空间曲线生成的三维空间型曲线和曲面的数字分类英文

空间曲线生成的三维空间型曲线和曲面的数字分类英文

1frene-srat型的定义j.w.alice等人通过建立空间曲线的高度函数和距离空间曲线的函数来研究三维宇宙空间的曲线以及景观平面的要点分类。在这项工作中，我们定义了三维空间模型的概念，比如高度和距离的六个边界值，并使用了欧空间模型的近似球和近非洲的近球，以研究三维宇宙模型的空间曲线生成的点分类。其中，最重要对应于kks0）=0，即kks0）=0的情况，以及稀疏光锥（kk）=0的情况。在文献中讨论了洛伦西亚几何的基本概念。三维向量空间的任意两个向量x=(x1,x2,x3)和y=(y1,y2,y3)的伪数量积定义为〈x,y〉=-x1y1+x2y2+x3y3,并且向量x和y的伪向量积定义为x∧y=(-(x2y3-x2y3-x3y2),x3y1-x1y3,x1y2-x2y1).我们称(R3,〈,〉)为三维伪欧氏空间或三维Minkowski空间,简记为R31.如果R31中的非零向量x满足〈x,x〉>0,〈x,x〉=0,或〈x,x〉<0,则x分别被称为空间型、光型或时间型向量.向量模长定义为∥x∥=√sgn(x)〈x,x〉.这里向量x是空间型、光型或时间型向量时,它的符号函数sgn(x)的值分别取1,0或-1.设γ:I→R31是正则光滑曲线,(即对任意的t∈I,γ(t)=dγ/dt(t)≠0,其中I是开区间.如果对任意的t∈I,˙γ(t)是空间型向量,则曲线γ被称为空间曲线.空间型曲线γ的弧长由s(t)=∫tt0‖˙γ‖dt给出.如无特别说明,本文中处理的曲线都是以弧长为参数的曲线,即满足‖γ′(s)‖=‖dγ/ds(s)‖=1的曲线,它的单位切向量γ′(s)用t(s)表示,并且曲线γ在点s的曲率定义为k(s)=√sgn(γ″(s))〈γ″(s),γ″(s)〉.如果k(s)≠0,则曲线γ在点s处的单位主法向量n(s)和单位副向量b(s)分别由γ″(s)=k(s)·n(s)和b(s)=t(s)∧n(s)给出.于是〈b(s),t(s)〉=〈b(s),n(s)〉=〈t(s),n(s)〉=0,此时我们称三个向量t(s),n(s)和b(s)互为伪垂直.设γ:I→R31是空间型曲线,则t(s)是空间型向量,从而〈t(s),t(s)〉=sgn(γ′(s))=1,并且〈n(s),n(s)〉·〈b(s),b(s)〉=-1.如果k(s)≠0,并且〈n(s),n(s)〉=sgn(n(s))=δ(s),则通过计算可获得如下Frene-Serret型的公式:{t′(s)=k(s)⋅n(s),n′(s)=-δ(s)k(s)⋅t(s)+τ(s)⋅b(s),b′(s)=τ(s)⋅n(s).其中τ(s)是空间型曲线γ在点s处的挠率.现定义曲面H21(r)p={x∈R31|〈x-p,x-p〉=-r2,p∈R31}和曲面S21(r)p={x∈R31|〈x-p,x-p〉-r2,p∈R31},其中r是非零实数.我们把S21(r):=S21(r)p-{p}和H21(r):=H21(r)p-{p}分别称为以p为中心,半径为r的双曲面和伪球.并分别用H21和S21来简记H21(1)0和S21(1)0.设γ:I→R31是具有k(s)≠0的空间型曲线.如果δ(s)=-1,则我们定义曲线BNsγ:I→S21;如果δ(s)=1,则我们定义曲线BNsγ:I→H21;BNsγ(s)=b(s)和一个曲面Esγ:I×R→R31;Esγ(s,u)=γ(s)+1δ(s)k(s)n(s)+ub(s).我们把BNΤγ和EΤγ分别称作空间型曲线的副法线标型和可异展焦曲面.下面我们考虑空间型曲线γ的如下条件:(A)γ(S1)与伪球在点P至少有5点切触,这样的点P的个数有限;(B)γ(S1)与伪球不存在6点切触;(C)γ(S1)与双曲面在点P至少有5点切触,这样的点P的个数有限;(D)γ(S1)与双曲面不存在6点切触;(E)γ(S1)与密切平面在点P至少有4点切触,这样的点P的个数有限;(F)γ(S1)与密切平面不存在5点切触.注:后面我们将证明在k(s0)≠0,τ(s0)≠0和δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0的条件下存在惟一的伪球与空间型曲线γ在s=s0处有4点切触.我们称此伪球为密切伪球.在k(s0)≠0,τ(s0)≠0和δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0的条件下,我们同样将证明存在惟一的双曲面与空间型曲线γ在s=s0处有4点切触.我们称此双曲面为密切双曲面.密切伪球和密切双曲面在s=s0处的中心皆为v=(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0).本文的主要结果如下:定理A(1)设I+(S1,R31)是满足k(s)≠0和δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0的所有空间型曲线γ:S1→R31构成的空间,并且I+(S1,R31)中我们考虑WhitneyC∞拓扑,则满足条件(A)和(B)的空间型曲线的集合是I+(S1,R31)中的剩余类集合.(2)设I-(S1,R31)是满足k(s)≠0和δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0的所有空间型曲线γ:S1→R31构成的空间,并且I-(S1,R31)中我们考虑WhitneyC∞拓扑,则满足条件(C)和(D)的空间型曲线的集合是I-(S1,R31)中的剩余类集合.(3)设I(S1,R31)是满足k(s)≠0的所有空间型曲线γ:S1→R31构成的空间,I(S1,R31)中我们考虑WhitneyC∞拓扑,则满足条件(E)和(F)的空间型曲线的集合是I(S1,R31)中剩余类集合.定理B(1)设γ:S1→R31是具有k(s)≠0的空间型曲线.在条件(A)和(B)(或(C)和(D))之下,如果点P是γ在s=s0处的可展焦曲面上的点,则在点P处γ的可展焦曲面Esγ局部上:(ⅰ)如果τ(s0)≠0,同平面微分同胚;(ⅱ)如果τ(s0)≠0,k′(s0)≠0和u0=-k′k2τb(s0),在点(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0)处同尖点型曲面C×R微分同胚.并且在δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0的条件下伪密切球的中心(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0)的轨迹构成尖点型曲面,在δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0的条件下密切双曲面的中心(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0)的轨迹同样构成尖点型曲面;(ⅲ)如果τ(s0)≠0,k′(s0)≠0,并且(kk′τ′-kk″τ+k2τ3+2k′2τ)(s0)=0,在点(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0)处同燕尾型曲面SW微分同胚.(2)设γ:S1→R31是曲率k(s)≠0的空间型曲线.在条件(E)和(F)之下,如果点P是γ在s=s0处的副法线标型BNsγ上的点,则在点P处γ的副法线标型局部上:(ⅰ)如果τ(s0)≠0,同直线微分同胚;(ⅱ)如果τ(s0)=0,τ′(s0)同尖点型曲线C微分同胚,其中,C={(x1,x2)|x21=x32},SW={(x1,x2,x3)|x1=3u4+u2v,x2=4u3+2uv,x3=v}.2洛伦兹变换函数在空间曲线中我们引入空间型曲线上的两种函数族,以便研究空间型曲线的洛仑兹不变量.2.1曲线拟合命题2.1设S21={x∈R31|〈x,x〉}和γ:I→R31分别是R31的伪球和空间型曲线,现在我们定义新的函数H:I×S21→R;H(s,v)→〈γ(s),v〉,并称H为洛仑兹空间型高度函数.如果对于任意固定的v0∈S21,令h(s)=Hv0(s)=H(s,v0),则通过直接计算可获得如下命题.命题2.1设γ:I→R31是曲率k(s)≠0的单位速度(即以弧长为参数的曲线)空间型曲线,如果v∈S21(或v∈H21),那么:(1)h′(s0)=0的充分必要条件是存在λ,μ∈R使得v=λn(s0)+μb(s0),并且δ(s0)(λ2-μ2)=1(或δ(s0)(λ2-μ2)=-1);(2)h′(s0)=h″(s0)=0的充分必要条件是v=±b(s0);(3)h′(s0)=h″(s0)=h(3)(s0)=0的充分必要条件是v=±b(s0),并且τ(s0)=0;(4)h′(s0)=h″(s0)=h(3)(s0)=h(4)(s0)=0的充分必要条件是v=±b(s0),并且τ(s0)=τ′(s0)=0.2.2空间型曲线的可展焦曲面和副法线标型的几何性质设γ:I→R31空间型曲线,定义新的函数G:I×R31→R;G(s,v)→〈γ(s)-v,γ(s)-v〉,并称G为洛仑兹空间型距离平方函数.如果对于任意固定的v0∈R31,令g(s)=Gv0(s)=G(s,v0),则通过计算可获得下面的命题.命题2.2设γ:I→R31是曲率k(s)和挠率τ(s)都不为零的单位速度空间型曲线,那么:(1)g′(s0)的充分必要条件是存在λ,μ∈R使得γ(s0)-v0=λn(s0)+μb(s0);(2)g′(s0)=g″(s0)=0的充分必要条件是存在μ∈R使得v0=(γ+1δkn-μb)(s0);(3)g′(s0)=g″(s0)=g(3)(s0)=0的充分必要条件是v0=(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0);(4)g′(s0)=g″(s0)=g(3)(s0)=g(4)(s0)=0的充分必要条件是v0=(γ+1δkn+kδk2τb)(s0),并且(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s0)=0;(5)g′(s0)=g″(s0)=g(3)(s0)=g(4)(s0)=g(5)(s0)=0的充分必要条件是(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s0)=(kk″τ-k2τ3+2k′2τ)′(s0)=0,并且v0=(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0).下面我们研究空间型曲线的可展焦曲面和副法线标型的几何性质.根据上面的命题我们能够确认函数τ(s)和(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s)具有特殊的意义.命题2.3(1)设γ:I→R31是曲率k(s)不为零的单位速度空间型曲线,那么τ(s)≡0的充分必要条件是v(s)=b(s)是常向量;(2)设γ:I→R31是满足k(s)≠0,k′(s)≠0和τ(s)≠0的单位速度空间型曲线,那么,(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ(s)=0的充分必要条件是v=(γ+1δkn+k′δk2τb)(s)是常向量.证明结论(1)是显然的.只需证明结论(2),令V(s)=(γ+1δkn+k′δk2τb)(s),则有V′(s)=(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s)δk3(s)τ2(s)b(s).因此v′=V′(s)≡0的充分必要条件是(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s)≡0.设γ:I→R31是满足k(s)≠0,k′(s)≠0和δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)≠0的单位速度空间型曲线,G:I×R31→R;G(s,v)→〈γ(s)-v,γ(s)-v〉是洛仑兹空间型距离平方函数.则在点s=s0处g′(s0)=g″(s0)=g(3)(s0)=0条件之下,如果δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0,则由命题2.2〈γ(s0)-v,γ(s0)-v〉=[δ(k2τ2-k′2)k4τ2](s0)＞0;如果δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0,则〈γ(s0)-v,γ(s0)-v〉=[δ(k2τ2-k′2)k4τ2](s0)＜0.对于δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)=0,即(kτ±k′)(s0)=0的情况我们已在文献中讨论.推论2.1(1)设γ:I→R31是曲率k(s)不为零的单位速度空间型曲线,那么τ(s)≡0的充分必要条件是γ的副法线标型是常值映射;(2)设γ:I→R31是满足k(s)≠0,k′(s)≠0和τ(s)≠0的单位速度空间型曲线,如果δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0,那么可展焦曲面的奇点集合是γ的密切伪球中心的轨迹;如果δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0,那么可展焦曲面的奇点集合是γ的密切双曲面中心的轨迹.其中心皆由v=(γ+1δkn+k′δk2τb)(s)给出.此时若(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s)≡0,那么v(s)是定点.当δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0时,曲线γ(s)恰好是以v(s)为中心,半径r=√-δ(k2τ2-k′2)k4τ2(s)的伪球面上的曲线;当δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0时,曲线γ(s)恰好是以v(s)为中心,半径r=√-δ(k2τ2-k′2)k4τ2(s)的双曲面上的曲线.设F:R31→R是浸没,并且γ:I→R31是空间型曲线.如果函数g(t)=F。γ(t)满足g(t0)=g′(t0)=…=g(t-1)(t0)=0,并且g(k)(t0)≠0,则称γ和F-1(0)在点t=t0处有k点切触.根据命题2.1—2.3,下面命题成立.命题2.4(1)设γ:I→R31是曲率k(s)不为零的单位速度空间型曲线,如果τ(s)≡0,那么γ(s)的副法线b(s)和γ(s)的密切平面在点s=s0(s)处有3点切触的充分必要条件是τ′(s)≠0;(2)设γ:I→R31是满足k(s)≠0,k′(s)≠0和τ(s)≠0的单位速度空间型曲线,那么曲线γ(s)和密切伪球在点s=s0处有4点切触的充分必要条件是δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0,(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s)=0和(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)′(s)≠0.并且,γ(s)和密切双曲面在点s=s0处有4点切触的充分必要条件是δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0,(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s)≠0和(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)′(s)≠0.3洛仑兹空间型高度函数s11r13设F:(R×Rr,(s0,x0))→R是函数芽.如果f(s)=Fx0(s,x0),则称F是f的r参数开折.如果在点s=s0处,对所有的正整数p∈[1,k]有f(p)(s0)=0,则称f具有A≥k型奇点,如果对所有的正整数p∈[1,k]有f(p)(s0)和f(k+1)(s0)≠0,则称f具有Ak型奇点.我们用j(k-1)∂F∂xi(s,x0)(s0)=k-1∑j=1αijsj表示偏导数∂F∂xi(i=1,⋯,r)的(k-1)阶导网,如果由系数构成的(k-1)×r阶矩阵(αij)的秩为k-1((k-1)≤r),则称F是f的(p)通用开折.对于开F存在一个重要的集合,即F分支集BF={x∈Rr|∃s∈∂F∂s=∂2F∂s2=0在(s,x)}.关于分支集有下面定理.命题3.1设F:(R×Rr,(s0,x0))→R是在点s=s0处具有Ak型奇点的f的r参数(p)通用开折,那么:(1)如果k=2,则BF与{0}×Rr-1局部微分同胚;(2)如果k=3,则BF与C×Rr-2局部微分同胚;(3)如果k=4,则BF与SW×Rr-3局部微分同胚;为证明定理B我们先证明下面定理.定理3.1设γ:I→R31是k(s)≠0的单位速度空间型曲线,Hs:I×S21→R(或Ht:I×H21→R是γ的洛仑兹空间型高度函数,并且G:I×R31→R是洛仑兹空间型距离平方函数.(1)如果hs(s)=Hsv0(s)在点s0处有Ak型奇点(k=2,3),则Hs是hs的(p)通用开折.(2)如果ht(s)=Htv0(s)在点s0处有Ak型奇点(k=2,3),则Ht是ht的(p)通用开折.(3)如果g(s)=Gv0(s)在点s0处有Ak型奇点(k=2,3,4),则G是g的(p)通用开折.证明(1)令γ(s)=(x1(s),x2(s),x3(s))是k(s)≠0的单位速度空间型曲线,并且v=(v1,v2,v3)∈S21,则Ηs(s,v)=-v1x1+v2x2(s)+v3x3(s)=-v1x1(s)±√1+v21-v23x2(s)+v3x3(s),于是∂Ηs∂v1(s,v)=-x1(s)±v1x2(s)√1+v21-v23=-x1(s)+v1v2x2(s)(因为v是空间型向量,所以v2和v3不同时为零,这里不妨设v2≠0),同理∂Ηs∂v3(s,v)=-v1v2x2(s)+x3(s).故它们在s0处的相应的2阶导网,分别是-(sx′1(s0)+12s2x″1(s0))+v1v2(sx′2(s0)+12s2x″2(s0))和(sx′3(s0)+12s2x″3(s0))-v1v2(sx′2(s0)+12s2x″2(s0)).(ⅰ)根据命题2.1,hs(s)=Hsv0(s)在点s0处有A2型奇点,当且仅当v(s0)=±b(s0)和τ(s0)≠0.hs(s)在点s0处有A2型奇点,只须1×2阶矩阵(-x′1(s)+v1v2x′2(s)‚x′3(s)-v3v2x′2(s))的秩为1‚这个结论直接来自(ⅱ)的证明.(ⅱ)根据命题2.1,hs(s)在点s0处有A3型奇点,当且仅当v(s0)=±b(s0),τ(s0)=0和τ′(s0)≠0.hs(s)在点s0处有A3型奇点,只须2×2阶矩阵[-x′1(s0)+v1v2x′2(s0)x′3(s0)-v3v2x′2(s0)-12x″1(s0)+v12v2x″2(s0)12x″3(s0)-v32v2x″2(s0)]是非退化的.事实上,因为v(s0)=±b(s0)=±t(s0)∧n(s0)=±1k(s0)(γ′(s0)∧γ″(s0))=(v1,v2,v3)∈S21,所以{v1(s0)=±1k(-x′2x″3+x′3x″2)(s0)‚v2(s0)=±1k(x′3x″1-x′1x″3)(s0),v3(s0)=±1k(x′1x″2-x′2x″1)(s0).又因为k(s0),v2≠0,所以上面矩阵行列式的值为12{(x′3x″1-x′1x″3)+v3v2(x′1x″2-x′2x″1)-v1v2(-x′2x″3+x′3x″2)}(s0)=±k2(v2+v23v2-v21v2)=±k2v2≠0.从而,当hs(s)=Hsv0(s)在点s0处有Ak型奇点(k=2,3)时,Hs是hs的(p)通用开折.(2)在这种情况下,如果v=(v1,v2,v3)∈H21,则Ηt(s,v)=-v1x1(s)+v2x2(s)+v3x3(s)=±√1+v22-v23x1(s)+v2x2(s)+v3x3(s),于是∂Ηt∂v2(s,v)=x2(s)±v2x1(s)√1+v22+v23=-v2v1x1(s)+x2(s)(因为v是时间型向量,所以v1≠0),同理∂Ηt∂v3(s,v)=-v3v1x1(s)+x3(s).故它们在点s0处相应的2阶导网分别是(sx′2(s0)+12s2x″2(s0))-v2v1(sx′1(s0)v2(s0)+12s2x″1(s0))和(sx′3(s0)+12s2x″3(s0))-v3v1(sx′1(s0)+12s2x″1(s0)).(ⅰ)根据命题2.1,ht(s)=Htv0(s)在点s0处有A2型奇点,当且仅当v(s0)±b(s0)和τ(s0)≠0.ht(s)在点s0处有A2型奇点,只须1×2阶矩阵(-v2v1x′1(s0)+x′2(s0)‚-v3v1x′1(s0)+x′3(s0))的秩为1‚这个结论直接来自(ⅱ)的证明.(ⅱ)根据命题2.1,ht(s)在点s0处有A3型奇点,当且仅当v(s0)=±b(s0),τ(s0)=0和τ′(s0)≠0.ht(s)在点s0处有A3型奇点,只须2×2阶矩阵[-v2v1x′1(s0)+x′2(s0)-v3v1x′1(s0)+x′3(s0)-v22v1x″1(s0)+12x″2(s0)-v32v1x″1(s0)12x″3(s0)]是非退化的.事实上,类似于(1)的讨论,因为k(s0)≠0,v1≠0,所以此矩阵行列式的值12[(v2v1(x′3x′1-x′1x″3)+v3v1(x′1x″2-x′2x″1)-(-x′2x″3+x′3x″2)](s0)=±k2[v22v1+v23v1-v1]=±k2v1≠0.从而,当ht(s)=Htv0(s)在点s0处有Ak型奇点(k=2,3)时,Ht是ht的(p)通用开折.(3)令γ(s)=(x1(s),x2(s),x3(s))是k(s)≠0的单位速度空间型曲线,并且v=(v1,v2,v3)∈R31,则G(s,v)=-(x1(s)-v1)2+(x2(s)-v2)2+(x3(s)-v3)2.于是∂G∂v1(s,v)=2(x1(s)-v