相关系的一些基本性质

相关系的一些基本性质

相关系可以看作是许多代际系统的系统，例如从域中线性空间和周期中的共同抽象。它在代数学、组合研究和理论计算机科学等方面得到了广泛的应用。在这项工作中，我们主要讨论了相关系（尤其是传递相关系）的几个基本性质。这些性质被郭玉琦教授和岑嘉赞教授在文献中描述的有限维线性空间的病理方法推广到相关系中。有关相关系的系统讨论，可以添加。1线性相关系定义1.1设S是一个集合,D⊆2S.称D为S上的一个相关系,或称(S,D)构成一个相关系,若对于任意X⊆S,X∈D当且仅当X含有一个有限非空子集X′使得X′∈D.D中的元素称为D-相关子集,简称相关子集,S中的其他子集称为D-无关子集,简称无关子集.注意,S中可以没有相关子集(即D可以为空),但由定义S一定存在无关子集,空集∅总是任何相关系中的无关子集.例1.2设V是一个线性空间,L为V中所有线性相关的子集组成的集合.则显然L为V上的一个相关系,称为V上的线性相关系.例1.3设A*为字母表A上的自由幺半群,DC为A*中所有非自由子幺半群的生成元集组成的集合.则DC为A*上的一个相关系,称为自然相关系或码相关系.A*中的DC无关子集称为A上的码.定义1.4设D是S上的一个相关系,X⊆S,x∈S.若x∈X或者存在无关子集X′⊆X使得X′∪{x}为相关子集,则称x相关于X.记所有与X相关的元素组成的集合为〈X〉,称为X的闭包.满足〈X〉=X的子集X称为S中的闭集.由后面的例子(例2.3或2.5)可知,上述的闭包概念并不满足通常意义下闭包公理中的传递性,即〈〈X〉〉=〈X〉不一定成立.因此有如下定义:定义1.5称S上的一个相关系D为一个传递相关系,如果对于任意X⊆S,〈〈X〉〉=〈X〉.以下定理说明传递相关系与某种特殊的代数闭包算子有一一对应关系.定理1.6设D是S上的一个传递相关系.则由D诱导出的算子clD∶X〈X〉是一个满足以下替换性质(∀X⊆S,y,z∈S)y∉〈X〉ue84aSymbolYCpy∈〈X∪{z}〉⇔z∈〈X∪{y}〉(1)的代数闭包算子.反之,设cl∶2S→2S是S上的一个满足替换性质(∀X⊆S,y,z∈S)y∉cl(X)ue84aSymbolYCpy∈cl(X∪{z})⇔z∈cl(X∪{y})(2)的代数闭包算子,则存在S上的相关系D使得对于任意X⊆S,cl(X)=〈X〉.在线性相关系(V,L)中,〈X〉即为X生成的子空间.定义1.7设(S,D)是一个相关系,S′⊆S.则显然(S′,D∩2S)也是一个相关系,称为(S,D)的一个子系.2x是zr-pcs的一个无关集定义2.1设(S,D)是一个相关系,X⊆S.若〈X〉=S,则称X为S的一个生成元集.S的无关生成元集称为基.命题2.2设(S,D)为一个相关系,X⊆S.则在以下两个条件等价:(1)X是S的基;(2)X是S的极大无关集;且它们都蕴涵以下条件:(3)X是S的极小生成元集.另外,若此相关系是传递的,则以上三个条件等价.证明(1)⇒(2).若X是S的一个基,则X是无关集.下面证明其极大性.对于任意x∈S\X,由X是S的生成元集可知,x∈〈X〉.从而X∪{x}是相关集.这说明X是S的一个极大无关集.(2)⇒(1).若X是S的一个极大无关集,则对于任意x∈S\X,X∪{x}是相关集.从而有x∈〈X〉.因此〈X〉=S,从而X是S的一个无关生成元集(即基).(1)⇒(3).若X是S的一个基,则X是S的生成元集.下面证明其极小性.对于任意x∈X,由X是无关集可知,x∉〈X\{x}〉.从而X\{x}不是S的生成元集.这说明X是S的极小生成元集.关于传递相关系的情形,我们只需再证明(3)⇒(1)即可.若X是S的一个极小生成元集,下面证明X是无关集.假设X是相关集,则存在x∈X使得x∈〈X\{x}〉.从而有:S=〈X〉=〈x∪X\{x}〉⊆〈〈X\{x}〉〉=〈X\{x}〉.因此X\{x}是S的一个生成元集.这与X是S的极小生成元集矛盾.所以,X是S的一个无关生成元集(即基).一般说来,在非传递相关系中,上述命题中的条件(3)推不出条件(1),(2).设X⊆2S.记:U(X)={X⊆S|(∃X′⊆X)X′∈X}.例2.3设S={1,2,3},D=U({1}).则〈∅〉={1},〈1〉=S.从而D不是传递的.在S中,{1}和{2,3}都是S的极小生成元集,其中{1}是相关的,{2,3}是无关的.由Zorn引理不难得到如下定理,它反映了基的存在性.定理2.4任何无关子集都包含于一个极大无关集中.在一般的相关系中,虽然基总是存在的,但是各个基的大小却可能并不相同.例2.5设S={1,2,3,4},D=U({1},{2,3},{2,4}).则〈∅〉={1},〈1〉=S.从而D不是传递的.在S中,{2}和{3,4}是S中大小不同的两个基.定义2.6若相关系(S,D)中任何基都是等势集,则称此相关系为可定义维数的,而称其任一基的势为此相关系的维数.定理2.7传递相关系都是可定义维数的.注意,由例2.3可知,上述定理的逆是不成立的.3tm的线性变换定义3.1设(S,D)是一个相关系,S′⊆S.若存在X⊆S使得S′=〈X〉,则称子系(S′,D∩2S′)为[由X生成的]子空间.在不引起混淆的时候,我们也常称S′为S的子空间.注3.2显然,闭集一定是子空间,但子空间未必是闭的.例如,在例2.3中,{1}是一个由空集生成的子空间,但不是闭集.若上述定义中的相关系是传递的,则S′是S的子空间当且仅当它是闭的.定义3.3设(S,D)是一个相关系,X⊆S,n∈ℕ.若X的任意n元子集都是无关子集,则称X为S的n-无关子集.郭聿琦和岑嘉评在文献中给出了有限维线性空间中与子空间、向量的线性相关性、线性变换等有关的若干命题的等价性:定理3.4设V是某个域上的n维线性空间.则以下条件等价.(1)对于任意s∈ℕ,若Vi是V的真子空间,i=1,2,…,s,则s∪i=1Vi/⊆V(即V的有限个真子空间不能覆盖整个空间V).(2)对于任意s∈ℕ,若{αi1,αi2,…,αir}是V的线性无关子集,1≤r≤n-1,i=1,2,…,s,则存在α∈V\s∪i=1{αi1,αi2,⋯,αir}使得{α,αi1,αi2,…,αir}仍线性无关.(3)V中存在无限n-无关子集.(4)对于任意s∈ℕ,若Ti是V上两两不同的线性变换,i=1,2,…,s,则存在α∈V,使得对于任意i,j=1,2,…,s,i≠j,有Ti(α)≠Tj(α).(5)将(4)中的“线性变换”改为“秩为n的线性变换”.(6)将(4)中的“线性变换”改为“秩为1的线性变换”.定理3.5设(S,D)是一个n维传递相关系.则以下条件等价.(1)对于任意s∈ℕ,若Si是S的真子空间,i=1,2,…,s,则s∪i=1Si/⊆S(即S的有限个真子空间不能覆盖整个空间S).(2)对于任意s∈ℕ,若{αi1,αi2,…,αir}是S的无关子集,1≤r≤n-1,i=1,2,…,s,则存在α∈S\s∪i=1{αi1,αi2,⋯,αir}使得{α,αi1,αi2,…,αir}仍无关.(3)S中存在无限n-无关子集.证明(1)⇒(2).设Si=〈αi1,αi2,…,αir〉,i=1,2,…,s.若某个Si=S,则{αi1,αi2,…,αir}是S的无关生成元集,即S的基.而r≤n-1,这与S的维数为n矛盾.因此Si≠S,即Si是S的真子空间,i=1,2,…,s.由(1),s∪i=1Si/⊆S,即存在α∈S\s∪i=1Si.因α∉Si,由定义1.4,{α,αi1,αi2,…,αir}是无关子集.(2)⇒(3).以下用归纳法定义集合Tm,m≥n,使得Tm是S的一个含有m个元素的n-无关子集.首先,因为S是n维的,设Tn={α1,α2,…,αn}是S的一个基,则显然Tn是S的一个含有n个元素的n-无关子集.假设Tm已经定义好,以下定义Tm+1.因为Tm是n-无关的,从而也是n-1-无关的,即Tm的所有n-1元子集都是无关的.Tm共有s=Cn-1m个n-1元子集,设为Tm,1,Tm,2,…,Tm,s.则由(2),存在α∈S\s∪i=1Τm,i使得{α}∪Τm‚i为无关子集,i=1,2,…,s.注意到这样选取的α∉Tm,且易见Tm∪{α}仍是S的一个n-无关子集.从而Tm+1=Tm∪{α}是S的一个含有m+1个元素的n-无关子集.令Τ=∞∪m=nΤm.则显然T为S的一个无限子集.以下证明T为S的n-无关子集.设{β1,β2,…,βn}为T的任意一个n-元子集.由T的定义,存在Ti使得βi∈Tmi,i=1,2,…,n.注意到,由各个Ti的构造有Tn⊆Tn+1⊆….令m=max{m1,m2,…,mn},则有β1,β2,…,βn∈Tm.因Tm是S的n无关子集,故{β1,β2,…,βn}是S的无关子集.这样即证明了T为S的n-无关子集.(3)⇒(1).设Si是S的真子空间,i=1,2,…,s.由(3),存在S的无限n-无关子集T.以下证明对于任意i,|Si∩T|<n.如若不然,则存在i以及两两不同的α1,α2,…,αn∈Si∩T.因为T是n-无关子集,所以{α1,α2,…,αn}为S的无关子集.又因S的维数是n,由定理2.4,定义2.6和命题2.2可知,{α1,α2,…,αn}为S的一个基.由定义2.1,{α1,α2,…,αn}生成S.从而有S=〈α1,α2,…,αn〉⊆〈Si〉=Si⊆S,即Si=S,这