线性空间与子空间及线条风景写生

第一讲线性空间线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。线性空间的定义：设是一个非空集合，其元素用等表示；是一个数域，其元素用等表示。如果满足[如下8条性质，分两类]（=1\*ROMANI）在中定义一个“加法”运算，即当时，有唯一的和（封闭性），且加法运算满足下列性质（1）结合律；（2）交换律；（3）零元律存在零元素o，使o；（4）负元律对于任一元素，存在一元素，使o，且称为的负元素，记为（）。则有o。（=2\*ROMANII）在中定义一个“数乘”运算，即当，时，有唯一的（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律；（6）分配律；（7）结合律；（8）恒等律；[数域中一定有1]则称为数域上的线性空间。注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。（2）两种运算、八条性质数域中的运算是具体的四则运算，而中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。当数域为实数域时，就称为实线性空间；为复数域，就称为复线性空间。设＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy=xy,证明：是实数域R上的线性空间。[证明]首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性=1\*GB3①唯一性和封闭性 唯一性显然 若x>0,y>0,，则有xy=xy封闭性得证。=2\*GB3②八条性质（1）x（yz）=x(yz)=(xy)z=(xy)z（2）xy=xy＝yx=yx（3）1是零元素x1＝[xo=x——>xo=x－>o=1]（4）是x的负元素x＝[x+y=o]（5）（xy）xy[数因子分配律]（6）（x）（x）[分配律]（7）[结合律]（8）[恒等律]由此可证，是实数域R上的线性空间。定理：线性空间具有如下性质零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。如下恒等式成立：o，。[证明]（1）采用反证法：=1\*GB3①零元素是唯一的。设存在两个零元素o1和o2，则由于o1和o2均为零元素，按零元律有[交换律]o1＋o2＝o1＝o2＋o1＝o2所以o1＝o2即o1和o2相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。=2\*GB3②任一元素的负元素也是唯一的。假设，存在两个负元素和，则根据负元律有o＝[零元律][结合律][零元律]即和相同，故负元素唯一。（2）=1\*GB3①：设w=0x，则x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故w=o。[恒等律]=2\*GB3②：设w=(－1)x，则x+w=1x+(－1)x=[1+(－1)]x=0x=o，故w=－x。线性相关性线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。•线性组合：称为元素组的一个线性组合。•线性表示：中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x可由该元素组线性表示。•线性相关性：如果存在一组不全为零的数，使得对于元素有则称元素组线性相关，否则称其线性无关。线性相关性概念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。线性空间的维数定义：线性空间中最大线性无关元素组所含元素个数称为的维数，记为。本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及。例2.全体m×n阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运算），求其维数。[解]一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简单。令Eij为这样的一个m×n阶矩阵，其（i,j）元素为1，其余元素为零。显然，这样的矩阵共有mn个，构成一个具有mn个元素的线性无关元素组。另一方面，还需说明元素个数最大。对于任意的，都可由以上元素组线性表示，——>即构成了最大线性无关元素组，所以该空间的维数为mn。线性空间的基与坐标基的定义：设V是数域K上的线性空间，是属于V的r个任意元素，如果它满足（1）线性无关；（2）V中任一向量x均可由线性表示。则称为V的一个基，并称为该基的基元素。•基正是V中最大线性无关元素组；V的维数正是基中所含元素的个数。•基是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等。考虑全体复数所形成的集合C。如果K＝C（复数域），则该集合对复数加法和复数复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取K＝R（实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为{1,i}，空间维数为2。数域K两种运算基一般元素空间类型维数复数域C（1）复数加法；（2）复数对复数的数乘{1}复线性空间1实数域R（1）复数加法；（2）实数对复数的数乘{1,i}实线性空间2坐标的定义：称线性空间的一个基为的一个坐标系，，它在该基下的线性表示为：则称为x在该坐标系中的坐标或分量，记为讨论：（1）一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。（2）更进一步，原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。正对应正对应（3）显然，同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的。后面我们还要研究这一变换关系。基变换与坐标变换基是不唯一的，因此，需要研究基改变时坐标变换的规律。设是的旧基，是的新基，由于两者都是基，所以可以相互线性表示()即其中C称为过渡矩阵，上式就给出了基变换关系，可以证明，C是可逆的。设，它在旧基下的线性表示为它在新基下的线性表示为则由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系补充：证明对于线性空间的零元素o，，均有ko＝o。线性子空间一、线性子空间的定义及其性质定义：设V1是数域K上的线性空间V的一个非空子集合，且对V已有的线性运算满足以下条件如果x、yV1，则x＋yV1；如果xV1，kK，则kxV1，则称V1是V的一个线性子空间或子空间。性质：（1）线性子空间V1与线性空间V享有共同的零元素；（2）V1中元素的负元素仍在V1中。[证明]（1）0 V中的零元素也在V1中，V1与V享有共同的零元素。（2）（－1）x=(－x)封闭性V1中元素的负元素仍在V1中分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间：{0}和V本身非平凡子空间：除以上两类子空间4.生成子空间：设x1、x2、···、xm为V中的元素，它们的所有线性组合的集合也是V的线性子空间，称为由x1、x2、···、xm生（张）成的子空间，记为L(x1、x2、···、xm)或者Span(x1、x2、···、xm)。若x1、x2、···、xm线性无关，则dim{L(x1、x2、···、xm)}=m5.基扩定理：设V1是数域K上的线性空间Vn的一个m维子空间，x1、x2、···、xm是V1的一个基，则这m个基向量必可扩充为Vn的一个基；换言之，在Vn中必可找到n-m个元素xm+1、xm+2、···、xn，使得x1、x2、···、xn成为Vn的一个基。这n-m个元素必不在V1中。二、子空间的交与和1.定义：设V1、V2是线性空间V的两个子空间，则分别称为V1和V2的交与和。2.定理：若V1和V2是线性空间V的两个子空间，则，V1＋V2均为V的子空间[证明]（1）是V的一个线性子空间。（2）是V的子空间。维数公式：若V1、V2是线性空间V的子空间，则有dim(V1+V2)+dim()=dimV1+dimV2[证明]设dimV1=n1,dimV2=n2,dim()=m需要证明dim(V1+V2)＝n1＋n2－m设x1、x2、···、xm是的一个基，根据基扩定理存在1）y1、y2、···、yn1－mV1，使x1、x2、···、xm、y1、y2、···、yn1－m成为V1的一个基；2）z1、z2、···、zn2－mV2，使x1、x2、···、xm、z1、z2、···、zn2－m成为V2的一个基；考察x1、x2、···、xm、y1、y2、···、yn1－m、z1、z2、···、zn2－m，若能证明它为V1+V2的一个基，则有dim(V1+V2)＝n1＋n2－m。成为基的两个条件：它可以线性表示V1+V2中的任意元素线性无关显然条件1）是满足的，现在证明条件2），采用反证法。假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数k1、k2、···、km、p1、p2、···、pn1－m、q1、q2、···、qn2－m使令，则但根据基扩定理，x1、x2、···、xm、y1、y2、···、yn1－m成为V1的一个基同理：这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V1+V2的一个基。 dim(V1+V2)＝n1＋n2－m三、子空间的直和1.定义：设V1、V2是线性空间V的子空间，若其和空间V1+V2中的任一元素只能唯一的表示为V1的一个元素与V2的一个元素之和，即，存在唯一的、，使，则称为V1与V2的直和，记为子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是，反映的是两个子空间的关系特殊。2.定理：如下四种表述等价（1）成为直和（2）（3）dim(V1+V2)=dimV1+dimV2（4）x1、x2、···、xs为V1的基，y1、y2、···、yt为V2的基，则x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt为的基[证明]（2）和（3）的等价性显然采用循环证法：（1）（2）（4）（1）（1）（2）：已知＝假定且，则，，，，说明对0元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立，在中只能存在0元素，即（2）（4）：已知成为基的两个条件：可以线性表示V1+V2中的任意元素2）线性无关、，存在如下坐标表示式 可表示V1+V2中的任一元素，x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt可表示V1+V2中的任意元素。假设x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt线性相关，即存在不全为0的使＝0而＝－y＝0同理这与其线性相关性矛盾，x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt线性无关x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt可作为的基（4）（1）：已知（4）成立在x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt这组基下存在唯一的坐标使x＝ 成为直和作业：P25－267，9，12第二课课题：线条风景写生领域：造型表现课时：建议2课时教材分析：本篇课文以用线条风景写生的概念为切入点，配以图片，重点讲解线条风景写生的步骤，强调线描风景写生的取景，构图，画面的取舍。教材中所配图片主要分为两个部分，第一个部分是展示了许多著名画家的线条风景写生作品，帮助教师示范讲解，学生通过观摩图片可以直观的领悟到什么是线条风景写生，以及通过线条来表现风景的独特艺术魅力。第二个部分是重点讲解线条风景写生的步骤，分步讲解了作画的先后顺序，重点解释了画面主体的确定，和画面透视的关系。学生通过图片可以初步的了解，画面的构图方法，以及成角透视等简单的透视原理。教材配以示范图片贴近学生的生活，如校园，乡间小路。教师可以带领学生到校园中去寻找合适的景物进行写生，一起分析如何取景，透视的角度关系。学生通过写生可以发现自己身边的美景，提高审美情趣。初中的学生线条的往往显得比较拘谨，往往容易过分的强调细节而忽略了画面的整体布局，建议教师引导学生尽可能的把握画面的整体效果，将画面的主次关系，透视关系基本掌握即可，而对象的造型不必强调学生去细致的描绘。学生能够掌握基本造型即可。教学目标：1.知识与技能：了解线条风景写生的作画的步骤，学会风景写生的构图，画面取舍，画面的整体布局，以及简单的透视关系。2.过程与方法：通过教师示范讲解，学习线条风景写生的基本方法，教师带领学生到校园中寻找合适的景物，观察取景构图方法，运用合适的绘画工具，完成风景写生。3．情感态度与价值观：体会运用线条描绘风景的乐趣，感受风景写生的独特魅力，学会发现和观察身边美景的态度。重点与难点：重点：线条风景写生中的构图，取景，透视关系。难点：作画时应该先考虑整体的方法，画面的取舍，透视的基本原理。教学准备：教师：线条风景写生的范画，作画的工具，如炭笔，铅笔，纸等。相关风景的图片。学生：准备好创作用的工具，如速写本，铅笔，炭笔，橡皮。基本课型：教学环节教学内容师生活动设计意图欣赏作品欣赏分析线条风景画的作品以教师讲解为主，强调线条形式的美感，风景画的整体效果，学生可以提出自己的欣赏观点。学会欣赏线条风景写生作品，提高线条风景写生的兴趣。教师示范线条风景写生示范。教师进行线条风景写生教学示范，可按照片进行讲解，重点讲解，画面的构图，取舍，以及透视关系。直观的掌握风景写生的步骤和方法。学生练习按照教师示范的方法，进行临摹，或者对着照片写生。教师给出图片示例，学生按照之前教师的示范步骤，进行临摹。巩固写生的方法，为之后进行写生做好准备。学生写生带领学生在校园中寻找风景进行写生。教师带领学生在校园中寻找合适作画的风景写生，教师在学生写生的同时，进行适当的指导，重点指出学生在作画步骤，构图，透视，画面的整体效果上的问题，帮助学生学会写生的方法。体会风景写生的乐趣。巩固所学的写生方法。展示评价学生进行作业展示和评价学生将自己的作品拿到讲台前进行展示，学生自评，互评，教师点评。加深学生对风景写生的理解，提高对美术作品的鉴赏能力。教学实施建议：一、教学导入建议：（一）从学生了解的内容引入：教师请同学说说在校园中有哪些景色最吸引你，或者请同学描述自己心中最美的景色。从学生的生活，了解的内容导入，容易激发学生的兴趣，让他们想到平时容易忽视的观察方式。为之后的创作取景打下基础。（二）从学生对画面的欣赏引入：教师选取几幅名家的作品进行展示，请同学说说画面的感受，并且直接引入线条风景写生的概念，也可选取几幅不同的风景画请同学说说画面之间的不同，将线条风景画与其他风景画进行比较，学生发表自己的观点。（三）从课本的教学重点入手：教师先挑选一图片，请同学选择选取图片的那些地方进行构图，哪些内容删去。再按照选择好的构图方式展示事先准备的与图片对应的范画。直接从重点引入，学生可以直观的了解本堂课的核心内容，并为之后的知识理解，创作打下基础。二、教学活动建议：（一）欣赏线条风景写生的图片，感受线条风景写生的独特魅力1、教师通过ppt展示线条风景写生富有代表性的作品展示，请同学说说画面中主体物，观察的角度，表现的方式。2、教师通过这些图片讲解构基础的构图方法，比如黄金分割点，画面不可从纸张的尖角处开始画等等。3、教师通过图片讲解透视的基本理论，提醒学生发现消逝点，视平线等基本方法。（二）教师示范讲解线条风景画的作画步骤1、教师通过实物投影，或者黑板，当场作画以示范，作画时可以结合书本上的图片，按照书本范例的步骤示范。或者结合教师给出的图片，重点讲解，画面的整体布局，景物的删减，以及透视关系进行示范。2、教师示范好以后，学生按照教师示范的方法，先进行临摹练习，教师巡视指导，指出学生作画时不规范的地方，比如太过关注局部，画面没有主体物太过平均，透视角度不对等问题。（三）学生创作1、带领同学来到校园中，进行写生创作练习。教师可先组织学生一起一个地方，规定一处景物进行构图，取景等讲解，作简单的示范。2、安排学生创作。可以事先帮助学生分好小组，由小组长带领学生进行写生练习，在规定的时间集合。同时，教师巡视指点。3、学生将自己的作品拿到讲台上，或者在校园集中对照景物进行自评，互评，教师总结。三、作业设计：带领学生到校园进行写生，如有条件，也可组织学生到公园，街道等地进行写生。四、教学评价建议：评价内容：学生是否积极参与，画面是否完整，构图，取景是否恰当，透视是否正确。评价方式：以教师点评为主，强调本课的知识点，也可学生自评，互评，教师总结五、课后拓展：1、结合所学内容，学生尝试自己寻找身边的景色进行写生创作。参考资料：透视有三种:NO.1色彩透视NO.2消逝透视NO.3线透视.这是达芬奇总结的其中最常用到的是线透视。透视学在绘画中占很大的比重，它的基本原理是，在画者和被画物体之间假想一面玻璃，固定住眼睛的位置(用一只眼睛看)，连接物体的关键点与眼睛形成视线，再相交与假想的玻璃，在玻璃上呈现的各个点的位置就是你要画的三维物体在二维平面上的点的位置。这是西方古典绘画透视学的应用方法。如《最后的晚餐》。应用(1)多视点中国画善于表现丰富的情节，西方绘画注重单视点(类似于摄影)。中国画讲求的丰富情节用单视点是不能完成的。因此，中国画用(类似于把摄象的多镜头分割再重新组合)多视点来表现。如《清明上河图》(2)高视高采用微俯的视角表现，“远山即高”高山往往是画在远处的，其间再用云雾缭绕加以衔接。表现一种人比山高的心情。中国画是不采用近距离仰视来表现高山的。(3)远视距中国画讲求“仗山尺树，寸马豆人”要求画中物体符合事物的正常比例，因此，画者必须采用远视距来表现。毕加索的作品打破了透视学的基本规律，把一个物体的正面反面，能看见的不能看见的全都表现在一个二维的空间中，理解毕加索的画首先要抛弃透视学。现在的画家已经开始无视一切规则，尝试打破所有的规则，但这些做法又在一个基本的哲学规则之中----打破一个旧的规则，创造新的规则。基本术语1，透视——通过一层透明的平面去研究后面物体的视觉科学。“透视”一词来源于拉丁文“Perspclre"（看透），故有人解释为”透而视之“。2，透视图——将看到的或设想的物体、人物等，依照透视规律在某和媒介物上表现出来，所得到的图叫透视图。3，视点——人眼睛所在的地方。标识为S。（EYEPOINT）4，视平线——与人眼等高的一条水平线HL。（HORIZOUTALLINE）5，视线——视点与物体任何部位的假象连线。（LINEOESIGHT）6，视角——视点与任意两条视线之间的夹角。（VISUALANGLE）7，视域——眼睛所能看到的空间范围。8，视锥——视点与无数条实现构成的圆锥体。（VISUALCONE）9，中视线——视锥的中心轴。又称中视点。（LINEOEVISUALCENTER）10，站点——观者所站的位置。又称停点。标识为G。（STANDINGPOINT）11，视距——视点到心点的垂直距离。12，距点——将视距的长度反映在视平线上心点的左右两边所得的两个点。标识为d。（DISTANCEPOINT）13，余点——在视平线上，除心点距点外，其他的点统称余点。标识为V。（COMPLEMENTPOINT）14，天点——视平线上方消失的点。标识为T。（TOP—VANISHIUG）15，地点——视平线下方消失的点。标识为U。（BOTTOM—VANISHIUG）16，灭点——透视点的消失点。17，测点——用来测量成角物体透视深度的点。标识为M。（MEASURINGPOINT）18，画面——画家或设计师用来变现物体的媒介面，一般垂直于地面平行于观者。标识为PP（PICTUREPLANE）19，基面——景物的放置平面。一般指地面。标识为GP（GROUNDPLANE）20，画面线——画面与地面脱离后留在地面上的线。标识为PL。（PICTURELINE）21，原线——与画面平行的线。在透视图中保持原方向，无消失。22，变线——与画面不平行的线。在透视图中有消失。23，视高——从视平线到基面的垂直距离。标识为h（VISUALHIGH）24，平面图——物体在平面上形成的痕迹。标识为N（PLAN）25，迹点——平面图引向基面的交点。标识为TP（TRACKPOINT）26，影灭点——正面自然光照射，阴影向后的消失点。标识为VS（VANISHINGOFSHADOW）27，光灭点——影灭点向下垂直于触影面的点。标识为VL（VANISHINGOFLIGHT）28，顶点——物体的顶端。标识为BP（BASEPOINT）29，影迹点——确定阴影长度的点。标识为SP（SHADOWPOINT）构图方法【中国构图】绘画也好，写文章也好，都要有章法、布局。在绘画中，所谓章法、布局就是我们所说的构图。谢赫“六法”中称为经营位置也就是构图。为什么不说是分布位置而称为经营位置？这里说明作画是个要动脑筋，如何安排画面的问题。作画有了题材，通过画面传达给观众，使观众接受了你的想法和美感，从构思到画面，遇到的第一关即是构图。明代谢肇淛说：'市故事便立意结构。同时代的另一画家李日华说：大都画法以布置意象为第一。可见取得好的题材，还不算万事大吉，紧跟着要研究主体部分放在哪里，次要部分如何搭配得宜，甚至空白处、气势、色彩、题词等等的细节都要反复推敲，宁可没有画到，但不可没有考虑到，这种推敲布置的过程即是一种经营。画家常常不是通过一两张草图便能达到理想构图的，特别是中国画的构图，要考虑民族形式的特点，要考虑到便于发挥笔墨，便于物象的展开，既要多变化、多次层，又要求统一，关于这些特点，下面再分条叙述。三远北宋郭熙在所著《林泉高致》一文中提出山有三远，自山下而仰山巅，谓之高远；自山前而窥山后，谓之深远；自近山而望远山，谓之平远。现分述如下：一、高远在《芥子园画传》的山水部分，总结有构图学上的一个普遍问题，就是高远、深远和平远的三远法，实际上是如何表现山水境界中的高、宽、深三度空间的方法。《芥子园画传》中所说的高远，是从下面向上仰视，才觉得高远，我们今天应用透视学的观点，即把物象放在视干线上，就显得岸然兀立。在这部书中提出用泉水以助其势之高，如画雁荡山的龙激飞瀑，即应有高远之气势才好。但是书中的借泉助高，并不能把问题说得十分清楚，因为你把山画得再高，泉水画得再长，还是不及真山的千分之一高。怎样把象千仞之高的大山画在尺幅之内呢？刘未对宗炳在历山水序》中指出，眼与山只要有了相当的距离，按照比例来画就行了，“坚划三寸就有千仞之感”、“舱里数尺即可体现百里之遥”。比如为了夸大山之高峻，可以把人物、房屋、树木画得很小，如范宽的《溪山行旅图》，沈周的《庐山高图》，都是人小山大。有时也可把峰顶推出画外或隐入云层，使人不知山有多高多大。画高的形势，可以把下部虚起来，如画山头用云虚断山脚也有崇峻之感，即郭熙所说山欲高，尽出之则不高，烟霞锁其腰则高矣。反之，如画极远的平川，可把上面虚起来，也会造成平川万里之势。二、深远由前面往里画出深奥之感觉叫深远。画中进深大，造成一种具有深远空间的意境。《芥子园画传》解释加强云气有深远感，宋代郭熙在《林泉高致》中也有所论述，水欲远足出之则不远。掩映断其脉则远矣。这种处理方法在表现云横秦岭、气断巫峡时可以使用。有经验的山水画家，都觉得三远之中深远最难于体现。元代王蒙的《具区林屋图》，使用了四面环山，把幽深之溪谷层层透措，屋宇柿比送次，画出了难度较大的纵深之感。三、平远平远景色要画出前后左右辽阔的空间。平远画法大体上有两种：一种是矮山及丘陵的平远山水；一种是只有田园河流的平原大地。对于前一种画法《芥子园画传》强调用烟气加强平远之感，有了烟'气，便觉得苍茫辽阔。实际上无论高远、平远，这一点都是适用的。黄公望的《富春山居图》和倪赞的《紫芝山房图》就属于平远山水的类型。对于描绘平原景色的辽阔地貌，也可以用一些类似的手法，但主要还是应当利用景物的透视，如林带、田埂的透视，河流的纵横带来加强平远效果。一马平川的大地原是国画中难于奏效的画题，近代画家有用稻田波影来衬托白帆片片，也有用树木和房屋层层推远的。三远之法，自郭熙提出之后，到了韩拙和后代的黄公望、王概以及曾到日本旅徙过的费汉源，他们都对三远法有不同的发展。郭熙还在三远中提到了三种色调感觉，那就是高远之别样，深远之色重晦，平远之色有明有矿结合他分析高远之势突兀，深远之意重叠，平远意冲融而缥缥缈缈、看来作者是作了深入观察后述。我们面对高山自山下而仰山巅，必然觉得山色楚明确，山峰傲立突出。如自山前降望山后，必然山色阴晦而重叠。如果是自近山而望远，这时会感由于远距离而使远山在空气层中产生缥缈模糊之感以上都是由于取景时画家与景物距离视线的方向，野的大小等差距而产生的。开合争让构图千变万化，实在不是几句话就能谈清楚的。但也不能因此就认为构图是神妙不可捉摸的，在这方面，古人也积累了不少经验，其中为国画家最常用的一句术语，就是开合争让之法。清代郑绩在《论景》一则中提出凡布景起处直平淡，至中幅乃开局面，这是指开始布局之后，必须注意展开局面，既经展开之后，郑绩又认为要有分有合，一幅之布局固然，一笔之运用亦然，沈宗春把这比作下棋，国手对奕各不相争，亦各不相让……于此可悟画理，他所指的是大的开合和争让，认为。低手扭定一块，所争甚小，而大局所失已多。在国画章法布局中，正须避免这种小的开合和小的争让。试从高克恭的《云横秀岭图》可看到其开合布陈之妙，正中巨峰突出，群峰拥簇有合掌之势，这是合；山头中部之云、下部之水则是开；左右都有树林石坡，这是争；有高有低，有伸有缩之水蛟，这是让。如此构图颇象善于写文章的名手，看到他笔下波澜的起伏，气象变动无穷，也看出作者胸中有丘壑，笔下有烟云的巧妙布置。疏可跑马密不透风清代著名书法篆刻家邓石如引述发展前人的名言字画疏处可以走马，密处不使透风。中国画家常借用这两句话强调疏密、虚实之对比，以反对平均对待和现象罗列。疏，指空的地方可以跑开奔马，当然是相当空间了；密，指密集的地方，连风都透不过去，当然是非常实实在在的了。我们可从传为唐代l李思训的《江帆楼阁图》加以说明，他把山树人物等实在之物都集中在左边，树隙中又夹绘房屋，可谓密不通风，而右边则有一片沧海，点染一二风帆，使之空阔无际。若问这样的加大疏密的差距有必要吗？有的，所谓空白处不是无话可说，没有画意可寻了，它正是为了衬托密安部分增强空象，使它更能以少胜多，就象音乐中的休止符，使人有更多的泪旋浮想的余地，正是此时无声胜有声。要善于借虚以见实，前人曾提出大抵实处之妙，皆因虚处而生是很有道理的。密处在构图中要更集中，更精密地刻画，使墨、色、线充分发挥效果，对比下感到白的更白，密处更密，更突出，更加强烈地给观者留下印象，从而发挥造型艺术的特长。虚与实不可分割，是构图法的两个方面，孤立强调任何一个方面都是不恰当的。疏密聚散与前一节意思相近，这种变化有时也可以用疏、密、聚、散四个字来形容。密与聚是画面上的实处，疏和散是指画的虚处，正如疏可跑马，密不通风一样，观者能在画面上看出大的节奏感来。但空不是简单的空白，而是三中也有象，我们试看八大山人的花与画，常常只画一花一鸟，单纯之极，纸上留出了大面积的空白，整幅．画面空虚处，让读者自己去发挥想象，可以想象为天空，为白云，为水波，造成极大的边旋余地。但只有空白不能成画，所以还要有密处说明问题，最忌的是平均布置，如请吴历棚天春色图人三组柳树，有聚有散，其土坡按一根S线布置，画的中部和远山，又尽量展开，以求舒散，引起观画者有山曲水幽之感，同时也为我们展示出如何处理疏密聚散的手法。计白当黑这句话也是来自清代书法家邓石如，计白以当黑，奇趣乃出，因为这一规律可通画理，国画家又把他的道理转用在绘画上，与此相近的说法还有，清代华琳在《南宗抉秘》画评中所说：于通幅之留空白处，尤当审慎。中国画强调运用空白，对空白经营很用心，把它当有画的部位，同样费心思去考虑。为什么要留下一些空白呢？这好比戏剧、电影中人物的潜台词，如果把话都说尽了，没留下一点潜台词，这叫做平铺直叙。画面上展现一片空间，我们会感到画家的思想在这段空间里驰骋，这在米氏的云山画中是常见的手法，一片白云横在山腰，山随云活。但邓石如的深意还不止于此，他是要求没有笔画处的白，当和有笔画处的黑一样引起重视，认真经营，让白中也有内容，有画意，而不是一块闲置没有画到的白纸。这就要斟酌白与黑的措趁和呼应，如画一条长桥卧波，桥身是黑，水便是白，桥身如何布置便很重要，讲的位置合度，可以感到桥下的流水，引起对水的联想，类似这种空白，不是可有可无，也不是无话可说了，这是言外之言，物外之趣，意味无穷。艺术贵在含蓄，空白也是诸种含蓄手法之一。布置之法势如勾股清代画家邹一挂在他所著的《小山画谱》里，提出了一个国画的构图原理，这就把画面的布置，安排为三角形的勾股方为得势。勾股的三角形，也可以是直三角和斜三角。勾股的三根线，分别称为勾、股、弦．欧洲的西画大师如荷蒙特里安爱用方格式构图，而中国画家之所以爱用三角形构图原理，可能更符合于中国画的表意性，便于表现山水花鸟构图的上轻下重，上小下大，引力向下的心理因素。避免板到。这是就总体而言，当然构图是无限丰富的，很难作执一之论，不应使它束缚每一画家的独创性。前面讲过，中国画的构图也要运用一个破字，三角形对正方形来讲，便是破口均衡的方形，即使三角形本身，也可运用破字，如画石的大问小法，一块大石头，再间杂几块小石头，就会破三角形的一根弦线，潘天寿所示图例，即是三角形的互破之法。正和偏、板和活、齐和不齐、均衡和不均衡、对称和不对称都是艺术表现形式的对立统一规律，在构图时要随时注意它的辩证关系，从主题出发，从主要的构思去寻找主要的构图之路。藏景露景国画构图有藏也有露，既不能全藏，也不能全露，这样才能画外有画，不致一览无余。然而何者该藏，何者该露，这要看主题内容而后决定。一般说来，主要人物应该露，次要人物应该藏，主要情节应该露，次要情节应该藏。藏景是为了画面的含蓄，宋代毕史良的《溪桥策杖图》，策杖之人物则露，小亭则藏，这样以示隐士所去的地方-一竹林中的幽静小亭。画船只画布帆，画酒家只画酒帘，画大城市只画楼顶或高塔之尖顶，其余的用云断法或藏于绿树中，这样比全部托出，更饶有画意，所谓言有尽而意无穷，国画家最深知其中之妙趣。但藏景不可尽藏，白居易《长恨歌》中犹抱琵琶半遮面，有遮有露，更显出演奏人的不凡和神韵。一味藏景，易使画面潜晦不明，一味露景则索然乏味。中国画的山水常常是亭显一角，船出半复用隐柳梢，石没半边，构成景物有限，味之无穷的境界。补景点景对以人物为主的画面来讲，再画一些环境为陪衬，这叫做补景。多数画家自