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n^ad-bc\

参考公式：K2=

(“+人)(c+")(a+c)(b+4)

（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率.

19.（本题12分）如图，正三棱柱ABC-A8c的底面4ABe的边长为2,且满足±B,C.

B

(1)证明：B.CLC.A.

（2）求三棱锥4-ABC的体积V.

产+V

20.(本题12分)设Q,&分别是椭圆C:=l(a>6>0)的左，右焦点，M是C上一

/b2

点且ME与x轴垂直，直线MFi与C的另一个交点为N.

3

(1)若直线MN的斜率为二，求。的离心率；

4

(2)若直线MN在)♦轴上的截距为2,且|MN|=5|QN|,求a,b.

21.(本题12分)已知函数/'(x)=x3,x>0,g(x)=ax+b,其中a/eR

(1)若a+b=0,且/(x)的图象与g(x)的图象相切，求。的值；

(2)若/(x)Ng(x)对任意的x>0恒成立,求a+6的最大值.

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做

的第一题计分.

［选修4-4:坐标系与参数方程］

22.(本题10分)已知曲线的参数方程为/一「(f为参数)，曲线G的参数方

［x=2(l+cosa),,一

程为(口为参数)'以直角坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建

立极坐标系.

(1)求曲线c和曲线c2的的极坐标方程；

(2)射线。=£与曲线G和曲线C?分别交于A,B,已知点尸(4,0),求A/却?的面积.

6

［选修4■—5:不等式选讲］

23.(本题10分)(1)已知a>0,Z?>0,c>0.a+b=l,求证：(ar+hy)2<ax1+by2；

4

(2)若。+2Z?+3c=l,求证：a(b+l)(c+l)

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2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷二

（全国乙卷•文科）

学校:姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

评卷人得分

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（本题5分）已知集合人=卜€42一2X_340},B={x|y=log2（3-x）},则Au3=

（）

A.（7,3]B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.R

【答案】A

【分析】

首先利用一元二次不等式和xeN求解集合A,然后利用函数定义域求解集合8,然后

通过集合间的并运算即可求解.

【详解】

x2-2x-3<0>得又因为xeN,故A={0,1,2,3},

由y=log2（3-x）的定义域知,3—x〉0,即x<3,故8={小<3},

所以Au8={4rM3}.

故选:A.

2.（本题5分）已知命题，：*0>0，卜/<。，命题则下列命题为真命题

的是（）

A.B.，△夕

c.〃八rD.Tpvq)

【答案】c

【分析】

先判断命题p和命题q的真假，再根据或旦非命题的真假逐一判断四个选项的正误即可.

【详解】

当0<x0<l时，Inx0<0,故命题「：咕>0,111%<0为真命题，

当x40时,eA<1，故命题q：VxwR,e*>1为假命题,

所以为假命题，F为真命题，

所以［Pvq为假命题，。八9为假命题，，人F为真命题，「（pvq）为假命题，

所以选项C正确，

故选：C.

3.（本题5分）在复平面内，复数2（其中i为虚数单位）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】

利用复数的乘除法运算化简，再结合复数的几何意义即可得出结果.

【详解】

所以复数z对应的点的坐标为（1,2）,位于第一象限.

故选：A

4.（本题5分）如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐•金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，

是唐代金银细工的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线c：二-£=i的右

39

支与直线x=0,y=4,y=-2围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，

则双曲线C的渐近线方程是（）

A.j=±-xB.y=±3xD.y=±^3x

【答案】D

【分析】

求出双曲线的b即可得渐近线方程.

【详解】

由双曲线方程知.=6,b=3,所以渐近线方程为y=±*x=±6r,

故选：D.

5.（本题5分）旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中

所发生的一切关系和现象的总和.随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生

活的一部分.某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查,

得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论正确的是（）

A.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5%

B.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人

人数的一半

C.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助

游的青年人多

D.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为8.75%

【答案】A

【分析】

利用图表可知游客中老年人、中年人、青年人的人数比例以及选择自助游的老年人、中

年人、青年人的人数比例，即可判断.

【详解】

青年人占总游客人数比例为1-20%-35%=45%,

则2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的比例为

45%x30%=13.5%,故A正确，

选择自助游中年人比例为25%x35%=8.75%,8.75%x2>13.5%,故B错误，

选择自助游老年人比例为20%x20%=0.04=4%,

即选择自助游的老年人和中年人的人数之和比为4%+8.75%=12.75%<13.75%,故C

错误，

2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为4%+8.75%+13.5%=16.25%,故D错误.

故选：A

6.（本题5分）已知。=g,b=log,2,c=log43,则有（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】A

【分析】

根据对数运算法则将匕和c转换后进行比较即可.

【详解】

因为b=log32=log,>/4=log3A/8,log3>/3<log3V4,log,网<log,衿,

1?

所以一<〃<一,即a<6.

23

因为c=log43=；log23,1log23>^log22^=1,

3

所以c>二，即。<c.

4

所以4<b<c.

故选：A

7.（本题5分）等差数列｛4｝中，卬，%，%为等比数列，则公比为（）

A.1或gB.yC.--D.1

【答案】A

【分析】

设等差数列｛5｝的公差为d,由％,%，内为等比数列，可得"=0或q=-44，分情

况讨论即可得答案.

【详解】

解：设等差数列｛为｝的公差为d，

因为4，%，%为等比数列，

所以％w0,（q+2d『=q（q+3d）,解得d=0或q=-4d,

当&=0时，等差数列｛。,,｝为常数列，所以q=%=%，所以公比为1;

ci-i—2d1

当q=-4d时，a,=q+2d=-2d,所以公比为一=一2=彳.

故选：A.

8.（本题5分）若^ABC满足〃=从+-庆・，且sinB=2sinC,则^ABC的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.锐角三角形或直角三角形

【答案】B

【分析】

由正弦定理可得匕=2c,结合/=〃+/—6c，可得。=&c,Z>=2c,即/=/+/,分

析即得解

【详解】

由正弦定理，以及sinB=2sinC,可得匕=2c

代入a2=b2+c2-be，可得a?=（2c）2+c2-2cxc=3c2

a=乖>c，b=2c

故。2=/+。2...ZB=90°

故AA8C为宜角三角形

故选：B

9.（本题5分）已知直线〃?，平面a,直线〃u平面夕，则“a//4”是〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义判断.

【详解】

直线加，平面a,若a〃A，则nu/3,所以加，〃，充分性满足，

反之，如图正方体ABCO-ABC2中，底面ABCO是平面a,CD是直线〃，平面CD/5£

是平面夕，CG是直线机，但平面a与平面月不平行，必要性不满足，因此是充分不必

要条件.

故选：A.

10.(本题5分)己知圆加：炉+炉一20=0(4>0)截直线x+y=O所得线段的长度是2上，

则圆M与圆M(x—l)2+(y—1)2=1的位置关系是()

A.内含B.相交C.外切D.外离

【答案】B

【分析】

根据圆的弦长公式，结合两点间距离公式进行求解判断即可.

【详解】

圆A/：x2+(>—a)2—a2(a>0),圆心到直线x+y=0的距离为罢•，

因此有程)2+(葭2回2=心解得。=2,a=_2(舍去)，

因为2-1<J(0-1)，+(2-1尸<2+1,所以两个圆相交，

故选:B.

11.(本题5分)已知函数/(x)=2sin(ox+*)3>o,网图象相邻两条对称轴间的距

离为万，且对任意实数x,都有将函数y=〃x)图象向左平移已个单位

长度，得到函数y=g(x)的图象，则关于函数y=〃x)+g(x)描述不正确的是()

A.最小正周期是2乃B.最大值是C+

7TIT

C.函数在0,-上单调递增D.图象关于直线X=f对称

.3J4

【答案】C

【分析】

先由函数图象相邻两条对称轴间的距离为左，可求得0=1,再由/可得

sin仔+/=1,结合例从而可求得夕则可求出/(x),g(x)的解析式，所以可

得〃x)+g(x)=(述+板)•sin(x+?),然后根据正弦函数的图象和性质逐个分析判断

即可

【详解】

由条件知，函数/(X)的最小正周期7=2万=丝，解得。=1.

0)

因为/(X)m"=/(q)=2sin((+s)=2,即sin[0+9)=l,则e=2br+',keZ

因为阚《，所以夕=1，所以/(x)=2sin(x+7),g(x)=/(x+?)=2sin(x+5

则

/(x)+g(x)=2sin(x+a+2sin(x+?)=(C+l)(sinx+cosx)=(>/^+x/i).sin(x+9

根据正弦函数的图象和性质易知，函数y=(#+3卜in(x+?)的最小正周期7=2万,

函数最大值是指+立，函数在0,(上单调递增，在?上单调递减，

图象关于X=J7T对称，所以选项48。正确，C错误，

4

故选：C.

12.(本题5分)已知点P为抛物线V=4x上一动点，A(l,0),8(3,0),则N4P5的最

大值为()

、五c乃C冗〜冗

A.—B.-C.—D.一

6432

【答案】B

【分析】

先讨论x=l和x=3两种情况，解出/4PB；进而讨论xwl且x*3时，利用直线的到角

公式结合基本不等式即可求得.

【详解】

根据抛物线的对称性，不妨设P(x,y)(y>0),

2TT

若X=l,则p(l,2),\PA^2,|ABI=2,所以tanZAPB=5=lnNAPB=Q：

若x=3,则P(3,2g),1PBi=2/，|AB|=2,所以tanZAP3=^=4n/AP8=e

若xwl且xw3,此时"2且"26,

y____y

上，所以tanNAPB=■V—3x—1

x-31+上」

x~3x—1

i11tanNAPB=~~~―■■■T~

因为y-=4x,所以1v4+31v3+31

—y+J—yH——yH11—

616'y16-yyy

=

—]1JT1al

.13111，则0<ZAPB4：,当且仅当启V=-ny=2时取，，="，

44/—y-------416y

V6yyy

7T

而y/2,所以0<NAP8<一.

4

jr

综上：NAPB的最大值为;.

4

故选：B.

【点睛】

tan/APB=2y_2________?______

本题核心的地方在“一_L/+3-_Ly3+3一_L3+_L+_L+_L”这一步，首先分

1616y16"yyy

2y=2

式”]、,4*a=],尸,3，的处理,上下同除以y（一次）；其次在用基本不等式时，

1616y

---------------1

“1、尸+U1”这一步的拆分，三个式子一定要相同（一），否则不能取得

<6'yyyy

评卷人得分

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（本题5分）若平面向量〉了满足面=5，向=3，日-小=6，则[办=---------

【答案】-1

【分析】

平方|：-由=6化简即得解•

【详解】

■—>—>/日一2—>2_>—

r-|a-^|=6f>ra+b-2a-b=36,

所以25+9-2标=36,;.a-b=-l-

故答案为：—1

17

14.（本题5分）曲线y=-2在点处的切线的倾斜角为

【答案】45°

【分析】

求出函数的导函数，根据导数的几何意义即可求得曲线丁=；1/一2在点（-1,-’7处的切

线的斜率，从而可求得答案.

【详解】

解：y'=x2,

・••当x=-i时，y=i

1,7

••・曲线y=-2在点(-1,-二)处的切线的斜率为1,倾斜角为45。.

故答案为：45°.

15.(本题5分)已知定义在R上的奇函数〃x),满足/("2)=-/(*),且当xe［O,l］时,

/(x)=Y+x+sinx,若方程f(x)="(加＞0)在区间［-4,4］上有四个不同的根玉,天,毛,匕，

贝I」X,+x2+x3+x4的值为.

【答案】-4

【分析】

根据函数的条件，判断函数的周期，利用函数的奇偶性和周期性即可得到结论.

【详解】

解：•j/(x-2)=-/(x),

.-.f(x-4)=-f(x-2)=f(x),

即函数的周期是4,

且/(x-2)=-/(x)=/(-x),

则函数的对称轴为：X=-l,〃x)是奇函数，

所以x=l也是对称轴，xe［0,1］时，/(x)=x2+x+sinx,

函数是增函数，

作出函数/")的简图如下：

有四个不同的根X1,x2,x3,x4,

则四个根分别关于X=-3和x=1对称,

不妨设办＜々＜与＜匕,

则玉+々=_6,x3+x4=2,

贝！JXj+W+七+/=_6+2=_4,

故答案为：-4.

TT

16.体题5分)当xe0,-时，不等式m<sinx(cosx->/3sinx)4-m+2恒成立，则

2

实数机的取值范围为

【答案】(一1，一¥

【分析】

设/(x)=sinx(cosx-V3sinx)+^,根据三角恒等变换及正弦函数的性质求得函数

m<f(尤)

“X)的最值，再根据已知可得[mM从而可得出答案.

加>/(幻3一2

【详解】

解：设〃x)=sinx(cosx-Gsinx)+

2x—y/31-cos2x出

则/(X)=sinx-cosx-V3sin2x+~~~=Jsinx-----------+——

22

cos2x=sin2x+—.

22I3j

,n3n717i4,sinf2x+—71G-1.

:X£0,—,.•.2x+—w—,一4

23-333

冗

由题意知ni<fix)<m+2在x£0,—上恒成立,

即2•.实数，”的取值范围为-L

m>〃X)max-2,

m>-1,I

故答案为：-1，-今

\7

三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤，第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、

23题为选考题，考生根据要求作答.)

(-)必考题：共60分

17.体题12分)已知数列｛%｝满足q=lM,=a,i+2("eN*,〃W2)

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)若数列｛2｝满足。=力(〃eN),5“是数列｛"｝的前"项和，求S”.

【答案】

(1)a„=2n-l

(2)S,,=」一

"2n+l

【分析】

(1)根据题意可得｛”,J为以1为首项以2为公差的等差数列；

(2)由(1)可得"=((不'-不二)，利用裂项相消法即可求出前〃项和S”.

22〃-12/7+1

(1)

由题意知，4=1，。〃=。k+2(/i>2),

所以d=a“-=2,故=4+(〃-l)d=2〃-1,对立=1也成立.

综上所述，数列｛〃.｝的通项公式为：=2/2-1；

(2)

,111z11、

由(1)得，bn=fl_7一三二T)，

---=―(2—n-lM)(2n-+l)22n-12n+\

c1/11111、I”1、〃

JT［以S=-(----l------F…M----------)=—(1-----)=-----,

“213352n-\2n+\22??+12〃+1

即数列出"的前〃项和s,,=不三

18.(本题12分)某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1.现从两条生产线上按

分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表(单位：件)，且每件产品都有各

自生产线的标记.

产品件数一等品二等品总计

甲生产线2

乙生产线7

总计50

(1)请将2x2列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的

等级差异与生产线有关？

P(K匕/)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(2)从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率.

【答案】

(1)列联表见解析，有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关；

(2)—

10

【分析】

(1)完善列联表，计算出卡方，再与观测值比较即可判断；

(2)记甲生产线的2个二等品为A,B,乙生产线的3个二等品为b,c,用列举

法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；

(1)

解：依题意可得2x2列联表如下：

产品件数一等品二等品总计

甲生产线38240

乙生产线7310

总计45550

所以因为5.024<5.556<6.635,所以有97.5%的把握认

10x40x5x45

为产品的等级差异与生产线有关；

(2)

解：依题意，记甲生产线的2个二等品为A,B,乙生产线的3个二等品为。，b,c.

则从中随机抽取2件，所有可能结果有AS,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,ab,",

反共10个，至少有1件为甲生产线产品的有A8，AafAb,Ac,Ba,劭，反共7

个，所以至少有1件为甲生产线产品的概率尸=工7；

19.(本题12分)22.如图，正三棱柱ABC-AMG的底面AABC的边长为2,且满足

AB_L8C.

(1)证明:BtClCtA.

(2)求三棱锥4-ABC的体积V.

【答案】

(1)证明见解析

⑵逅

3

【分析】

(1)如图，连结AC,交AG于点N,取BC的中点"，连接AM,MN,则由三角形

中位线定理结合可得.山平面ABC_L平面BCG用，可推得

B.C±AM.然后由线面垂直的判定定理可得4c±平面AMN.从而得BQ±C,A,

(2)由(1)可证得可得与ACB用相似，从而求得BB]=CJ=啦.

由偿//84，得力,MBC=以-马5c=By-ABC，从而可求出体积

【解析】

(1)如图，连结AC,交AC1于点N,则点N是AC的中点.

取BC的中点M，连接AM,MN,则MN//A8

乂AB_LBC，所以4c_LMM

又“ABC是正三角形，

所以4〃J_BC.

又平面ABCL平面BCGg,

平面ABCD平面BCG与=BC,AMu平面ABC,

所以AM，平面8CG片.

又BCu平面BCQB、,

所以4CJ.4M.

乂AA/u平面AMN,MNu平面AMN,

AMcMN=M,所以4C_L平面AMV.

又RAu平面所以BC^CA

（2）由（1）知50，平面4WN,而GMu平面AMN,所以BC^GM.

C.CCBC.C2L

由AGCM与ACB4相似，-^77=—,即十=7777,BB\=CC\=E

Cz/WDE?11C|C

根据//BB1,%LABC=匕！-“C=%-四8c=%1-AEC，于是

%ABC=%_48C=；S.ABC，BBI=〈X（；.22§）X6=埠.

，、乙乙3

22

20.(本题12分)设Fi,B分别是椭圆C:二+4=l(a»>0)的左，右焦点，M是C上一

a-b~

点且MB与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.

3

(1)若直线MN的斜率为二，求C的离心率；

4

(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN=5|FiN，求a,b.

【答案】

⑴I

(2)a=7,b=2不

【分析】

(1)求出点M的坐标，再通过直线MN的斜率为g建立aS,c的关系，再通过"=.2/

可得离心率;

(2)根据条件可得直线MQ与y轴的交点£)(0,2)是线段W的中点，设Mw，V)，

利用比例关系将x”》用c表示出来，再代入椭圆方程可得a,b.

(1)

令尤=c,得G+g=i,则>2/2卜一鼻=/.且F=<

a~\a)aa~

所以M(c,—),

a

欧

e_3,即2b2=3ac.

',2c~4

将代启c2代入2按=3ac,解得£二,£=-2(舍去).

a2a

故C的离心率为g；

(2)

由题意，原点。为尸的中点，A/B〃y轴，

所以直线MQ与y轴的交点D(0,2)是线段MB的中点,

故邑=4,即b2=4a.①

a

由|MA1=5|尸iM得|。尸1|=2/阳.

设N(xi，yi)，由题意知yi<0，则

[2—c,即再=”c,

I*=2,[….

9c2[

代入C的方程，得三+W=1.②

将①及C="万代入②得9,丁)+；=1

4a24a

解得“=7,加=4斫28,

故a-1,h-2币

21.(本题12分)已知函数/(x)=x3,x>0,g(x)=ax+b,其中

(1)若4+/?=0,且f(x)的图象与g(x)的图象相切，求〃的值;

(2)若/(x)2g(x)对任意的x>0恒成立，求a+6的最大值.

【答案】

(2)1

【分析】

ci—3x()

(1)求导得到广(幻=3%2,根据切线方程公式得到.y°=片,解得答案.

%=时)一。

(2)令甲(4=Q—ax—b,考虑心0和〃>0,根据导数的正负得到函数单调性，计算

最小值得至1」。+匕4a-竿/，令力(0=。一手j(a>0),求导得到单调区间，计算最

值得到答案.

(1)

因为/(x)的图象与g(x)的图象相切,设切点为因,％),

a=3XQ

327

又/")=3f,所以%=£,解得/=彳，。=彳.

yQ=ax0-a

(2)

因为/(x)Ng(x)等价于/一双一。之0，令叭x)=2-ax-b,夕'0)=3/2一。

当〃《0时，夕'。)=3炉_。>0对于任意正实数x恒成立，e(x)单调递增，

故由。(。)=一力20得bK0,此时a+bV0.

当〃>0时，由“*)=0,得戈=器，

又当0<x<A时，。3<0,函数单调递减；

当x啡时,尹*)>0，函数单调递增.

所以当x=的时，。(幻有最小值仪器)=一|。器一8=-竽a3-b,

所以一即64-也所以〃+64〃一亚7，

999

令人(a)=>0),则"(a)=1"(3)=0,

当0<"3时,h'(a)>0,人⑷为增函数,

当a>3时，"(a)<0,〃5)为减函数,

所以〃(a)max=〃(3)=1,故a+6Wl,所以a+6的最大值为1,此时”=3,b=-2.

综上所述，a+b的最大值为1.

【点睛】

本题考查了切线问题和利用导数解决恒成立问题，意