第22章 二次函数（单元测试）（解析版）

第22章《二次函数》考试时间:120分钟满分：120分一、单选题（每小题3分，共18分）1．（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y=2x-1 B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得答案．【详解】解：A、不是二次函数，故此选项不合题意；B、不是二次函数，故此选项不合题意；C、不是二次函数，故此选项不合题意；D、是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2．（2022秋·福建福州·九年级闽清天儒中学校考阶段练习）二次函数有最小值，则m等于（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．【详解】∵二次函数有最小值，∴，解得．故选A．3．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）下列关于抛物线的说法正确的是（）A．此抛物线的开口比抛物线的开口大B．当时，此抛物线的对称轴在y轴右侧C．此抛物线与x轴没有公共点D．对于任意的实数b，此抛物线与x轴总有两个交点【答案】D【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：二次项的系数互为相反数，所以抛物线与的开口方向相反，但开口大小相同，故A选项错误，不符合题意；当时，与二次项的系数的符号相同，则抛物线的对称轴位于y轴的左侧，故B选项错误，不符合题意；由于，所以该抛物线与x轴有两个公共点，故C选项错误，D选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．4．（2022秋·安徽蚌埠·九年级统考阶段练习）当时，和大致图像可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题可先由一次函数图像得到字母系数的正负，再与二次函数的图像相比较看是否一致．【详解】解：A.由一次函数的图像可知，则二次函数对称轴应为，该选项图像错误，不符合题意；B.由一次函数的图像可知，则二次函数对称轴，该选项图像错误，不符合题意；C.由一次函数的图像可知，而二次函数图像开口方向和对称轴位置均正确，符合题意；D.由一次函数的图像可知，而二次函数的图像开口向上，即，故图像错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图像，解题关键是由一次函数图像确定函数解析式各项系数的性质符号，由二次函数解析式各项系数的性质符号画出函数图像的大致形状．5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知点（﹣1，y1），（1，m），（2，y2），（3，n），（4，y3）在二次函数y＝x2+ax（a是常数）的图像上，若mn＜0，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出二次函数的对称轴，再通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．【详解】解：∵二次函数y＝x2+ax（a是常数），∴二次函数的开口向上，对称轴为直线x，图像经过原点，∵点（1，m），（3，n）在二次函数y＝x2+ax（a是常数）的图像上，mn＜0，∴m＜0，n＞0，∴，∵点（2，y2）到对称轴的距离最近，点（4，y3）到对称轴的距离最远，∴y2＜y1＜y3．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图像特征是解答本题的关键.6．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）已知，二次函数图像如图所示，则下列结论正确的是（

）①；②；③；④（其中，为任意实数）；⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】由图像可知，，，根据对称轴在抛物线的右侧可得,即可得；根据对称轴为得，即可得；当时，即当时，，即可得，即可判断；当时，y有最大值：，所以当时，，即，进行计算即可得；当时，，，即，即可得，综上，即可得．【详解】解：由图像可知，，，∵对称轴在抛物线的右侧，∴,即，故结论①正确；∵对称轴为，∴即，故结论②正确；∵当时，∴，∴当时，，即，故结论③正确；∵当时，y有最大值：，∴当时，，即，，故结论④正确；当时，，∴，即，∴，故结论⑤正确；综上，①②③④⑤正确，正确的个数为5个，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质．二、填空题（每小题3分，共18分）7．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）函数的开口方向是．【答案】向上【分析】根据a的符号判断抛物线的开口方向．【详解】解：∵，∴二次函数的图象开口方向向上．故答案为：向上．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握：当，抛物线开口方向向上，当，抛物线开口方向向下．8．（2021秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）抛物线的顶点坐标为．【答案】(1，-1）【分析】利用二次函数解析式中的顶点式，顶点坐标为（，）,即可得出．【详解】解：的顶点坐标为（，），故答案为：（，）【点睛】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握顶点式的特征是解题关键．9．（2022秋·广东广州·九年级校考期中）将抛物线向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为．【答案】【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．【详解】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线向右移1个单位，再向上移2个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．10．已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为．【答案】【分析】画出函数图像，结合函数图像可得的值．【详解】解：∵，∴顶点坐标为，如图：点关于轴的对称点为，∵成立的值恰好有三个，∴．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质．涉及顶点坐标，图像的对称变换等知识点。利用图像变换画出函数图像，数形结合解题是关键．11．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）若直线与函数的图象只有一个交点，则交点坐标为；若直线与函数的图象有四个公共点，则m的取值范围是．【答案】【分析】作出和的图象，根据图象性质即可求出．【详解】①作出和的图象，如图所示观察图形即可看出，当直线过（3，0）时，与函数的图象只有一个交点，所以答案为（3,0）；②联立，消去y后可得：，令，可得，，即m=时，直线y=x+m与函数的图象只有3个交点，当直线过点（-1，0）时，此时m=1，直线y=x+m与函数的图象只有3个交点，直线y=x+m与函数y=|2-2x-3的图象有四个公共点时，m的范围为：；故答案为：①；②．【点睛】本题考查一次函数与二次函数交点问题，正确作出函数图象，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．12．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x=-1，下列结论中:①abc>0；②3a+c>0；③；④当图象经过点(，2)时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1，x2（x1<x2），则x1+2x2=-，其中正确的结论是.（填写序号）【答案】②③④【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．【详解】由二次函数图象可知a>0，c<0，∵该二次函数对称轴为x=-1，∴，∴，∴abc<0，故①错误；由图象可知，当x=1时，y>0，即．∵，∴，∴，故②正确；将代入，得：，∵，c<0，∴，∴，故③正确；∵的两根为x1，x2（x1<x2）,∴二次函数与有两个交点，且交点横坐标分别为x1，x2．∵二次函数图象经过点(，2)，且该点在对称轴右侧，∴．∵二次函数的对称性，∴，∴，故④正确．综上可知正确的结论为②③④，故答案为：②③④．【点睛】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．三、解答题（每小题6分，共30分）13．（2022秋·广东河源·九年级校考开学考试）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．【答案】a＝﹣1【分析】由二次函数的定义可得a2﹣2a﹣1＝2，且a﹣3≠0，解得即可．【详解】解：∵y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，则a2﹣2a﹣1＝2，解得a＝3或a＝﹣1，又∵a﹣3≠0，∴a≠3，∴a＝﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．14．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）已知抛物线的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），求此二次函数的解析式．【答案】【分析】设抛物线的顶点式，将顶点P（﹣2，3）及点A（﹣3，0）代入即可解答．【详解】解：设二次函数解析式为：，∵顶点坐标为P（﹣2，3），∴，将点A（﹣3，0）代入得，解得：，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题目给出的条件，正确设出二次函数解析式是解题的关键．15．已知：二次函数的图象经过点．(1)求b；(2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式．【答案】(1)2(2)【分析】（1）把点代入函数解析式即可求；（2）利用配方法化成顶点式即可．【详解】（1）解：把点代入得，，解得，．（2）解：，，，．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和配方法，解题关键是熟练掌握待定系数法和配方法，准确进行计算．16．（2023·四川泸州·统考一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)求的面积．【答案】(1)(2)24【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可求解；（2）先求得抛物线与y轴、x轴交点坐标，再由三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：∵∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：令，则，∴，∴，令，则，解得：，，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握将抛物线解析式化成顶点式和求抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．17．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）已知二次函数与x轴有两个交点．(1)求实数k的取值范围．(2)若此二次函数有最小值，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点，求出△的取值范围，即可求出k的取值范围．（2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解．【详解】（1）解：∵二次函数与x轴有两个交点，∴，即，解得．（2）解：，整理得：，∵，∴时，y有最小值，∵此二次函数有最小值，∴，解得．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．四、解答题（每小题8分，共24分）18．（2021秋·吉林·九年级长春市第八十七中学校考阶段练习）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，函数值y与自变量x之间的部分对应值如表：x……﹣4﹣101……y……﹣21﹣2﹣7……（1）求二次函数的解析式；（2）当﹣5＜x＜2时，求函数值y的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可；（2）将二次函数解析式化为顶点式，进而求得最大值，再根据对称性可知当时，当﹣5＜x＜2时，求得函数取的最小值，即可求得函数值的取值范围．【详解】（1）将代入，得解得二次函数的解析式为（2），当时，取得最大值当时，，当时，，当﹣5＜x＜2时，的取值范围为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据自变量的范围求二次函数的取值范围，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．19．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）抛物线经过A（－1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标及对称轴；【答案】(1)(2)顶点坐标为，对称轴为直线．【分析】（1）把A、C的坐标代入，即可求出a、b的值，即可求出答案；（2）将函数化为顶点式，即可得到顶点坐标和对称轴．（1）解：把点A（−1，0）、C（0，4）代入，得：，解得：a＝−1，b＝3，二次函数的解析式为；（2），所以顶点坐标为，对称轴为直线．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称轴与顶点坐标，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．20．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k中，当x＝1时有最大值3，且与y轴相交于点（0，1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出这条抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式，并指出它的最大（小）值是多少？【答案】（1）y＝﹣2（x﹣1）2+3；（2）y＝2（x﹣1）2﹣3，当x＝1时，有最小值﹣3．【分析】（1）根据最值确定出顶点坐标，从而得到h、k的值，再将点（0，1）代入求出a的值，即可得解；（2）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出对称后的抛物线的顶点坐标，再根据对称变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小利用顶点式解析式写出即可，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】（1）∵当x＝1时有最大值3，∴抛物线为y＝a（x﹣1）2+3，将（0，1）代入得，a（0﹣1）2+3＝1，解得a＝﹣2，所以，这条抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+3；（2）抛物线关于x轴对称的顶点坐标为（1，﹣3），所以，抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣3，当x＝1时，有最小值﹣3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减．此类题目，利用顶点的变化求解更简便．五、解答题（每小题9分，共18分）21．（2020·辽宁铁岭·统考模拟预测）某经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供资源，待货物出售后再进行结算，未出售的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每降低10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用元．当每吨售价为元时，月销售量为吨，求出与之间的函数解析式；在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为元；若在规定每吨售价不得超过元的情况下，当每吨售价定为多少元时，经销店的月利润最大．【答案】（1）；（2）每吨材料售价为元；（3）当每吨售价定为元时，经销店的月利润最大【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，现在售价为元，下降，销量增加，即可求出关系式．（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元做为等量关系可列出方程求解．（3）设销售额w元，求出销售额w与售价的函数关系式，当月利润最大，x为210元，此时每吨售价不得超过元，月销售额w最大，即可得出答案．【详解】当售价定为每吨元时，月销量由题意化简得解得因为要遵循“薄利多销”的原则，所以答：每吨材料售价为元；设当每吨原料售价为元时，月利润为元开口向下，有最大值当时，的值最大，每吨售价定为元符合要求答：当每吨售价定为元时，经销店的月利润最大．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的解得等知识，考查学生理解题意能力，学会关键二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．22．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考阶段练习）如图，抛物线（a为常数）与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，直线AB的函数表达式为（k为常数）．(1)求a的值；(2)求直线AB的函数表达式；(3)根据图象写出当时x的取值范围．【答案】(1)a=1；(2)y=x-3；(3)x≤0或x≥3【分析】（1）直线AB的函数表达式为，故点B（0，-3），抛物线，故点B（0，-3），故-3a=-3，即可求解；（2）由抛物线的表达式求出A（3，0），将点A的坐标代入直线AB的表达式，即可求解；（3）观察图象即可求解．【详解】（1）直线AB的函数表达式为，令x=0，则y=-3，故点B（0，-3），∵抛物线，且点B（0，-3），故-3a=-3，解得：a=1；（2）∵a=1，故抛物线的表达式为：，令y=0，则x=-1或3，故点A（3，0），将点A（3，0）代入直线AB的表达式，解得：k=1，故直线AB的表达式为：y=x-3；（3）从图象看，x≤0或x≥3时，．【点睛】本题考查的