2023-2024学年四川省成都市高三上册开学考试文科数学试题（含解析）

2023-2024学年四川省成都市高三上册开学考试文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数满足，则（

）A． B．1 C． D．23．函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

4．已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（

）A． B．ln＞lnC． D．5．若，则的最小值为A．8 B．6 C．4 D．26．已知命题若则；命题在中，是的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（

）A． B． C． D．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（

）

A． B． C．1 D．28．已知函数的图象与轴交点的坐标为，且图象关于直线对称，将图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．9．已知中，若，，的面积为，为边的中点，则的长度是（

）A． B． C．1 D．210．已知，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．11．已知圆过双曲线的左、右焦点，，曲线与曲线在第一象限的交点为M，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．312．已知函数，若方程有三个不同的根，则（

）A．4 B．3 C．2 D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则=.14．设，满足约束条件，则的最大值是.15．直线与抛物线交于A，B两点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为M，则．16．已知三棱锥中，，，当三棱锥体积最大时，的值为.三、解答题（本题共6道小题，17题10分，其余各题12分，共70分）17．已知数列满足，，数列满足，.（1）证明：是等比数列；（2）数列满足，求数列的前项的和.18．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面底面，且，设分别为的中点，．

(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．19．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在之间，一农学实验室研究人员为研究温度x（）与绿豆新品种发芽数y（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的的温度环境下进行实验，得到如下散点图：

其中，，．(1)运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？(2)求出关于的线性回归方程，并预测在的温度下，种子的发芽的颗数．参考公式：相关系数，回归直线方程，其中，．参考数据：．20．已知椭圆：（）左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点，为椭圆上一点.(1)求椭圆的方程；(2)已知，为椭圆上不同两点，且都在轴上方，满足.（ⅰ）若，求直线的斜率；（ⅱ）若直线与抛物线无交点，求四边形面积的取值范围.21．设．(1)证明：的图象与直线有且只有一个横坐标为的公共点，且；(2)求所有的实数，使得直线与函数的图象相切；(3)设（其中由（1）给出），且，，求的最大值．22．在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），点，分别在直线和曲线上运动，的最小值为．(1)求的值；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于不同的两点与直线交于点，若，求的值．1．B【分析】解一元二次不等式可得集合B，然后由交集定义可得.【详解】集合，解不等式可得集合，所以.故选：B2．C【分析】根据复数除法运算化简，然后由复数模公式可得.【详解】因为，所以，所以.故选：C3．A【分析】利用特殊值以及导数求得正确答案.【详解】，所以D选项错误.，所以当或时，；当时，，和是的零点，所以C选项错误.，对于函数，开口向下，，令解得，所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，所以B选项错误，A选项正确.故选：A4．D【分析】由（）得，根据基本初等函数单调性逐个判断即可，或举出反例排除.【详解】由（）得，对A，，不恒成立，A错；对B，ln＞ln，不恒成立，B错；对C，三角函数有周期性，不恒成立，C错；对D，，D对.故选：D.5．C【详解】分析：利用对数运算法则，得，从而有，再利用基本不等式得，化简可得，从而得所求最小值．详解：∵，∴，∴，∵，∴，，当且仅当时取等号．故选C．点睛：在用基本不等式求最值时，要注意其三个条件缺一不可，一正，二定，三相等，在求最值时，如果几次用到不等式进行放缩，那么一定要探索每个不等号中等号成立的条件是否是同一个，否则最后的等号不能取到．6．D【分析】先判断的真假性，从而确定正确答案.【详解】命题，若，则，且，所以是真命题.命题，在三角形中，若，由正弦定理得，所以；若，则，由正弦定理得.所以是的充要条件，所以命题是假命题.所以、、是假命题，ABC选项错误.是真命题，D选项正确.故选：D7．A【分析】由三视图还原原图，根据锥体体积计算公式求得正确答案.【详解】由三视图还原原图如下图所示，是正方体，该四棱锥为，故体积为.故选：A

8．C【分析】根据已知条件求得，根据三角函数图象变换求得，根据三角函数最值的求法求得正确答案.【详解】依题意，则，解得，所以，将图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数.由，得，所以，所以在区间上的最大值为.故选：C9．B【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】因为的面积为，所以有，由余弦定理可知：，因为为边的中点，所以，因为，所以，故选：B10．A【分析】根据幂函数、对数函数的知识求得正确答案.【详解】对于，函数在上单调递增，所以.在上单调递减，所以，由于，所以，所以，综上所述，.故选：A11．C【分析】由题意可求得双曲线的焦点坐标，结合圆的几何性质推出，由双曲线定义结合题设可得，由余弦定理可得，即可求得a，则可得答案.【详解】由，令，则，即，故，，即有，圆心为,半径为，由于,故,因为M为双曲线右支上一点，，设，则，故，在中，,即，即，故，故双曲线离心率为，故选：C关键点点睛：根据题设条件可求得双故曲线的焦半距，因此要求离心率，就要求出a的值，因此关键点就在于要利用圆的几何性质推得，设,从而由余弦定理推出，再结合双曲线定义推得，即可求得a，则问题即可求解.12．B【分析】由题意，易知为奇函数，由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点对称，再根据直线也关于点对称，即可得答案.【详解】由题意，因为，所以为奇函数，由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点对称.而所表示的直线也关于点对称，所以方程的三个实根中必有一个为1，另外两个关于对称，所以.故选：D.13．##【分析】根据直线垂直关系可得，然后结合平方关系和二倍角公式可得.【详解】直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以，则，代入可得，所以.故答案为.14．##【分析】画出图象，根据直线和圆的知识求得正确答案.【详解】依题意，，即，直线与直线相互垂直，画出图象如下图所示，满足的约束条件的范围如阴影部分所示，圆的圆心为，半径为，由图可知，将平移到与阴影部分圆弧相切时，取得最大值，到直线的距离为，解得（负根舍去），所以的最大值为.故

15．0【分析】设，联立直线与抛物线方程可得，根据数量积的坐标运算公式求的值.【详解】解：如图，设，则，所以，联立可得，所以，则，，故，故0．16．##【分析】补形成长方体，根据已知求得长方体的棱长，然后可表示出三棱锥的体积，借助导数即可求解.【详解】将三棱锥补形成长方体，记长方体中，则，解得，，又，所以，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，，取得最大值，即时，三棱锥体积有最大值.故

17．（1）见解析（2）【详解】试题分析：(1)题中所给的递推关系整理可得：，且，据此可得是首项为2，公比为2的等比数列，(2)由题意结合(1)的结论可得，裂项求和可得.试题解析：（1），又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，（2）满足上式.

点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明平面来证得.（2）根据锥体体积的计算公式求得正确答案.【详解】（1）∵是正方形，∴．∵侧面底面，侧面底面，平面，∴平面，∵平面，∴．又，平面，∴平面，∵平面，∴．（2）∵四边形为正方形，连接，则，为中点．∵为中点，∴在中，．∵平面，平面，∴平面．∴到面的距离等于到面的距离．由（1）知，，∴，得，∴，．（法一）取中点，连接，则，又平面，∴平面．∴．（法二）取中点，连接，则．∵侧面底面，侧面底面，平面，∴底面，．∴．

19．(1)可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系(2)，种子的发芽颗数为44【分析】（1）根据已知数据代入相关系数公式计算即可作出判断；（2）根据公式求出和，即可得到回归方程，通过回归方程即可得到预测值.【详解】（1）根据题意，得．，．因而相关系数．由于很接近1，∴可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系．（2），，∴关于的回归方程为．若，则颗．∴在的温度下，预测种子的发芽颗数为44．20．(1)(2)（ⅰ）的斜率为；（ⅱ）【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.（2）设直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，（ⅰ）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据列方程，从而求得直线的斜率.（ⅱ）联立直线的的方程与与抛物线，利用判别式列不等式，利用弦长公式以及点到直线的距离公式求得四边形面积的表达式，结合函数的单调性求得四边形面积的取值范围.【详解】（1）依题意得，则，，而，于是，从而.又，解得，所以椭圆的方程为.（2）如图，设直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，由，故，由椭圆对称性，，且四边形为平行四边形.（ⅰ）由题意直线的斜率不为0，设直线：，由，消去整理得，设，，则，，由（*）带入上式，解得：，故，由于，，所以，所以，故的斜率为1.（ⅱ）由，消去整理得，由得.所以，与间的距离（即点到的距离），故，令，函数在区间上单调递增，所以，则，所以四边形的面积的取值范围为.求得椭圆的标准方程的问题，主要是根据已知条件求得，是两个参数，需要想要求得，需要两个已知条件，如本题中焦点以及点的坐标，再结合椭圆中的隐藏条件，就可以求得椭圆的标准方程.21．(1)证明见解析(2)或(3)【分析】（1）构造函数，根据函数的单调性以及零点存在性定理证得结论成立.（2）设出切点坐标，求得切线方程，根据切线过原点列方程，求得切点的横坐标，从而求得的值.（3）构造函数，利用导数证得当时，得到，进而得到，从而求得的最大值.【详解】（1）考虑函数，在上单调递增，且，．因此有且只有使得，即的图象与直线有且只有一个公共点，且该公共点的横坐标为．（2），．设是的图象上一点，则该点处的切线为，整理得．令，解得或．因此与与函数的图象相切．因此所求实数的值为或．（3）设，则．设，则．当时，；当时，．因此在上单调递增，在上单调递减．从而在上单调递增，上单调递减．注意到，故当时，当时，因此在上单调递减，在上单调递增．所以当时，．另一方面，注意到，故必然存在，使得，且当时，当时．因此在上单调递减，在上单调递增．显然，而．因此当时，．综上可知当时，即，当且仅当时等号成立．由于，故当，即时，，当且仅当，即时等号成立．因此，当且仅当时等号成立．因此的最大值为．利用导数求解曲线的切线方程，关键点有两个，一个是切点的坐标，另一个是切线的斜率.切线的