湖南省长沙市名校2024届高三上学期8月第一次质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省长沙市名校2024届高三上学期8月第一次质量检测数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，则.故选：C.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，所以，故选:3.已知，是非零实数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为，都是非零实数，由可得，所以成立，反之也成立.所以“”是“”的充分必要条件，故选：A.4.某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计：年份20182019202020212022年份代码12345年人均借阅量（册）162228（参考数据：）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量关于年份代码的回归分析模型为，则2023年的年人均借阅量约为（）A.31 B.32 C.33 D.34〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，即.所以回归方程为，当时，.故选：C.5.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则直线与间的距离最小值为（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗由抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点，设直线的方程为，将直线的方程代入中，得，所以，，直线与间的距离，当时，取最小值4，故选：B.6.某校4名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数不相等的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗记“两项竞赛参加人数不相等”为事件，则，故选：D.7.在矩形中，，，现将沿折起成，折起过程中，当时，四面体体积为（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可知,，又平面，故平面，又平面，所以，即此时为直角三角形，因为，，所以，又，平面，所以平面，所以四面体的体积为.故选：B.8.在三角形中，，，，在上的投影向量为，则（）A.-12 B.-6 C.12 D.18〖答案〗A〖解析〗由题意，，为中点，由在上的投影向量为，即，又，所以，所以.故选：A.二、选择题9.已知函数的图象关于点对称，则下列结论正确的是（）A.B.的最大值为2C.函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为D.在上单调递减〖答案〗BC〖解析〗因为函数的图象关于点对称，则点在函数的图象上，所以，解得，故A错误；由，得最大值为2，故B正确；因为的最小正周期为，所以函数的图象相邻两条对称轴的距离为，故C正确；当时，，所以在上是单调递增，故D错误.故选：BC.10.(多选)已知点，是双曲线：的左、右焦点，是双曲线位于第一象限内一点，若，，则下列结论正确的是（）A.的面积为B.双曲线离心率为C.双曲线的渐近线方程为D.若双曲线的焦距为，则双曲线的方程为〖答案〗BD〖解析〗对于选项A：由定义可得，因为，所以，，由已知，所以的面积为，故A错误；对于选项B：由勾股定理得，即，所以，故B正确；对于选项C：因为，所以，即，所以双曲线的渐近线方程为：，故C错误；对于选项D：由双曲线的焦距为得，从而，，所以双曲线的方程为，故D正确.故选：BD.11.若数列中任意连续三项，，，均满足，则称数列为跳跃数列.则下列结论正确的是（）A.等比数列：1，，，，，…是跳跃数列B.数列的通项公式为，数列是跳跃数列C.等差数列不可能是跳跃数列D.等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A，由跳跃数列定义知，等比数列：1，，，，，…是跳跃数列，故A正确；对于选项B，数列的前三项为，，，不符合跳跃数列的定义，故B错误；对于选项C，当等差数列公差时，它是单调递增数列；公差时，它是单调递减数列；公差时，它是常数列，所以等差数列不可能是跳跃数列，故C正确；对于选项D，等比数列是跳跃数列，则，整理得，即，若比数列的公比，则，可得，所以等比数列是跳跃数列，故D正确.故选：ACD.12.已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（）A.函数是奇函数B.函数的图象关于轴对称C.函数是最小正周期为2的周期函数D若函数满足，则〖答案〗ABD〖解析〗因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确；因为，所以，又，所以，所以，所以，所以为偶函数.故B正确；因为，所以是最小正周期为4的周期函数，故C错误；因为，所以，那么，所以也是周期为4的函数，，因为，所以，，所以，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题13.已知，则________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：14.已知圆：，过动点作圆切线（为切点），使得，则动点的轨迹方程为________.〖答案〗〖解析〗设，由得，则，即.故〖答案〗为：15.如图，圆柱的底面半径和母线长均为3，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面的一个动点，且，则四面体的外接球的体积为________.〖答案〗〖解析〗因为是上底面的一个动点，且，所以点的轨迹是上底面上以为圆心，为半径的圆，在中，，，，∴，∴为直角三角形，其外心为与的交点，且，，而，所以，所以为四面体的外接球的球心，球半径为，所以球的体积故〖答案〗为：16.已知是函数的两个不同极值点，若，则实数的值为________.〖答案〗〖解析〗依题意知，，，是函数的两个不同极值点，所以，，即有两个不同实根，等价于有两个根，令，则，令，解得，所以时，，单调递增，时，，单调递减，所以时，取得最大值，，又趋向于正无穷大时，趋向于0，所以且.若，即，由解得：，或，（舍去），所以.故〖答案〗为：.四、解答题17.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知.（1）求角的值；（2）若的面积为，为的中点，求的最小值.解：（1）由及正弦定理可得：，则，因为，则，所以，，可得，故.（2）由于的面积为，所以，，解得在中，由余弦定理得：，故，当且仅当，即，时，的最小值为.18.在直三棱柱中，，，，延长至，使，连接，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，又由延长至，使，连接，可知在平面内，所以因为，，所以，，又由，所以，所以，即，又，所以平面，因在平面内，所以平面平面；（2）解：法一：由（1）可知，取中点，连接、，所以，因为平面，易得，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，，所以，所以，故二面角的余弦值为.法二：由已知可知，，，所以以点为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），由，，则，，，因为平面，所以平面的法向量为，由，，设平面的法向量为，则，，令，得，所以，所以二面角的余弦值为.19.已知数列的前项和为，且满足，，数列满足.（1）证明：是等比数列；（2）设，数列的前项和为，证明：.证明：（1）由题设，得，即，所以，又，所以，而，故是首项与公比都为2的等比数列.（2）由（1），得，当时，，显然满足上式，所以，则，所以，故.20.2023年游泳世锦赛于7月14日—30日在日本福冈进行，甲、乙两名10米跳台双人赛的选手，在备战世锦赛时挑战某高难度动作，每轮均挑战3次，每次挑战的结果只有成功和失败两种.（1）甲在每次挑战中，成功的概率都为.设甲在3次挑战中成功的次数为，求随机变量的分布列和数学期望；（2）乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，由于教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，改变规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.15.求乙在第三次成功的概率.解：（1）由题意得，则，其中，则的分布列为：0123则.（2）设事件为“乙在第次挑战成功”，其中.所以；；；；故.即乙在第三次成功的概率为0.85875.21.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，，椭圆的离心率为，直线过点交椭圆于不同的两点，.（1）求椭圆的方程：（2）若三角形的面积为，求直线的方程.解：（1）设椭圆的半焦距为，由已知有，解得故椭圆的方程为.（2）设，，直线的方程为，，联立消去，整理得，则，，且，即或.所以的面积为，令，得，解得或，从而或.故直线的方程为，或，即，或.22.证明下面两题：（1）证明：当时，；（2）当时，证明函数有2个不同零点.证明：（1）令，其中，则，令，