2023-2024学年云南省部分名校高二上学期9月月考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat15页2023-2024学年云南省部分名校高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由交集的运算求解.【详解】由题意得，所以．故选：B2．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用复数的运算法则，得到，得出，即可求解.【详解】由题意得，因为，可得，解得．故选：A.3．在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出点坐标，然后计算．【详解】点在平面内的正投影为点，则．故选：B.【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．4．已知一组数据从小到大为4，5，6，8，，13，18，30，若这组数据的分位数是中位数的两倍，则（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】C【分析】首先求出中位数，再找到第分位数，即可得到方程，解得即可.【详解】由题意得这组数据的中位数为，因为，所以这组数据的分位数为第个数，即，则，解得．故选：C5．在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，得到，结合空间向量共线的坐标运算，即可求解.【详解】由题意，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，因为，可得，则存在唯一实数，使得，即，所以，消去得：．故选：C.6．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两角和正切公式化简并计算得或3，利用充分必要条件定义即可判断.【详解】由，得，即或3，（经检验均为原分式方程的解），所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角，所以平面平面，因为是菱形，是的中点，所以，，而平面平面，平面，所以平面，而平面，所以，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设平面的法向量为，则得取，则，得平面的一个法向量为，易得平面的一个法向量为，所以平面与平面夹角的余弦值为．故选：A8．已知函数满足，且在上单调，则的最大值为（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】根据已知得出的图象关于点中心对称，进而得出函数单调性，结合正弦函数的图象得出，即可得出答案.【详解】由，得的图象关于点中心对称．又且在上单调，且，所以在上单调，所以，即，所以．故选：B.二、多选题9．若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底，结合共面向量定理对选项一一判断即可得出答案.【详解】不存在，使得，所以不共面，是空间的另一个基底，A正确．因为，所以共面，不是空间的另一个基底，B错误．不存在，使得，所以不共面，是空间的另一个基底，C正确．因为，所以共面，不是空间的另一个基底，D错误．故选：AC.10．若函数，则（

）A． B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简的表达式，然后根据三角函数的性质逐一判断每个选项.【详解】，A选项错误；根据周期公式，的最小正周期为，B选项正确．，又，而有一条对称轴，所以的图象关于直线对称，C选项正确．由，得，而在上递增，所以在上单调递增，D选项正确．故选：BCD11．已知偶函数在上单调递增，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据题意，得到在上单调递减，结合函数的基本性质，以及对数函数与幂函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】因为偶函数在上单调递增，可得函数在上单调递减，对于A中，因为，所以，所以A正确．对于B中，因为的值域为，所以，则，所以B正确；对于C中，因为，所以，所以C错误；对于D中，因为指数函数单调递减，所以，又因为幂函数在上单调递增，所以，则，得，所以D正确．故选：ABD.12．已知一个正八面体如图所示，，则（

）

A．平面 B．点到平面的距离为1C．异面直线与所成的角为 D．四棱锥外接球的表面积为【答案】ABD【分析】根据线面平行的判定、异面直线的夹角、外接球等知识点逐项判断即可；【详解】将正八面体置于一个正方体中，如图所示，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，，则正方体的边长为2，由图可知，，因为平面平面，所以平面，A正确．连接，由图可知，点到平面的距离为，B正确．

由图可知，，则直线与所成角即与所成角，因为为正三角形，所以，C错误．四棱锥外接球的球心为正方形的中心，所以外接球的半径为1，故四棱锥外接球的表面积为，D正确．故选：ABD.【点睛】关键点睛：将正八面体放到正方体中是本题的突破点，然后根据线面平行的判定、异面直线的夹角、外接球等知识点逐项判断.三、填空题13．已知向量，，若，则．【答案】/【分析】先求出，进而根据平面向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为，，所以，由，得，即，解得．故答案为：.14．在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为.【答案】【分析】先求出直线的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可.【详解】取，,则，,所以点到直线的距离为.故答案为：15．斗蟋蟀是我国民间搏戏之一，始于唐朝，盛行于宋朝．如图所示的蟋蟀笼可近似看成由圆锥和圆台（具有公共底面）组合而成的几何体．已知圆锥和圆台公共底面半径为9cm，圆台另一底面半径为6cm，该组合体的高为18cm，且圆锥的高是圆台的高的5倍，则该组合体的体积为．【答案】【分析】根据已知列出关系式求出圆锥、圆台的高，进而根据体积公式分别计算得出圆锥、圆台的体积，即可得出答案.【详解】设该组合体圆锥部分的高为xcm，则由已知可得，解得，所以圆台的该为3cm.所以圆锥的体积为，圆台的体积为，所以该组合体的体积．故答案为：.16．已知函数，若从集合中随机选取一个元素，则函数恰有7个零点的概率是．【答案】【分析】由，得，由，得，画出的图象结合，且，分情况求解即可.【详解】由，得，当时，的最小值为．由，得，即，因为，所以．而，当时，方程的实数解的个数分别为3，3，2；当时，方程的实数解的个数分别为3，2，2；当时，方程，的实数解的个数均为2．所以当时，函数恰有7个零点，故所求概率为．故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的性质的应用，解题的关键是画出函数图象，结合图象求解即可，考查数形结合的思想，属于较难题.四、解答题17．已知函数．(1)求的解析式及定义域；(2)求不等式的解集．【答案】(1)定义域为(2)【分析】（1）由换元法即可求解表达式，进而可利用对数的性质求解定义域，（2）利用对数函数的单调性即可求解.【详解】（1）令，则，所以，即．由，得或，所以的定义域为．（2）由，得，得．又，所以，即不等式的解集为．18．在如图所示的斜三棱柱中，．(1)设，，，用表示；(2)若，，求的长．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据向量运算的几何表示求解；（2）根据向量模的公式及数量积运算求解.【详解】（1）在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，则．（2）依题意可得，则，所以的长为．19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以，，，分组的频率分布直方图如图所示．(1)估计这100户居民的月平均用电量的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)按照分层随机抽样的方法从月平均用电量在，的居民中抽取5户居民，再从这5户居民中随机抽取2户，求这2户居民中至少有1户月平均用电量在的概率．【答案】(1)(2)【分析】根据频率分布直方图中的平均数计算公式计算即可；结合分层随机抽样先确定在，应抽取多少户，进而列举出试验的样本空间，再结合古典概型求解即可.【详解】（1）估计这100户居民的月平均用电量的平均数为．（2）样本中100户居民月平均用电量在的居民有户，月平均用电量在的居民有户，按照分层随机抽样的方法在应抽取户，分别设为a，b，c，在应抽取户，分别设为d，e．再从这5户居民中随机抽取2户，这个试验的样本空间可记为，共包含10个样本点．记A为“2户居民中至少有1户月平均用电量在”，则，包含7个样本点，所以,所以这2户居民中至少有1户月平均用电量在的概率为.20．如图，在正方体中，分别是的中点．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（2）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可.【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以直线与所成角的余弦值为；（2）设平面的法向量为，则得取，则，得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为．21．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的值；(2)的平分线与BC交于点D，若，求面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简，求得的值，即可求解；（2）根据题意得，结合，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：因为，所以，又因为，所以，则，则，因为，所以，即．又因为，所以．（2）解：因为平分且，所以，由，可得，整理得，则，当且仅当时，等号成立，故面积的最小值为．22．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点．

(1)证明：．(2)若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取AD的中点F，可证得，，从而平面PEF，根据线面垂直的性质可得结论；（2）过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，可得平面，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系．写出点的坐标，求出平面PAB的法向量，可得直线DG与平面PAB所成的角的正弦值的表达式，结合换元法及二次函数的性质得出答案.【详解】（1）如图，取AD的中点F，连接PF，EF．∵底面ABCD是正方形，，∴，．∵，平面PEF，∴平