【数学】山东省临沂市部分区县2023-2024学年高二上学期11月普通高中学科素养水平监测数学试卷（解析版）VIP

山东省临沂市部分区县2023-2024学年高二上学期11月普通高中学科素养水平监测数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，故选：A.2.已知双曲线的离心率为，则其渐近线的倾斜角为（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】依题意离心率，则，所以（负值舍去），又双曲线的渐近线方程为，即，即渐近线的斜率为或，所以其渐近线的倾斜角为或.

故选：D3.已知矩形ABCD中，，，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】在矩形中，过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．∵，，则可得，，，，．因为平面平面，平面，，又平面平面，则平面，所以，由题可得，所以，所以．故选：C.4.若两条不同的直线：与直线：平行，则的值为（）A. B.1 C.或1 D.0【答案】B【解析】因为直线：与直线：平行，所以，解得，当时，：，：，两直线平行，当时，：，：，两直线重合，所以.故选：B.5.过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB所在直线的过定点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知圆的方程，知圆心，半径为，连接，则，则四点共圆，共在以为直径的圆上，则圆心为的中点，半径，故圆，化简得，①，由圆C的方程②，两圆方程②①化简得，，即两圆相交弦的方程，方程可化为，由解得，故直线过定点，故选：B.6.已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点到直线l的距离是（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，在直线l上的投影向量的模长为，所以点到直线l的距离是.故点到直线l的距离是.故选：D7.已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点、，且．若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设椭圆的右焦点为，连接、，如下图所示：因为直线关于原点对称，椭圆也关于原点对称，直线与椭圆交于点、，则、也关于原点对称，所以为、的中点，又因为，则四边形为矩形，所以，则，所以，，，由椭圆的定义可得，故该椭圆的离心率为.故选：A.8.我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】设，因为，所以，整理得：，表示以为圆心的圆，又因为点P的轨迹关于直线对称，所以，即，所以，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值是3，故选:C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列结论正确的有（）A.过点，的直线的倾斜角为45°B.若直线与直线垂直，则C.已知，及x轴上的动点P，则的最小值为5D.直线与直线之间的距离为【答案】ABD【解析】对于A，直线的斜率，则直线的倾斜角为，A正确；对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确；对于C，关于轴对称点，连接交轴于点，在轴上任取点，连接，，，，如图，，当且仅当点与重合时取等号，因此，C错误；对于D，直线与直线平行，直线化为，两条直线间距离为，D正确．故选：ABD10.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且的最大值为4，最小值为2，则（）A.椭圆C的离心率为B.的周长为8C.若，则的面积为8D.若，则【答案】AB【解析】对于A，由题意得，解得，所以离心率为，故A正确；对于B，的周长为，故B正确；对于C，由A得，，当点为上顶点时，最大，即，，所以的面积不可能为8，故C错误；对于D，由且得，，所以，即，故D错误；故选：AB．11.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为．若直线上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是（）A3 B.2 C.1 D.【答案】BCD【解析】圆C的方程可化为，其半径，圆心，因为过P所作的圆的两条切线相互垂直，所以点P、圆心C以及两切点构成正方形，所以．∵P在直线上，∴圆心到该直线的距离，计算得．对照选项，可知BCD均有可能．故选：BCD.12.如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（）A.当时，三棱锥A-PCE的体积B.当时，EP∥平面C.当，平面CEP时D.的最小值为【答案】BD【解析】对于A，当时，则，故点到平面的距离为,所以,故A错误，对于B，在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,0,，所以，则点,,，，，，而，显然，即是平面的一个法向量，而，因此平行于平面，即直线与平面平行，B正确；对于C，取的中点，连接，，，如图，因为为边的中点，则，当平面时，平面，连接，连接，连接，显然平面平面，因此，，平面，平面，则平面，即有，而，所以，C错误．对于D，，于是，当且仅当时取等号，D正确；故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点，到直线的距离相等，则实数的值为_______【答案】或【解析】因为点，到直线的距离相等，所以，解得或，故答案为：或14.由曲线围成的图形的面积为_______________．【答案】【解析】当时，曲线表示的图形为以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为，根据对称性，可知由曲线围成的图形的面积为15.正方体中，M是棱的中点．记，，，那么用，，表示为_______．【答案】【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,,,2,,,2,,,0,,,2,,,，所以，设，故，解得所以，故答案为：16.已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为_____；的最小值为_______．【答案】①8；②【解析】椭圆中，，，则，设右焦点为，则，离心率，则，所以，所以，当且仅当在的延长线与椭圆的交点时取等号；又椭圆左准线方程为，设到左准线的距离为，则，所以，所以，当且仅当在过点作左准线的垂线与椭圆的交点时取等号..故答案为：；四、解答题：17.已知，，，若，，求：（1），，；（2）与夹角的余弦值．解：（1）因为，，，，所以，所以，即，解得，所以，，又，所以，解得，所以．（2）由（1）知，，所以，，．∴．18.已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为，，点在边BC上．（1）若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；（2）若P为BC的中点，求边BC所在直线的一般方程．解：（1）由△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为，，可知角A不是直角，①若角B是直角，由点P在边BC上，得边BC所在直线的方程为；②若角C是直角，由边AC所在直线的方程为，得边BC所在直线的斜率为，又点P在边BC上，所以边BC所在直线的方程为，即．综上，边BC所在直线的方程为或.（2）由题意可设，由P为BC的中点，得，将点C坐标代入边AC所在直线的方程，得，解得，所以，得边BC所在直线的斜率为，所以边BC所在直线的方程为，即．19.已知双曲线C：，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．（1）求双曲线C的方程；（2）如图，若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点Q，P，且，求证：是定值．解：（1）因为，所以，．所以双曲线的方程为，即．因为点在双曲线上，所以，所以．所以所求双曲线的方程为．（2）设直线OP的方程为，∵，则直线OQ的方程为，由，得，所以．同理可得，，故．∴是定值．20.如图，在正方体中，点E在BD上，点F在上，设正方体的棱长为1．若．（1）当a为何值时，EF的长最小？并求出EF的最小值；（2）当EF的长最小时，求平面EFD与平面EFC夹角的余弦值．解：（1）∵是正方体，设棱长为1，如图建立空间直角坐标系．∵，∴，,则．．当时，最小，的最小值为．（2）由（1）知，当最小时，点，，，，，，设平面EFD的法向量，∴，即，，取，∴．设平面EFC的法向量为，∴，，取，∴，设平面EFD与平面EFC的夹角为，，∴平面EFD与平面EFC的夹角的余弦值为．21.从点发出的光线，经x轴镜面反射后与圆：相切，（1）求反射光线所在直线一般式方程；（2）若圆C与圆外切，并且与直线相切于点．求圆C的标准方程．解：（1）点关于x轴的对称点为，由题意可知反射光线所在的直线斜率存在且小于0，设过与圆：相切的直线方程：，由题意得，整理得：，所以；（舍去），故反射光线所在直线的方程：（2）设圆C的圆心为，半径为r，∵圆C与相外切，∴，①∵圆C与直线相切于点，∴，得，②因为圆C与直线相切，所以，（Ⅰ）当时，③，由②，③得，④将②代入①式，得：，⑥由④，⑤两式得：，代入②式得，；即故圆的方程为．（Ⅱ）当时，，⑥由①②式解得：，，，故圆C：．综上，所求圆的方程为：或．22.已知椭圆E的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E上