2023-2024学年广东省高二上册10月月考数学试题1（含解析）

2023-2024学年广东省肇庆高二上册10月月考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一､单选题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，注意：答在试卷上无效）1.已知向量，，则（）A. B.9 C.1 D.3【正确答案】A【分析】先由向量的坐标运算的减法公式求，再由向量的模的公式求.【详解】因，，所以，所以，故选：A.2.直线的倾斜角（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】确定直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求得答案.【详解】由题意可得直线的斜率为，直线倾斜角为，则，故，故选：B3.如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解【详解】因为在平行六面体中，M为，的交点，，，，所以,故选：B4.下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（）A.B.C.D.【正确答案】D【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可．【详解】对于A，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；对于B，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B错误；对于C，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；对于D，设，即，解得，所以共面，故不可以作空间向量一个基底，故D正确．故选：D．5.已知平面α内两向量，且.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（）A.-1，2 B.1，-2C.1，2 D.-1，-2【正确答案】A【分析】求出向量的坐标后，利用向量是平面的法向量，得，利用坐标运算列出方程组，求解即可.【详解】，由为平面α的法向量，得,即解得故选：A.6.已知长方体中，，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，利用得坐标，然后利用可得．【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则．，，解得，，，，解得．故选：C．7.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，，设平面的法向量为，则，即，则平面的一个法向量为，则点A到平面的距离.故选：C8.已知在正方体中，E，F分别为，的中点，点P在上运动，若异面直线，所成的角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，表达出，换元后求出的最大值.【详解】以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，设，则，所以．令，则，因为，所以．当时，；当时，，因为，所以当，即时，取得最大值，最大值为．故选：B二､多选题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.注意：答在试卷上无效）9.已知，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】根据空间向量共线的坐标表示，以及空间向量垂直的坐标表示，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由向量，可得，所以向量与不共线，所以A不正确；对于B中，由向量，可得，所以向量与不共线，所以B不正确；对于C中，由向量，可得，所以，所以C正确；对于D中，由，可得，所以向量与不垂直，所以D不正确.故选：ABD.10.已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】ACD【分析】根据直线方向向量、平面法向量定义，结合向量间的位置关系判断线线、线面、面面关系即可.【详解】A：由题设，对；B：由题设，或，错；C：由题设，对；D：由题设，对.故选：ACD11.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A. B.向量与的夹角是60°C.AC1⊥DB D.BD1与AC所成角的余弦值为【正确答案】AC【分析】选择{、、}作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断.【详解】对于A选项，由题意可知，则，∴，所以选项A正确；对于B选项，，所以，，则，∴向量与的夹角是，所以选项B不正确；对于C选项，，又因为，所以，∴，所以选项C正确；对于D选项，设与所成角的平面角为，因为，，所以，，，∴，所以选项D不正确.故选：AC.12.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面【正确答案】BD【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．【详解】易知，点在矩形内部（含边界）．对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．故选：BD．本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.注意：答在试卷上无效）13.已知，，则___________.【正确答案】24【分析】利用向量的数量积直接求解.【详解】因为，，所以.所以.故2414.已知，在直线l上，写出直线l的一个方向向量：______．【正确答案】（答案不唯一）【分析】根据直线方向向量的求法求得.【详解】由于，，所以直线的一个方向向量.故（答案不唯一）15.如图，为矩形所在平面外一点，平面，若已知，则到直线的距离为________．【正确答案】##【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得到直线的距离.【详解】由于平面，平面，所以，而四边形是矩形，所以，由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，所以到直线的距离为.故16.如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.【正确答案】4【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，，得，，又，∴，所以，即.故答案：4.四､解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.注意：答在试卷上无效）17.已知点求：（1）求过两点的直线的斜率；（2）边上的高所在直线方程；【正确答案】17.18.【分析】（1）根据两点斜率公式求解斜率即可；（2）根据斜率公式以及垂直关系得高所在直线斜率，即可求解.【小问1详解】由可得；【小问2详解】由可得，所以边上的高所在直线的斜率为，由点，所以边上的高所在直线方程为.18.已知空间三点，设．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求k的值．【正确答案】（1）（2）【分析】(1)先求出向量，再利用空间向量的夹角公式求解即可；(2)利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出的值.【小问1详解】因为，，所以空间向量的夹角公式，可得，所以与的夹角的余弦值为.【小问2详解】由（1）可知，.因为向量与互相垂直，所以，所以，所以，所以，解得.19.如图，在直三棱柱中，，棱，点分别是的中点.（1）求的模；（2）求；（3）求证：.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析；【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出；（2）求出向量和的坐标，然后利用空间向量法求出的值；（3）计算出和的坐标，利用坐标运算得出，可证明出；【小问1详解】如图，建立以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系.依题意得、，；【小问2详解】依题意得、、、，，，，，，所以，；【小问3详解】依题意，得、，，，，，即；20.如图，在正方体中，为的中点.（1）求直线到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用空间向量求解即可；（2）求出平面与平面的法向量，然后利用空间向量求解即可.【小问1详解】以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为∥，平面，平面，所以∥平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，设正方体的棱长为2，则，所以，设平面法向量为，则，令，则，所以直线到平面的距离为；【小问2详解】平面的一个法向量为，由（1）可知平面的法向量为，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.21.如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求．【正确答案】（1）证明见解析；（2）1【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【小问1详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，又不在同一条直线上，.【小问2详解】设，则，设平面的法向量，则，令，得，，设平面的法向量，则，令，得，，，化简可得，，解得或，或，.22.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，且，平面为的中点，为棱上一点.（1）求证：平面；（2）若为的中点，，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】22.证明见详解23.存在，或【分析】（1）根据