河南省周口市项城市2024届高三5校青桐鸣大联考9月数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省周口市项城市2024届高三5校青桐鸣大联考9月数学试题一､选择题1.已知，复数，是实数，则（）A.5 B.10 C. D.〖答案〗C〖解析〗，故，解得，故.故选：C2.已知全集，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故.故选：B.3.函数的大致图象是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由且定义域，即是偶函数，排除D；当时，，即，此时，排除C；当趋向时，、均趋向，但随变大，的增速比快，所以趋向于，排除B.故选：A.4.已知，是函数图象上两条相邻的对称轴，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得：，故，则当时，，又，故故选：A.5.已知函数，则（）A.是偶函数 B.是奇函数C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点成中心对称〖答案〗D〖解析〗对AB，由，易知选项A，B不正确；对C，易得，，故，故选项C不正确；对D，，故，故的图象关于点中心对称.故选：D.6.毕业典礼上，某班有六人站一排照相，要求，两人均不在排头，且两人不相邻，则不同的排法种数为（）A.160 B.288 C.336 D.480〖答案〗C〖解析〗按插空法，，不相邻的排法种数为，而其中或在排头的排法种数为,故不同的排法种数为.故选:C.7.已知抛物线的焦点为，点，过的直线垂直于，且交抛物线于两点，则（）A.3 B.2 C.1 D.0〖答案〗D〖解析〗（方法1）易知焦点，故，则，故直线的方程为，代入得，，设，，则，，.（方法2）设点，在准线上的射影分别为点，，如图，易知，，，则，则，同理，则，又，由此可得，故.故选：D.8.在正四棱锥中，分别为的中点，直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗连接，，如图，设，由，得即为与所成的角，在中，易知，，解得.设，在中，①，因为，故，则在中，，即②，①②两式相加求得，因为，解得.因为为的中点，故，因为，，所以三角形为等腰直角三角形，则在等腰直角三角形中，易求得到的距离即到底面的距离为，故到平面的距离为，，故所求三棱锥的体积为.故选：B.二､选择题9.已知，满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗对于A：取，，则，故A错误；对于B：构造函数，则，故在为增函数，故，即，故B正确；对于C：，故与两式相乘得，故C正确；对于D：，故D错误.故选：BC10.已知，为坐标原点，终边上有一点.则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗，故，又，，故是第一象限角，又，故，故A正确；对于B，，故，故B正确；对于C，因为在上单调递增，且，所以，故C错误；对于D，因为在上单调递减，，所以，故D错误.故选：AB.11.已知在等边△中，，为的中点，为的中点，延长交占，则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗如图，，故A正确；设，则，又，，三点在一条直线上，故，故，即，，故，故B正确；，故，故C错误；，，故，故D错误.故选：AB.12.若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗，故A正确；由知，，两式相减得，故，故当时，为常数列，故，故，故，故B正确；，故C错误；，故，故D正确.故选：ABD.三､填空题13.已知双曲线的离心率为2，则实数________.〖答案〗〖解析〗由题意得，，又，则.故〖答案〗为：14.已知是上的减函数，则实数的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗因为，则对任意的恒成立，所以，，因为，则，所以，，，不等式即为，所以，，解得.当时，，不合乎题意.因此，实数取值范围是.故〖答案〗为：.15.已知一个圆台内切球的半径为，圆台的表面积为，则这个圆台的体积为________.〖答案〗〖解析〗设内切球的半径为，圆台上、下底面圆半径分别为，，则圆台的高，如图为圆台的轴截面图形，可得母线长，故，故.故〖答案〗为：16.现有一组数据：，共项，（是这一组数据的第项），有以下结论：①这组数据的极差为；②这组数据的中位数为；③这组数据的平均数为；④.其中正确结论的个数为___________.（参考公式：）〖答案〗〖解析〗设，其中，则，其中数列的项数为，因为，所以，这组数据的最大数为，最小数为，在这组数据中，共有个，个，个，，个，个，对于①，这组数据的极差为，①对；对于②，因为，，则，所以，这组数据的中位数为，②对；对于③，这组数据平均数为，③错；对于④，，④对.故①②④对，③错，即正确命题的个数为.故〖答案〗为：.四､解答题17.已知数列满足，且为等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）求满足的最大整数.解：（1）由得，，，故等比数列的公比为2，则，故；（2）由（1）可得：，当时，，当时，，又易知当时，，故时，和式，故满足的最大整数为11.18.在直四棱柱中，四边形是菱形，，平面.（1）求；（2）求二面角的正弦值.解：（1）连接交于点，连接，因为平面，平面，所以，所以，因为所以，又，所以，所以.因为四边形是菱形，，，所以，所以，所以.（2）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，设平面的法向量为，则，取，则，因为平面，所以为平面的法向量，所以，所以所以二面角的正弦值为.19.在中，，的面积为，为的中点，于点于点.（1）求的面积；（2）若，求的值.解：（1）在四边形中，，，故，故，作于点，于点，又为的中点，则，，故.（2）设的三条边，，分别为，，，由，知，延长到点，使，连接，则，，则在中，，，故由与可得，，则，，则，由正弦定理得，则.20.某地乒乓球协会在年55岁65岁的乒乓球运动爱好者中，进行一次“快乐兵兵”比赛，3人一组先进行预赛，选出1名参赛人员进入正式比赛.已知甲、乙、丙在同一组，抽签确定第一轮比赛次序为：甲对乙、甲对丙、乙对丙，先累计获胜2场的选手，进入正式比赛.若前三场比赛甲、乙、丙各胜负一场，则根据抽签确定由甲、乙加赛一场、胜者参加正式比赛.已知甲胜乙、甲胜丙、乙胜丙的概率分别为，各场比赛互不影响且无平局.（1）求甲进入正式比赛的概率；（2）若比赛进行了四场结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望.解：（1）由题意，可分为两种情况，即分甲连胜两场和前三场甲、乙、丙各胜负一场，第4场甲胜乙：①甲连胜两场的概率为；②前三场甲、乙、丙各胜负一场，第4场甲胜乙的概率为，则甲进入正式比赛的概率为.（2）由题意得若要比四场，则前3场甲、乙、丙必然各胜一场，此时第四场甲对乙，故的可能取值为1，2，第四场甲输，则，第四场甲赢，则，故的分布列为12则.21.已知是椭圆上的两点，关于原点对称，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.解：（1）设，易知，由，得，化简得，故椭圆的标准方程为.（2）设的方程为，，，将代入椭圆方程整理得，，，，，则，又原点到的距离为，故，当且仅当时取等号，此时，的面积最大.故.22.已知函数，.（1）求实数的值；（2）证