2023-2024学年湖北省高三上册10月期中数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年湖北省高三上册10月期中数学质量检测模拟试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．已知复数（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，则3．函数的一条对称轴为（

）A． B． C． D．4．等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（

）A．4 B．16 C．32 D．645．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数个数为（

）A．120种 B．108种 C．96种 D．72种6．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b7．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）9．设随机变量，则下列说法正确的是（

）A．服从正态分布B．C．D．当且仅当时，取最大值10．如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（

）

A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2πB．若圆与曲线W有8个交点，则C．与的公切线方程为D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为411．如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（

）

A．BP的最小值为B．当P在上运动时，都有C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变D．的最小值为12．已知双曲线：的一条渐近线方程为，圆：上任意一点处的切线交双曲线于，两点，则（

）A．B．满足的直线仅有2条C．满足的直线仅有4条D．为定值2三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设，为两个不共线向量，若向量与共线，则实数.14．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则．15．设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为．16．设函数的定义域为，对于任意的，当，有，若，则不等式的解集为.四、解答题（本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数.(1)求的值；(2)在△ABC中，若，求的最大值.18．如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别是的中点.

(1)求证：平面平面；(2)求和平面所成角的正弦值.19．如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.......设各层球数构成一个数列.

(1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.20．已知函数.(1)若，求的极值；(2)若对任意，恒成立，求整数m的最小值.21．某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．①求P2，P3；②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．22．已知抛物线：，过点作斜率互为相反数的直线，分别交抛物线于及两点．(1)若，求直线的方程；(2)求证：．1．C【分析】根据复数的乘法运算可得答案.【详解】因为，所以．故选：C.2．D【分析】ABC可举出反例，D可利用线面平行的判定定理证得.【详解】A选项，如图1，满足，，但不平行，A错误；

B错误，如图2，满足，，，但不平行，B错误；

C选项，如图3，满足，，，但不平行，C错误；

D选项，若，由线面平行的判断定理可得，D正确.故选：D3．A【分析】利用三角函数性质求出对称轴通式即可求出结果.【详解】函数的对称轴满足，解得，令，则，故选：A.4．D【分析】通过讨论的取值情况，确定，利用等比数列的求和公式，建立方程组，求出和，进而求得的值．【详解】当公比时可得，代入，与矛盾，所以.由等比数列的前项和公式，可得，两式相除，得，可解得或（舍），当时，代入原式可求得，则由等比数列的通项公式.故选：D5．B【分析】利用全部不相邻的奇数中去掉2在第二位的情况，即可利用不相邻问题插空法求解.【详解】1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，先排3个偶数，然后把3个奇数插入即可，共有个，若2在第二位，则第一位一定为奇数，则从3个奇数中选择一个放在第一位上，此时还剩下2个偶数和2个奇数安排在后四位上，则先排2个偶数，然后把剩下2个奇数插空即可，此时共有个，因此符合条件的六位数有个，故选：B6．A【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.【详解】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.7．A【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数切于点，由，得，所以公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，设公切线与函数切于点，由，得，则公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，所以，消去，得，由，得，令，则，所以在上递减，所以，所以由题意得，即实数的取值范围是，故选：A关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.8．B【分析】由椭圆的对称性，及，得四边形为矩形，设，利用椭圆的定义，及条件所给出的长度关系，可表示出，，，利用勾股定理，求出m，推断出点P的位置，求出离心率.【详解】如图，设左焦点为，连接，，，由题，，关于原点对称，所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形.设，则，又因为，则，，，在中，，即，解得或（舍去），故点P为椭圆的上顶点.由，所以，即，所以离心率.故选：B.解题时注意数形结合，抓住椭圆的对称性，将图形关系用含a，b，c的代数式表示出来，即可求解离心率.9．BC【分析】根据二项分布及正态分布的定义即可判断A；根据二项分布的概率公式即可判断B；根据二项分布的期望与方差公式即可判断C；利用不等式法结合二项分布的概率公式即可判断D.【详解】对于A，随机变量，则服从二项分布，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，，所以，故C正确；对于D，设为最大值，则，即，解得，所以当或时，取最大值，故D错误.故选：BC.10．ACD【分析】A选项可将曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，即可判断；B选项可直接由图讨论判断对错；C选项可由圆心到直线的距离等于半径，求出公切线；D选项可先找到，的公切线方程为，曲线W上的点到直线的距离的最小值即为平行线间的距离.【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为，故A选项正确.当时，交点为B，D，F，H；当时，交点为A，C，E，G；当或时，没有交点；当时，交点个数为8，故B选项错误.设与的公切线方程为，由直线和圆相切的条件可得，解得，（舍去），则其公切线方程为，即，故C选项正确.同理可得，的公切线方程为，则两平行线的距离，故D选项正确.故选：ACD.11．ABC【分析】判断BP的最小值即为正三角形的边上的高，即可判断A；证明平面，根据线面垂直的性质定理可判断B；根据线面平行的性质结合棱锥的体积公式可判断C；将平面沿着翻折到平面上，将的最小值转化为线段AC的长度，判断D.【详解】对于A，连接，在正方体中，，故BP的最小值为正三角形的边上的高，即，A正确；对于B，连接，

由于平面，平面，故，而平面，故平面，平面，故；同理可证，平面，故平面，平面，故，即，B正确；对于C，连接，因为，

故四边形为平行四边形，则平面，平面，故平面，P点在直线上运动，即P到平面的距离为定值，而为边长为的正三角形，其面积为定值，故三棱锥的体积为定值，由于故三棱锥的体积为定值，C正确；对于D，将平面沿着翻折到平面上，连接，

与交于点P，则即为的最小值；在中，，，即的最小值为，D错误；故选：ABC难点点睛：本题解答的难点在于D选项的判断，解答时要采用将空间问题平面化的方法，即将两平面翻折到一个平面上，从而将两条线段的和变为一条线段的长度问题.12．AD【分析】由双曲线及其渐近线方程求得，写出双曲线方程，讨论或斜率不存在易得，判断A、B；若，且，得到，联立双曲线方程应用韦达定理及向量夹角的坐标表示求得为定值，即，进而有，即可判断C、D.【详解】因为双曲线：，所以其渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，解得，故，A对；

若时，，此时，若斜率不存在时，，此时，所以对应直线有4条，B错；若，且，直线斜率存在为，则，即（也满足），代入，消得：，即，，所以，，则，所以，即，所以，则直线有无数条，C错误；由C分析易知：，则，故，D正确.故选：AD关键点点睛：对于C、D，设切点坐标并写出切线方程，联立双曲线方程，应用韦达定理、向量夹角坐标表示判断为定值为关键.13．##2.5【分析】根据向量共线定理，得到方程组，求出答案.【详解】与共线，故存在实数，使得，即，所以，解得.故14．【分析】两边取对数，对照系数，求出【详解】，即，∴，．故15．【分析】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.【详解】设，当时，，此时，由，得，即，解得或，即在上有2个零点；若，，其图象对称轴为，函数的大致图像如图：则此时，即，则，即无解，则无零点，此时无零点，不符合题意；故需，此时函数的大致图像如图：由得或，要使得函数恰有3个零点，需满足在上有一个零点此时只有一个解，故只需与函数在y轴左侧图象无交点，则需，解得，结合，可得，故方法点睛：本题为复合函数的零点问题，解答时采用数形结合的方法去解决，即作出函数的大致图像，将函数零点问题转化为曲线的交点个数问题，即可解决.16．【分析】构造函数，利用函数的单调性求解.【详解】因为，所以，即又，所以令，因为对于任意的，，所以在上单调递增，又，，由有：即，由函数的单调性有：.则不等式的解集为:.故答案为.17．(1)1(2)【分析】（1）利用诱导公式、倍角公式与辅助角公式将函数解析式化简，再可求的值即可；（2）由A，B为三角形的内角，，可求得，从而，展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得的最大值.【详解】（1）∵，∴.（2）由题意可知，，而可得：，即，∴，∵，∴，，∴的最大值为.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，证得平面，建立空间直角坐标系，分别求得平面A1BD和BAE的一个法向量，求得，得到，即可证得平面平面；（2）由（1）可知：是平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求得和平面所成角的正弦值.【详解】（1）取的中点，连接，则，又因为平面，所以平面，则两两垂直，如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，

可得，设分别为平面和平面的法向量，由，令，则，可得是平面的一个法向量，由，令，则，可得是平面的一个法向量，因为，即，所以平面平面.（2）由（1）可得：，是平面的一个法向量，设和平面所成角为，则，所以和平面所成角的正弦值为.19．(1)，(2)【分析】（1）利用每一层小球的数量找到递推关系，再利用累加法求通项公式即可；（2）利用与的关系求出数列，进而求得，再利用错位相减法求即可.【详解】（1）由题意可知，，，所以数列的一个递推关系为，所以当时，利用累加法可得，将代入得，符合，所以数列的通项公式为.（2）当时，，即，当时，，①，②①-②，得，即，所以数列是以3为首项，3为公比等比数列，所以，由题意可知，所以，所以，所以，③，④③-④得，所以，所以数列的前项和.20．(1)极大值为，无极小值(2)1【分析】（1）求导函数，由导函数确定函数的单调性得极值；（2）不等式恒成立转化为在上恒成立，设，转化为求的最大值，确定的零点的范围，得出最大值的范围后可得最小的整数．【详解】（1）当时，，.当时，，则在上单调递增；当时.，则在上单调递减.所以在时取得极大值且极大值为，无极小值；（2）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，则.设，显然在上单调递减，因为，，所以，使得，即，当时，，；当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，因为，所以，故整数m的最小值为1.方法点睛：本题考查用导数求函数的极值，研究不等式恒成立问题．求解不等式恒成立问题，常常需要转化，用分离参数法转化为求函数的最值，本题中函数的最值点不能直接求出，我们用表示，通过得出的范围，从而可得最大值的范围，然后得出结论．21．(1)12(2)①，；②证明过程见详解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大【分析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为η，可得，再写出的所有可能取值，分别求出其对应的概率，进而得到的分布列，并求出的数学期望，从而可求得的数学期望；（2）①直接根据题意可得第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以第二