2022-2023学年上海市虹口区复兴高级中学高一（上）期中数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年上海市虹口区复兴高级中学高一(上)期中数学

试卷

1.若全集U=N,A=[x\x>3,xGN),则用列举法表示集合4=.

2.不等式昌>0的解集为____.

3x4-1

3.使得表达式k)g2(l—2%2)有意义的无范围是.

4.已知集合A={1,2},B={x\2x5—4x34-%24-6x4-7=0],则4AB=.

5.己知x=log43,则的值为.

6.设〃是实数，若x=1是x>a的一个充分条件，则。的取值范围是.

7.若力={“}c{_2,—1,发,2},且函数/(x)=X。与g(x)=/的图象恰有两个交点，则满

足条件的不同集合A有个

8.若关于x的不等式比-2|+氏-02。在/?上恒成立，则实数a的取值范围是.

9.已知关于x的不等式组1<卜/+2%+々〈2有唯一实数解，则实数&的取值集合

10.若函数/0)=10二砌"；3，*’7单调递增，则实数。的取值范围是.

11.设a、b>0,a+b=l,且c>2,则在+总•一2c片的最小值为______

2ao+l2(c—2)

12.已知aeR,若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件：①对任意&GR,/(x0)

的值为&或2婢；②关于x的方程f(x)=a无实数解，则a的取值范围为.

13.如果实数〃同号，则下列命题中正确的是()

22

A.o+b>2abB.a+6227abC.1+<>-T==D.—+>2

abVabab

14.已知x、ye/?,且xy<0,则下列不等式：

@|x+y\>|x-y|；

®\x+y\<\x-y\i

③|x-y|<IWI-|y||；

®\x-y\>\x\+\y\；

其中正确个数是.()

A.0B.1C.2D.3

15.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度式单位：°C)满足函数关系y=e-+.e=

2.718…为自然对数的底数，k,6为常数)，若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22。。的

保鲜时间是48小时，则该食品在33。。的保鲜时间是小时.()

A.22B.23C.24D.33

16.定义4-B={x|xC/UixCB},设A、B、C是某集合的三个子集，且满足Q4-B)U(B-

4)UC,则AU(C-B)U(B-C)是4。80。=0的()

A.充要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件

17.解关于x的不等式a/一9+l)x+1<0.

18.(1)不用计算器求值：恒25+也2・联0+21+加&5；

(2)运用基的性质证明：若a>l,0</V<1,则logaNSO.

19.某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需

要，从A项目中调出x人参与8项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10(a-爵)万

元(a>0),A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%.

(1)若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则

最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？

(2)在(1)的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留

岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围.

20.(1)当a=-1时，解关于x的方程logzg+a)=1;

(2)当a=5时，要使对数logzC+a)有意义，求实数x的取值范围；

(3)若关于x的方程log2c+a)-log2[(a-4)x+2a-5]=。有且仅有一个解，求实数a的取

值范围.

21.已知集合力=…，%i}中的元素都是正整数，旦的Va2V…V.若对任意xtyE

且都有黄成立，则称集合A具有性质M.

(1)判断集合[1,2,3,4}是否具有性质M；

(2)已知集合A具有性质求证：--->^(i=1,2,—,n)；

a：ctj2

(3)已知集合A具有性质M,求A中元素个数的最大值，并说明理由.

答案和解析

1.【答案】{0,123}

【解析】解：U=N,A={x\x>3,xeN],

・•・A={x\x<3,xEN]={0,1,2,3}.

故答案为：{0,1,2,3}.

先根据A求出7,再写工

本题考查了补集的概念，属于易做题.

2.【答案】（一次）

【解析】解：因为会>0，

所以（3x+1）（1-x）>0,即（3x+l）（x-1）<0,

解得-：<x<1,

所以不等式提>。的解集为（V，1）.

故答案为：（―g,l）.

根据分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.

本题考查不等式的解法，属于基础题.

3.【答案】（-孝，当

【解析】解：式子10g2（l-2x2）要有意义，则1—2/>0,

解得_苧<x<-y>

所以X范围是（一乎，分

故答案为：（-竽,竽）.

根据对数的真数大于0求解即可.

本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式，是基础

题.

4.【答案】0

【解析】解：丫A={1,2},8={幻2妙—4/+/+6x+7=0},

把x=1代入方程2好一4/+/+6%+7=0,方程不成立，故1£B,

再把x=2代入方程2炉一4/+%2+6尤+7=0,方程不成立，故2CB,

AdB=0.

故答案为：0.

检验A中元素是否为方程2好-4/+/+6%+7=0的根，确定集合的交集结果即可.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

5.【答案】I

【解析】解：,：x=log43,

4X=3,

二（2,2=3,

23Z+2-3X_（2"+2-1（22丫+2-2丫-1）17

=22X+2-2X-1=3+2-1=3.

2*+2^2X+2~X

故答案为：

根据对数式和指数式的转化，以及指数幕的运算性质即可求出.

本题考查了对数式和指数式的转化，以及指数基的运算，属于基础题.

6.【答案】(-00,1)

【解析】解：因为x=1是x>a的一个充分条件，

则{1}c{x\x>a},

所以a<1,

则。的取值范围是(一8,1).

故答案为：(一8,1).

利用充分条件的定义，将问题转化为{i}a{%|x〉Q},由子集的定义求解即可.

本题考查了充分条件与必要条件定义的理解与应用，集合子集定义的理解与应用，考查了逻辑推

理能力，属于基础题.

7.【答案】4

12

【解析】解：y=%-2图象与y=%-1、y—X2yy=%3^y=X?的图象有1个、1个，2个、2个交

点；

12

y=图象与y=%25y=看、y=/的图象有1个、1个，1个交点；

12

丫=%2图象与丫=病、y="的图象有2个、2个交点；

2

y=图象与y=M的图象有3个交点，

综上可得，满足函数f(x)=1与g(x)="的图象恰有两个交点的集合有4个：4={一2,刍,4=

{-2,2},4={另},4=有2},

故答案为:4.

列举出所有两个不同函数的交点个数，筛选出符合题意的函数即可得结果.

本题主要考查募函数的图象与性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

8.【答案】(—8,1]

【解析】解：上-2|+|%-可表示数轴上的%对应点到2和。对应点的距离之和，它的最小值等

于|a-2|,

由不等式|x-2|+|x—a|>a恒成立知，a<\a-2\,

解得：aWl

故答案为：(-oo,l].

根据绝对值的意义-2|+|x-a|表示数轴上的尤对应点到2和a对应点的距离之和，它的最小

值等于|a-2],可得答案.

本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求出氏-2|+|%-可的最小值，是解题的关键.

9.【答案】｛与三1+或｝

【解析】解：若K=0,不等式组1勺/^2+2%+/£式2可化为：1W2X42,不满足条件

若K>0,则若不等式组lWk/+2x+/cs2,与詈=2时，满足条件

4k

解得：fc=1+V2

若K<0,则若不等式组1Wk/+2x+kW2,与芈=1时，满足条件

4k

解得：k=T

故答案为：｛与匡,1+近｝

本题考查的知识点是类二次不等式的解法，根据不等式aM+bx+c<M(a<0)有唯一实数解=

最大值蟹竺=M；不等式a/+bx+c<M(a>0)有唯一实数解=最小值汨产=M可以判断

实数k的取值，故本题关键是要对参数K进行分类讨论，以确定不等式的类型，在各种情况中分

别解答后，综合结论即得最终结果.

不等式ax?+bx+cSM(a<0)有唯一实数解=最大值"得竺=M；

不等式ax?+bx+c<M(a>0)有唯一实数解=最小值三竺=M；

10.【答案】3)

［解析］解：•.・函数/(©=fca)%~3，X-7单调递增，

kax0,x>7

(3-Q>0

•­.a>1,解得JWa<3,

1(3-a)x7-3<a

所以实数a的取值范围是3).

故答案为：g,3).

分段函数的两段都递增且端点处函数值左边不比右边大，可得a范围.

本题考查分段函数的单调性，考查对数函数与指数函数的单调性，属于基础题.

11.【答案】V3+|

【解析】解：因为a、b>0,a4-Z?=1,且c>2,

所以=喋+舟-^^^^=4+噤+后卡T+号

4+2点三^)-詈-1+*24+24)一等一1+专2牛一等一1+322.

2)+-^+f>2(1(c-2)x-!-+|>V3+f,

7c-227c-222

当且仅当a=|,b=g,c=2+竽时，等号成立，

故答案为：V3+|.

根据式子结构，对吴+恶一手J等价变换转化为关+热-早0+宇+岛)-

2ao+l2(C-2)2ab+12(c—2)'44ab+r

竽_1+当利用基本不等式求最值・

本题考查基本不等式的运用，属于基础题.

12.【答案】(-8,一苧)u(-苧,0)u(0,mu(苧,+8)

【解析】解：根据条件①，令&=2瑞，可得久=0,-亨，当

即/(0)=。或/(当=，或/(一学)=一苧,

根据条件②关于x的方程/(x)=a无实数解，所以a力0且a#±苧；

由条件①可知函数f(x)的图象是由函数y=2/和函数丁=x的图象分段拼接而成的,

若"_亨，只需取f(x)=则/(©=a无解；

若一苧<a<0,只需取f(x)=：,)，则/(X)=0无解；

若。<”亭只需取f(x)=｛笈：2a，则f(*)=a无解;

若a>争只需取/⑴=d:If，则询=°无解;

故答案为：(-00,-y)U(-y,0)U(0,y)U(y,+<x)).

根据条件①可知x0=0或土苧，进而结合条件②分析函数/(%)的构成，即可确定。的范围.

本题主要考查函数与方程的综合运用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】D

【解析】解：选项4当a=b时，a2+b2=2ab,故A错误；

选项8,当aV0,bvO时，Q+b<0,而>0,故B错误；

选项C,当QV0,b<0时，而故C错误；

选项。，因为实数a、b同号，所以2>0,?>0,所以2+陌=2,当且仅当2=即a=b

ababyjabab

时，等号成立，

故。正确.

故选：D.

用特殊值法可排除选项4,B,C,例如4取(1=6,B和C：取a<0,b<0；利用基本不等式

可证明选项D.

本题考查基本不等式的应用，理解“一正二定三相等”的含义是解题的关键，考查逻辑推理能力

和运算能力，属于基础题.

14.【答案】B

【解析】解：xy<0,

•••x与y异号，

*'•\x-y\=|x|4-|y|>|x+y|,故②正确,①错误，

对于③，令x=l,y=-1,满足xy<0,但|x-y|>||x|-|y||,故③错误，

对于④，令x=l,y=-1,满足xy<0,但|x-y|=|x|+|y|,故④错误.

故正确的个数为1个.

故选：B.

根据已知条件，结合不等式的三角法则，以及特殊值法，即可求解.

本题主要考查不等式的三角法则，以及特殊值法，属于基础题.

15.【答案】C

【解析】

【分析】

由该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22。。的保鲜时间是48小时，列出方程组，求出e》=

1924或=：,由此能出该食品在33。。的保鲜时间.

本题考查待定系数法等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

【解答】

解：某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=e-+.e=

2.718…为自然对数的底数，k,b为常数)，

该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22。。的保鲜时间是48小时，

•七仁晨e解得i寸

.•.该食品在33。。的保鲜时间：y=e33k+b=(ellk)3xeb=(j)3x192=24(小时).

故选：C.

16.【答案】A

【解析】解：如图由于(4-B)U(B-A)UC,可知两个阴影

部分均为0,

于是力=团0团U回，B=I2U团U团，。=团0团0团0团，

(1)若4nBnc=0,则回=0,

所以力=0U0,

而(C-B)U(B—C)=回U121U团，

所以4U(C-B)U(B—C)成立，

(2)反之，若AU(C-B)U(B-C),

则由于(C-B)U(B-C)=团U团U团，=0U0U0,

所以(团U团U国)U(回U回U团)，

所以EI=0，

所以AnBnC=。，

故4U(C-B)U(B-C)是4nBnc=0的充要条件,

故选：A.

作出示意图，由于G4-8)U(8-4)UC,可知两个阴影部分均为0,根据新定义结合集合并集的

运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.

本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

17.【答案】解：当a=0时，不等式的解为｛x|x>1｝；

当QHO时，分解因式。(久一。)。一1)<0

当aVO时，原不等式整理得：/一+即。一今。一1)>o,

不等式的解为｛x|x>1或X<》；

当a>0时，原不等式整理得：x2-^-x+^<0,即(x—；)(%-1)<0,

当0<a<l时，1<,,不等式的解为｛x[l<x<，｝；

当a>l时，；<1,不等式的解为卜弓<x<1｝；

当a=l时，不等式的解为。.

【解析】本题考查的知识点是分类讨论思想，二次不等式和一次不等式的解法，难度中档.

对。进行分类讨论，结合二次不等式和一次不等式的解法，可得答案.

18.【答案】⑴解:原式=lg25+Ig2(lg25+lg2)+2-皆咆有=1g25+21g21g5+lg22+275=

(lg5+lg2)2+2V5=1+2V5.

(2)证明：令t=logaN,则村=a。v0<A/<1,A0<a£<1=a0,

又a>1,t<0,

即logaN<0.

【解析】(1)根据对数的运算法则及性质化简求值；

(2)根据指数式与对数式的转化，利用指数幕的性质证明即可.

本题考查对数的运算，属基础题.

19.【答案】解：设调出x人参加B项目从事售后服务工作，

(1)由题意得:10(1000-x)(l+0.2x%)>10x1000,

即/-500xW0,又x>0,所以0<xW500.即最多调整500名员工参与8项目的售后服务工作.

(2)由题知，0<x<400,

从事B项目的售后服务工作的员工创造的年总利润为10(a-券)％万元，

从事原来产业的员工的年总利润为10(1000-久)(1+45')万兀，

Oy

则10(a-箫)x<10(1000-x)(l+0.2%%)

_Qr21c

所以Q%—77777工1000+2%—X—，

DUUQUU

所以ax<+1000+x,

即aW鲁+理+1恒成立，

500x

因为0<xW400,

.2x10002x4001000...

.•苑+丁+12^-+旃+1-5.1,

所以a<5.1,

又a>0,所以0<aW5.1,

即a的取值范围为(051].

【解析】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值.

(1)根据题意，列出不等式10(1000-x)(l+0.2x%)210x1000,求解即可；

(2)求出x的范围，得出不等式10(a-盖)xW10(1000-x)(l+0.2x%),整理可得aW端+

臂+1恒成立，根据x的范围，可知在定义域内函数为减函数，当*=400时，函数取得最小值.

20.【答案】解:(l)a=—1时，log2(；+a)=1■即为log2(；-1)=1，解得x=g；

(2)a=5时，对数log?©+a)即为log2c+5),要使其有意义，则5+5>0,解得x>0或x<

则x的取值范围是(一8,-q)u(0,+oo)；

(3)方程即log2c+a)=log2[(a-4)x+2a-5],

即:+a=(a-4)x+2a—5>0,①

则(a-4)x2+(a-5)x-1=0,

即(x+l)[(a-4)x-l]=0,②，

当a=4时，方程②的解为x=-l,代入①，成立

当a=3时，方程②的解为x=—l,代入①，成立

当a中4且a*3时，方程②的解为x=-1或x=上，

a—4

若工=一1是方程①的解，则[+a=a—1>0,即Q>1,

x

若％=」7是方程①的解，贝d+Q=2a—4>0,即a>2,

Q—4X

则要使方程①有且仅有一个解，则l<aS2.

综上，若方程有且仅有一个解，则a的取值范围是l<a42,或a=3或a=4.

【解析】(1)把a=-l代入，根据对数