2021中考数学模拟（一）-教师版

中考模拟（一）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.计算：1—（—?）=（

)

2

A.—B.

3

【答案】C

【详解】

原式=1+1=’.

33

2.如图，在△ABC中，AB=AC,NA=30。，直线a〃b,顶点C在直线b上，直线a

交AB于点D,交AC于点E,若Nl=145。，则N2的度数是（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】C

【分析】

根据等边对等角可得NACB=NB=75。，再根据三角形外角的性质可得

ZAED=Z1-ZA=115°,继而根据平行线的性质即可求得答案.

【详解】

VAB=AC,NA=30。，

ZACB=ZB=（l80°-30°）-？2=75°,

VZ1=ZA+ZAED,

ZAED=Z1-ZA=145°-30°=115°,

Va//b,

二N2+NACB=NAED=115。（两直线平行，同位角相等）,

，N2=l15"NACB=115。-75。-40。，

故选C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相

关知识是解题的关键.

3,我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离

约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为()

A.5.5x106千米B.5.5x107千米c.55x10。千米D.0.55、1。8千米

【答案】B

【解析】

科学记数法的表示形式为“xion的形式.其中修同＜10,n为整数，确定〃的值时，用

原数的整数位数减1,即5500万=5.5x107.故选B.

4.若点A(a,-2)、B(4,b)在正比例函数y=Ax的图象上，则下列等式一定成立

的是()

a

A.a-b=6B.a+b=-10C.a*b=-8D.-=-2

b

【答案】C

【分析】

由一次函数图象上点的坐标特征可得出-2=①、b=4k,用含b的代数式表示出鼠将

其再代入-2=ka中即可得出结论.

【详解】

解：•.•点A(a,-2)、B(4,b)在正比例函数y=丘的图象上，

-2=ka,b=4k,

bab

k——，-2——，

44

.\ab--8,

故选：C.

【点睛】

此题考查正比例函数图象上点的坐标，利用解析式求参数，正确理解点与解析式的关系

试卷第2页，总19页

是解题的关键.

5.化简（屋广的结果是（）

A.a2nB.C.ainD.“犷

【答案】B

【分析】

根据基的乘方公式解题.

【详解】

故选：B.

【点睛】

本题考查基的乘方，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

6.如图，在RtAABC中,ZACB=90°,NB=30。,CE平分NACB交AB于点E.EF1BC

于点F,若EF=4,则线段AE的长为（）

A.2^3B.弊C.26+2D.373

【答案】B

【分析】

根据角平分线的定义和直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】

解：；CE平分NACB,

AZACE=ZBCE,

VZACB=90°,EF±BC,

.,.ZACB=ZEFB=90°,

.*.ZECF=ZCEF,

・・・CF=EF=4,

VZB=30°,

・・・BE=2EF=8,BF=7^EF=46

・・・BC=CF+BF=4+4后

VZACB=90°,ZB=30°,

BC86+24

•♦AB=-------==-............,

cosB—3

2

…8G

..AE=AABR-BE=——,

3

故选：B.

【点睛】

本题考查了含30。角的直角三角形的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的

关键.

7.若直线.V=-x+a与直线y=2x+8的交点坐标为（2,〃），则。-方的值为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【详解】

;直线y=-x+a与直线y=2x+6的交点坐标为（2,"）,〃=-2+a,〃=4+b,

-2+a=4+b,a-b=6.

8.如图，在口ABC。中，4可，3。于点后，CM，8。于点尸，且点E,F是BD

的三等分点，点M,N是的中点，连接EM,NF,若乙45。=30。,A5=4,

则四边形MENF的面积是（）

A.yfjB.72C.1D.2

【答案】A

【详解】

•••点E,尸恰好是8。的三等分点，3F=£F，即点尸为跳:的中点，又•.•点例是AB

的中点，MF是△ABE的中位线，•••AN_L3。于点E,

2

NABD=30°,AB=4,AE—2,BE-\lAB2—AE2=\/4"-2-=2>/3，,

试卷第4页，总19页

MF=\,EF=J3<又于点F,W.=LXIXJ5=3,易得

*■一4Y-MtZr2«2

UMEF^UNFE,/.S四边形"砌下=2s4MEF=6-

9.如图，AB为。O的直径，直线/与（DO相切于点C,AD_L/,垂足为。,A。交。O

于点E,连接OC3E.若AE=6,Q4=5,则线段OC的长为（）

9

A.5B.4C.-D.3

2

【答案】B

【详解】

解：由题知。4=5,.,.46=1（）,:48是直径，，44£；5=90。，...在放448七中，

BE=\JAB2-AE2=A/102-62=8）又：AD工I,:.NEDC=90。,:.BE〃CD,又

•.•直线CD与口。相切于点C,••.NOCD=90°,如解图，设OC1与交于点F,则

四边形COEF为矩形，.•.CO=EF,由垂径定理知，F为BE中点、,

.-.EF=4,:.DC=4

10.已知二次函数y=（x-h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足l<x<3的情况下,

与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为（）

A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或3

【答案】B

【分析】

讨论对称轴的不同位置，可求出结果.

【详解】

...①若人<1夕53,x=l时，y取得最小值5,

可得：（1-力）2+1=5,

解得：力=-1或人=3（舍）；

②若1W烂3V〃，当43时，y取得最小值5,

可得：（3-h）2+1=5,

解得：力=5或力=1（舍）.

综上，〃的值为-1或5,

故选B.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关

键.由解析式可知该函数在m力时取得最小值1、X＞人时，y随x的增大而增大、当x

＜人时，y随x的增大而减小，根据1人3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：

①若〃＜10烂3,x=l时，y取得最小值5；②若lSrW3V/?,当m3时，y取得最小值5,

分别列出关于h的方程求解即可.

二、填空题

11.(2x-3)(2x+3)=

【答案】4X2-9

【分析】

运用平方差公式解题即可.

【详解】

解：(2x-3)(2x+3)=(2x)2-32=4x2-9.

【点睛】

本题考查平方差公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

12.如图，在正五边形A3C0E中，以A5为边向五边形内部作等边△ABP,则NPBC

的大小为.

【答案】48°

【详解】

试卷第6页，总19页

•.•五边形A8CZ5E是正五边形，6c=180。一一1=108°.又•.PABP是等边三

角形.AZABP=60°,=108°-60°=48°.

I%

13.如图，直线y=-二x+〃?与反比例函数y=—的图象在第一象限内交于A、B两

2x

点，且一次函数与x轴交于点C，与)’轴交于点。.若AE_Lx轴，且OE-CE=8,

则该反比例函数的表达式为

【详解】

:直线y=—与x轴交于点C，与轴交于点O,.♦.点。(2加,0),£>(0,m),

AECEAEDO1

故0C=2m，OD=m又,：AE//OD,；.——=—-=设点

DOOCECOC2

A(fl,b)，则4E=b,OE=a,CE=2b,又,；OECE=8,：.2ab=8,：.ab=A.又

k

•.•点A(a,勿在反比例函数y=—的图象上，...％=。。=4,该反比例函数的表达式

x

4

为y=一.

x

14.如图.点P为边长为2的正方形ABC。外一动点.且PA，P8.连接AC、PC.则

□PAC的最大面积为

【答案】V2+1

【详解】

如解图.作出以AB为直径的口。交线段AC于点E.连接PE、OE、BE.由AC为正

方形的对角线及口。的直径为AB.可得AAEB为等腰直角三角形.则点E为AC的

中点.，S"C=2SAPE.二要使得△从尸。的面积最大.只需使得VAPE面积最大即

可.长度为定值....只需使VAPE中AE边上的高最大即可.•；

AE=-AC=-y/AB2+BC2=V2.OA=OB=OE=1.，AAOE是等腰直角三

22

角形....在RfDAOE中.禾I」用等面积法求得AE边上的高为丝2二

AE422

在VAPE中AE边上的高的最大值为1+变.，VAPE面积的最大值为

2

—x1+X=二，PAC的最大面积为2X――+——yfl+1.

222222

三、解答题

-U+2)>1

15.解不等式组：J5

-x-4<-2x

【答案】3<x<4

【详解】

—(x+2)>1(T)

解：令，5、)

—x-^<—2x@

解不等式①得x>3,解不等式②得4,

原不等式组的解集是3<x<4.

2尤3

16.解分式方程：——+—=1.

x-i\~x

【答案】x=2.

【详解】

方程两边同乘以

得2x-3=x-l,

合并同类项得x=2,

经检验，x=2是原分式方程的解，

原分式方程的解为x=2.

试卷第8页，总19页

17.如图，已知口人3。中，。为A8的中点.请用尺规作图法作边AC的中点E,并

连接OE.（保留作图痕迹，不要求写作法）

【答案】见解析

【详解】

解：如解图所示，点E即为所求.

18.如图，在□ABC中，AC=AB,在中，AD=AE,ABAC=ZDAE.

【答案】见解析

【详解】

证明：ABAC=ZDAE,

:.ZBAD=ZCAE,

在口氏4。和VCAE中,

AB^AC

•••</BAD=ZCAE,

AD^AE

：.^BAD^^CAE（SAS）,

CE=BD.

19.某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中随机抽取了

部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统

计图.

抽取学生安全知识竞赛成绩统计图

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）请补全两幅统计图；

（2）所抽取学生安全知识竞赛的成绩的中位数在_______组；

（3）若该校共有2000名学生，成绩在70分以下（含70分）的学生属于安全意识不强,

有待进一步加强安全教育，请估计该校安全意识不强的学生人数.

【答案】（1）见解析；（2）C；（3）600人

【详解】

解：（1）补全统计图如图；

抽取学生安全知识

【解法提示】8组人数为300x20%=60（人）「.•共抽取了300名学生成绩，，

成绩的中位数为第150名和第151名学生的成绩的平均数，由频数分布直方图可知，第

150名和第151名学生成绩都在C组，...所抽取学生安全知识竞赛的成绩的中位数在C

组.

（3）2000x（10%+20%）=600（人），

答：该校安全意识不强的学生约有600人.

20.如图，小明想利用影子测量自己的身高，他让小亮关闭路灯4B,打开路灯C。，

自己在两个路灯之间移动.当他走到点尸处时，发现自己影子的顶端恰好落在路灯

的底部，然后他让小亮关闭路灯CD,打开路灯A8,发现自己影子的顶端恰好落在路

灯CO的底部.已知路灯A8、C£＞的高度分别是2.55米、5.1米，路灯48、CO相距9

米，这样能测量出小明的身高吗？如果能，请求出小明的身高.

试卷第10页，总19页

【答案】能测量出小明的身高，他的身高是1.7米

【详解】

解：设8/=彳，

-EF//CD,

:DBEFSQBC£＞，

EFBF

~CD~~BD

EF^—CD=­x,

BD9

EFIIAB,DEF口口DAB,

nipo4:

同理可得，EE=」-AB=T.（9—X）,

BD9'"

..得.》=爷・（97），

解得x=3,

.-.EF=—x=—x3=1.7（米），

99

.••能测量出小明的身高，他的身高是1.7米.

21.某印刷厂承担A,B两种小说的印刷任务，计划每天印刷60（）本，其中A,8两种

小说每本的成本和利润如下表所示:

AB

成本（元/本）1020

利润（元/本）1535

设每天印刷A种小说x本，每天获利y元.

（1）求出y与x之间的函数关系式（不给出x的取值范围）；

（2）由于受条件限制，该印刷厂每天最多投入成本8000元，求该印刷厂每天最多获利

多少元？

【答案】（1）y=-20^+21000；（2）若该印刷厂每天最多投入成本8000元，则该印

刷厂每天最多获利13000元.

【详解】

解：（1）由题意可得，每天印刷A种小说x本，则每天印刷B种小说（600—X）本，

y=15x+35（600-x）=-20x4-21000；

（2）该印刷厂每天投入的成本为：10x+20（600-x）=-10x+12000,

要使每天投入的成本最多为8000元，则-10x+12000W8000,

解得x2400.

由（1）中y与x的函数关系可知，当x=400时，印刷厂每天获利最多，为

-20x400+21000=130007L.

答：若该印刷厂每天最多投入成本8000元，则该印刷厂每天最多获利13000元.

22.为弘扬“东亚文化”，某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛，在安排1位女选手

和3位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式.

（1）请直接写出第一位出场是女选手的概率；

（2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求

出他们都是男选手的概率.

【答案】（1）I，（2）［

42

【分析】

（1）根据总共4人，女选手1人，可求P（第一位出场是女选手）；

（2）列出所有可能的表格，确定所有等可能的情况有12种，其中第一、二位出场都是

男选手的情况有6种.

【详解】

解：（1）P（第一位出场是女选手）=!；

（2）列表得:

女男男男

女---（男，女）（男，女）（男，女）

男（女，男）---（男，男）（男，男）

男（女，男）（男，男）---（男，男）

试卷第12页，总19页

男（女，男）（男，男）（男，男）---

所有等可能的情况有12种，其中第一、二位出场都是男选手的情况有6种,

则P（第一、二位出场都是男选手）=3=1.

122

【点睛】

本题考查列表法或树状图法求概率.

23.如图，A8是口。的直径，PA,PC与口。分别相切于点A,C,PC交48的延

长线于点O,交P。的延长线于点E.

(1)求证：DE=DO；

(2)若口。的半径为3,A£>=8,求tan/AOP的值.

【答案】(1)见解析；(2)2

【详解】

(1),/PA,PC与口。分别相切于点A,C.

：.Zl=Z2,且PAJ.AO,

二ZPAO=90°,

,：NEDP=90。.

：.N3=NE.

N3=N4,

Z4=ZE,

・・・OD=DE；

(2)如解图，连接OC,

p

第13题解图

,/PC是□。的切线，

:.OCVPC,

：.NOC£>=90。，

又：口0的半径是3,AO=8,

OC=3,00=5,

...在RtZXOC。中，CD=4.

PACO

又在RtAPAD和RtAOCD中,tanNODC=—=——

DACD

•-A_3

••一，

84

PA=6,

..__PA6汽

/.tanZ.AOP=---=—=2.

AO3

24.如图，抛物线W:丫=一/+法+。交x轴于点A(-3,0)和点B,交y轴于点C(0,3),

顶点记为D.

(1)求抛物线W的函数表达式及顶点。的坐标；

(2)连接AC,若线段AC上有一点P,过点尸作y轴的平行线交抛物线于点。，求线

段PQ长的最大值；

(3)在(2)中，当尸。的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为W',抛

物线W'的顶点记为D'，它的对称轴与x轴交于点E'.怎样平移才能使得以P、Q、D'、

E为顶点的四边形是菱形？

9

2

【答案】(I)y=-x-2x+3,£>(-1,4);(2)最大值为［；(3)将抛物线W向右

平移一1+拽，再向下平移!或竺，得到以P、Q、O，、E为顶点的四边形是菱形，

2444

试卷第14页，总19页

或将抛物线W向左平移,+主后，再向下平移!或与，得到以P、Q、D'、E为顶点的

2444

四边形是菱形

【详解】

(1)

解：将点4-3,0),。(0,3)代入丁=—/+加+。中，

得｛—9—3b+c=Oc=3

,解得｛b=-2c=3

•••该抛物线的函数表达式为

y=-d-2x+3=-(x+l)2+4,

该抛物线顶点。的坐标为£>(-1,4)：

(2)解：设直线AC的解析式为丁=丘+，，将点4-3,0)、C(0,3)代入丁=6+£中，

得｛-3k+t=Ot=3

，解得｛k=lt=3

二直线4c的解析式为y=x+3.

设P点坐标为(x,%+3)(—3轰Ik0),则Q点坐标为(X,-X2-2X+3),

9

12

PQ={~x-2x+3)-(x+3)=-x-3x+4-

39

当尤=一二时，PQ有最大值，最大值为：.

24

9

，33、，315、

(3)解：由⑵知，P,Q,PQ4-

\2L)\24y

设抛物线W'的函数表达式为y=—(x—加)？+〃，

/.E'(171,0),D'(m,n),

：.DE'=\n\,

・・•以P、Q、D'、E为顶点的四边形是菱形,

:.D'E'=PE'=PQ=J9

4

933f

-m-+

42--

39369\

或

或

一、或

（3349---■

工抛物线W'的顶点坐标为-7"1—丁24444

I244J7

<3375_2、

•••抛物线W的顶点坐标为（一1,4）,

所以将抛物线印向右平移—3+述+i=—」+逆，再向下平移!或竺，得到以

242444

P、Q、D'、E为顶点的四边形是菱形，或将抛物线W向左平移

一1+3+越+1=_1+延，再向下平移I或3，得到以R°、。，、E为顶点的四

242444

边形是菱形.

25.问题探究

（D如图①，已知正方形ABC。，请用直尺和圆规作以BC为边的等边口5CP,使得

点尸在正方形ABC。的内部（保留作图痕迹）；

（2）小明画出了图①的正方形43CO和等边[]P8C.他发现，在正方形ABC。中，

把HPBC经过图形变化（旋转后放大），可以得到图②中的更大的等边三角形.请你通

过合理的图形变化在图③的正方形纸片中画出面积最大的等边QBEF（点E、F不能在

正方形外），当图③的正方形ABCO的边长为1时，求等边口3七尸的最大边长；

问题解决

（3）某单位现有一块建筑用地，其形状为RmABC（如图④），其中

ZA=90°,AC=3,AB=4,因工作需要，单位要求承建方将此口ABC用地扩建成一

个正方形用地（周围有足够的用地），要求原来位于A、及C三个顶点的三棵树在正方形

的内部或边上.为了节省费用，建筑方想让这个正方形尽可能的小，