【数学】湖北省武汉市部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二上学期期中联考试题（解析版）

湖北省武汉市部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与平行，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由与平行，得，所以.故选：B2.现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为1，将它重新制作成一个体积与高均不变的圆锥，则该圆锥的底面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆锥的底面积为，则，解得.故选：B.3.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】从5条线段中任取3条的所有基本事件有10个，即，其中能构成三角形的基本事件有3个，即，故所求概率.故选：A4.已知圆：，直线：与相交于，两点，则的最小值为（）A. B.2 C.4 D.【答案】A【解析】由圆的方程可得圆心，半径，直线的方程可整理为：，令，解得，所以直线恒过定点，由题意知，当与垂直时，弦长最小，，，所以，直线：，点到直线的距离，所以.故选：A.5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】.故选：D.6.某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．两班获胜的概率分别是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】设（1）班获胜为事件，（2）班获胜为事件，，.故选：C.7.2022年10月7日21时10分，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统S5/S6试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，其中的“地球同步转移轨道”是一个以地心（地球的中心）为焦点的椭圆，如图，已知它的近地点（离地面最近的点）A距地面天文单位，远地点（离地面最远的点）距地面天文单位，并且在同一直线上，地球半径约为天文单位，则卫星轨道的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆方程为，由题意得，则椭圆长轴长为，即，设椭圆的左焦点为，由对称性可知，，由椭圆定义可知，，即离心率为.故选：B8.四棱柱中，侧棱底面，，底面中满足，，，为上的动点，为四棱锥外接球的球心，则直线与所成角的正弦值的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为在四棱柱中，侧棱底面，所以四棱柱为直四棱柱，所以，因，所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，，，所以,球心在平面的投影坐标为，则设球心，因为，所以，解得，所以，设，则，所以，设（），则所以当，即时，有最大值，此时直线与所成的角最小，则其对应的正弦值也最小，正弦值为故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知椭圆，，是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（）A.椭圆离心率为 B.的最大值为3C. D.【答案】ABC【解析】由椭圆，可得，则，对于A中，由椭圆的离心率为，所以A正确；对于B中，由椭圆的几何性质，当点为椭圆的右顶点时，可得，所以B正确；对于C中，当点为椭圆的短轴的端点时，可得，，所以，根据椭圆的几何性质，可得，所以C正确；对于D中，由椭圆的定义，可得，所以D错误.故选：ABC.10.已知点在直线上移动，圆，直线，是圆切线，切点为，.设，则下列说法正确的是（）A.B.存在点，使得C.四边形的面积取值范围是D.当的坐标为时，的方程为【答案】AC【解析】对于A选项，连接，，因为，为圆的切线，所以，，，，所以，所以，故A正确；对于B选项，，有当最小时，最大，即最大，当时，此时最小，，所以，可得，即，故B错误；对于C，四边形的面积，又，又，所以,所以，即四边形的面积得取值范围是，故C正确；对于D，设，，利用圆的切线方程，得到切线，，将代入可得，，，所以过，两点的直线为，故D错误.故选：AC.11.在六月一号儿童节，某商家为了吸引顾客举办了抽奖送礼物的活动，商家准备了两个方案.方案一：盒中有6个大小和质地相同的球，其中2个红球和4个黄球，顾客从盒中不放回地随机抽取两次，每次抽取一个球，顾客抽到的红球个数等于可获得礼物的数量；方案二：顾客投掷一枚质地均匀的骰子两次，两次投掷中向上点数为3的倍数出现的次数等于可获得礼物的数量．每位顾客可以随机选择一种方案参加活动，则下列判断正确的是（）A.方案一中顾客获得一个礼物的概率是B.方案二中顾客获得一个礼物的概率是C.方案一中顾客获得礼物的机会小于方案二中顾客获得礼物的机会D.方案二中“第一次向上点数是1”和“两次向上点数之和为7”相互独立【答案】ABD【解析】A:方案一中顾客获得一个礼物的概率是,故A正确;B:方案二中顾客获得一个礼物的概率是,故B正确;C:记方案一中顾客获得礼物的概率为，记方案二中顾客获得礼物的概率为，,故C错误;D:记方案二中“第一次向上点数是1”为事件,两次向上点数之和为7为事件,,,所以方案二中“第一次向上点数是1”和“两次向上点数之和为7”相互独立,故D正确.故选：ABD.12.如图，在平行六面体中，，，点，分别是棱，的中点，则下列说法中正确的是（）A.B.向量，，共面C.平面D.若，则该平行六面体高为【答案】ACD【解析】设，由题意得，，，所以，故A正确；，若向量，，共面，则存在唯一实数对，使得，即，而，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面，故B错；，，，所以，，因为，平面，所以平面，故C正确；连接，，，过点作平面于点，由题意得，则三棱锥为正四面体，所以点到平面的距离即为正四面体的高，即平行六面体的高，，，所以平行六面体的高为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知事件与事件互斥，若，，那么________.【答案】0.8【解析】.故答案为：0.8.14.在一次生活常识竞答活动中，共有20道常识题，两位同学独立竞答，其中一位同学答对了12道题，另一位同学答对了8道题，假设答对每道题都是等可能的.任选一道常识题，至少有一人答对的概率________.【答案】【解析】设任选一道常识题，至少有一人答对为事件，则.故答案为：.15.已知点，，在圆上运动，且，的中点为，若点的坐标为，则的最大值为________.【答案】15【解析】设，因为，的中点为，则，则，则，其几何意义为，圆上的点到点的距离，则其最大值为.故答案为：1516.在三棱锥中，，，，且，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为________.【答案】【解析】取的中点，连接、，如下图所示：，，且，，所以，、均为等腰直角三角形，且，所以，，所以，为三棱锥的外接球直径，设，可得，设，，为的中点，则，同理可得，平面，平面，所以，，，在中，由余弦定理可得，即，可得，由，可得，化简可得，即，，解得，因此，三棱锥外接球的体积为.故答案为：.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆，圆.（1）若直线经过圆与圆的公共点，求直线的方程；（2）若圆过两圆的交点且圆心在直线上，求圆的方程.解：（1）联立方程组，作差可得：即两圆的交点所在直线方程为：，故直线的方程为.（2）联立方程组，解得或，即两圆的交点坐标为和.弦AB的垂直平分线方程为圆过两圆的交点且圆心在直线上圆的圆心既在弦AB的垂直平分线又在直线上.联立方程组，解得，即得圆的圆心坐标为.圆的半径圆的方程为18.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．解：（1）因为甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，所以甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，，记甲、乙两人所付租车费用相同为事件A，则P（A）＝，所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.（2）若ξ＝4，则甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4小时，或甲乙都超过2小时不超过3小时，所以P(ξ＝4)＝，若ξ＝6，则甲超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙超过2小时甲超过3小时不超过4小时，所以P(ξ＝6)＝19.已知的顶点，高CD所在直线方程为，角的平分线BE所在直线方程为．求：（1）点的坐标；（2）BC边所在直线方程．解：（1）∵的顶点，高CD所在直线方程为，角的平分线BE所在直线方程为，∴直线AB的斜率，∴直线AB的方程为：，即，联立，得，∴B点坐标为；（2）∵，，角的平分线BE所在直线方程为，∴，∴，解得或（舍），∴直线BC的方程为：，即．20.在如图所示的试验装置中，两个正方形框、的边长都是，且平面平面，活动弹子、、分别在正方形对角线和、上移动，记，平面，记.（1）证明：平面；（2）当的长最小时，求二面角的余弦值.解：（1）因为平面，且平面，平面平面，则，因为，所以，，则，，即，所以，，因为，所以，，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面.（2）由（1）知，平面，因为平面，所以，，所以，，当且仅当时，等号成立，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，则，，，设平面的法向量为，则，取，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，，由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为.21.如图所示，几何体中，，均为正三角形，四边形为正方形，，，，分别为线段与线段的中点，、相交于点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）取中点点，连接，，因为，，为线段的中点，所以，，又因为中点为，为中点，所以，，所以，，即四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以∥平面.（2）在正三角形中有，易知，由（1）知，在正方形中有，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（3）以过点作的垂线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直