人教A版高中数学必修第二册同步讲义第10讲 平面向量数量积的坐标表示（原卷版）

第10讲平面向量数量积的坐标表示目标导航目标导航课程标准课标解读掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．1、通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算2、截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．知识精讲知识精讲知识点01平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝或|a|＝eq\r(x2＋y2).若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)a⊥b⇔.(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【即学即练1】已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于()A．10B．－10C．3D．－3能力拓展能力拓展考法01数量积的坐标运算【典例1】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝________.反思感悟进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2＝a·a.(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.【变式训练】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于()A．6B．5C．4D．3考法02平面向量的模【典例2】已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|等于()A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．5D．25反思感悟求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．【变式训练】已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(eq\r(3)，0)，则|2a－b|的最大值为________．考法03平面向量的夹角、垂直问题【典例3】已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，则实数m等于()A．2eq\r(3) B.eq\r(3)C．0 D．－eq\r(3)反思感悟解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ.(2)注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)判断θ的值时，要注意cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.【变式训练】已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．分层提分分层提分题组A基础过关练1．已知向量SKIPIF1<0，如果向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<02．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数m的值是（

）A．3或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或1 C．3或1 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<04．若向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则实数SKIPIF1<0_______．5．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的数量投影为_______．6．将函数SKIPIF1<0的图像和直线SKIPIF1<0的所有交点从左到右依次记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，若点P坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．7．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.8．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．9．已知平面向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为______.10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．11．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求x的值；(2)若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为负实数），求x，SKIPIF1<0的值.12．已知平面向量SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求m的值．题组B能力提升练1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．82．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夹角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（多选）下列说法中正确的有（

）A．已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；B．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为锐角，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0；C．若非零向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是SKIPIF1<0.D．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为锐角；4．（多选）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在弧SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在弧SKIPIF1<0上运动（包括端点），则下列结论正确的有（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<05．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外接圆上任意一点，则SKIPIF1<0的最大值为___________.6．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为__________.7．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为______8．已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量的坐标为__________.9．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求x的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.10．平面内向量SKIPIF1<0（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的坐标．(2)已知BC中点为D，当SKIPIF1<0取最小值时，若AD与CP相交于点M，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的余弦值．题组C培优拔尖练1．已知圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上四点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（多选）有下列说法，其中正确的说法为（

）A．SKIPIF1<0为实数，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0C．两个非零向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直D．若SKIPIF1<0分别表示SKIPIF1<0的面积，则SKIPIF1<03．（多选）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点F在弧SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点E在弧SKIPIF1<0上运动.则下列结论正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值是-34．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为___________.5．已知向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列四个命题中，所有正