工程力学学习资料 19动量定理

第19章

动量定理动力学研究模型：所研究的力学模型是质点和质点系。质点的运动微分方程矢量形式的质点运动微分方程质点运动微分方程在直角坐标轴上投影

质点运动微分方程在自然轴上投影

用质点运动微分方程解决质点系动力学问题在数学上会遇到很大困难。在许多工程问题中并不需要求出每个质点的运动规律，而是只需知道质点系整体的特征就够了。质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。

动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理。这些定理建立了表现运动特征的量（动量、动量矩、动能）和表现力作用效果的量（冲量、力矩、功）之间的关系。第19章

动量定理为什么射击时有后坐力？

几个有意义的实际问题

几个有意义的实际问题

台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，会发生什么现象？§19－1动量与冲量一、动量1、质点的动量

质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，记为

。动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为kg•m/s。2、质点系的动量

质点系中各质点动量的矢量和

质点系质心C的矢径质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。m

C

已知:圆盘质量为m,半径为r,图示瞬时三种情况下圆盘的，求各自的动量。

C

CvC二、冲量作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为N•s常力的冲量变力的冲量

而力在作用时间内的冲量是矢量积分元冲量一、质点的动量定理质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。微分形式§19-2动量定理在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。积分形式二、质点系的动量定理

设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的动量为mivi，作用在该质点上的外力内力为，由质点的动量定理有将n个方程相加，即得改变求和与求微分次序，则得由于内力成对出现，故所有内力的矢量和恒等于零质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。微分形式质点系动量定理的微分投影形式质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和。质点系动量定理的积分形式在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。质点系动量定理的积分投影形式若

如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，px＝恒量三.质点系动量守恒定律质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。质点系的动量保持不变。

几个有意义的实际问题

台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，会发生什么现象若

px＝p0x

＝恒量为什么射击时有后坐力？

几个有意义的实际问题

例

图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的约束力。

解：以整个系统为研究对象,受力如图系统的动量在坐标轴上的投影为由质点系的动量定理得:设A下降的速度为vA，B上升的速度为vB则由运动学关系得

例

如图所示，质量为mA的均质三棱柱A在重力作用下沿着质量为mB的大均质三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱倾角为q。设各处摩擦不计，初始时系统静止。求：(1)B的加速度；(2)地面的支反力。解：对系统进行运动分析，受力如图系统因SX(e)＝0，水平方向动量守恒，且初始系统静止。设B的速度为vB，A相对B的速度为vr两边对t求导再以A为研究对象，受力如图

联立求解(1)、(2)、(3)式得以整体为研究对象，由动量定理得§19-3质心运动定理一、质量中心二.质心运动定理对于质量不变的质点系，上式可改写为质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和(外力的主矢)。

形式上，质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似，因此质心运动定理也可叙述如下：质点系质心的运动，可以看成一个质点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。由质心运动定理可知，质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。

质心运动定理直角坐标投影式自然轴上的投影式

如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；若系统开始静止，则质心位置始终保持不变。以上结论，称为质心运动守恒定律。三.质心运动守恒定律如果作用于质点系的所有外力在某轴上的投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。

例

如图所示，电动机外壳固定在水平基础上，定子、转子的质量分别为m1、m2。设定子质心位于转轴中心O1，转子质心O2到O1的距离为e，已知转子以匀角速度w转动。求：(1)质心运动方程；(2)基础对电机总的水平和铅垂约束反力.

解：(1)建立如图坐标，任一瞬时，q＝wt，即有故质心坐标为

(2)以系统为研究对象,受力如图由质心运动定理故得

例

质量为M的大三角块放在光滑水平面上，其斜面上放一和它相似的小三角块，其质量为m。已知大、小三角块的水平边长各为a与b