辽宁省抚顺市六校协作体2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题（ 含答案解析 ）

绝密★启用前高一数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义直接求解.【详解】因为集合，所以或.故选：D2.下列函数是奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇函数的定义即可判断.【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数，故A正确；的定义域为，因为，所以不是奇函数，故B错误；的定义域为，所以既不是奇函数也不是偶函数，故C错误；的定义域为，因为，所以是偶函数，故D错误.故选：A3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断.【详解】若，则未必成立，如时，．若，则，则一定成立．故“”是“”的必要不充分条件．故选：B.4.对于变量“气压”的每一个值，变量“水的沸点”都有唯一确定的值与之对应．对于变量“油面宽度”，至少存在一个值，使得变量“储油量”的值与之对应的值不唯一．根据这两条信息，给出下列四个结论：①水的沸点是气压的函数；②水的沸点不是气压的函数；③储油量是油面宽度的函数；④储油量不是油面宽度的函数．其中正确结论的序号为（）A.①④ B.①③ C.②④ D.②③【答案】A【解析】【分析】结合函数的定义即可判断.【详解】根据函数的定义;自变量每确定一个值，变量就有唯一确定的值与之对应.根据题意，水的沸点与气压符合这个对应关系，而储油量与油面宽度的对应不唯一，不符合定义.故选：A5.已知函数满足，，且，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】利用赋值法即可得结果.【详解】因为且，令，则，令，则，故选：C.6.若，则的最小值为（）A.16 B.20 C.24 D.25【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求得最小值.【详解】由已知当且仅当，等号成立.的最小值为故答案为：D7.若函数在上是增函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分段函数的单调性列不等式组，即可求解.【详解】要使函数在上是增函数，只需，解得：.即a的取值范围是.故选：A8.已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，，可得出，，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.【详解】由图可知，函数的图象与轴相切，对称轴为直线，且该函数的图象开口向下，所以，，且，则，，所以，不等式即为，即，解得.故不等式解集为.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知命题“存在，使得为偶函数”，则（）A.该命题是全称量词命题 B.该命题是真命题C.该命题是存在量词命题 D.该命题是假命题【答案】BC【解析】【分析】当时，为偶函数，即可得到答案.【详解】当时，，定义域为R，，所以为偶函数.所以命题“存在，使得为偶函数”，为存在量词命题，该命题为真命题.故选：BC10.如图，在边长为的正方形中，点在线段上，点在线段上，且线段与线段的长度相等，设，的面积为，则（）A.函数的定义域为 B.C.函数定义域为 D.有最大值【答案】BD【解析】【分析】根据题意用表示出，然后分析该函数的性质即可.【详解】依题意，四边形是正方形，于是，故，点在线段上，故，定义域是，故AC错误；，故B正确；是开口向上，对称轴为二次函数，故在上单调递减，故时，有最大值，故D正确.故选：BD11.已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据题意讨论和情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.【详解】由题意集合，，因为，所以当时，，即；当时，有，解得，故,则M的一个真子集可以是或，故选：BC.12.下列命题是真命题的是（）A.函数的零点构成的集合为B.若，则的最大值为C.若，，则D.若，则的最小值为3【答案】ACD【解析】【分析】解方程求出函数的零点判断A；利用基本不等式求解判断BD；利用作差法判断C．【详解】对于A，令，得或，因为，所以或，故A正确．对于B，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故B错误．对于C，因为，，，所以，故C正确．对于D，因为，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题p：的否定为________．【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得命题的否定.【详解】命题p：的否定为.故答案为：.14.若为奇函数，当时，，则______．【答案】1.【解析】【分析】根据奇函数的性质可得，结合当时，，可求得答案.【详解】由题意为奇函数，当时，，则，故答案为：1.15.若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：________．【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可）【解析】【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解.【详解】依题意可得，解得，则．所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，所以，解得．故答案为：7（答案不唯一）.16.如图所示，定义域和值域均为R的函数的图象给人以“一波三折”的曲线之美．（1）若在上有最大值，则a的取值范围是______；（2）方程的解的个数为______．【答案】①.；②.【解析】【分析】（1）利用数形结合思想，结合最大值的定义进行求解即可；（2）利用换元法，结合数形结合法进行求解即可.【详解】（1）由图象可知：该函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，要想在上有最大值，则有，a的取值范围是；（2）令，，或，若，根据函数图象，可知该方程有三个不相等实根；若，根据函数图象，可知该方程有一个实根，所以方程的解的个数为，故答案为：；四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，．（1）若，求，；（2）若，且，求的值．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）首先求出集合，再根据交集、并集的定义计算可得；（2）首先表示出集合，由，可得，即可求出参数的值.【小问1详解】解：当时，又，所以，.【小问2详解】解：当时，因为，所以，所以或.18.已知函数．（1）求的解析式；（2）若在上单调递减，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，可得，求出的表达式，即可得出函数的解析式；（2）利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：令，得，由，得，故的解析式为．【小问2详解】解：由（1）知的图象关于直线对称．因为在上单调递减，所以，解得，故的取值范围是．19.已知是定义在上的偶函数．（1）将所给的图补充完整；（2）当时，讨论在上的值域．【答案】（1）图像见解析；（2）答案见解析.【解析】分析】（1）利用偶函数作图即可；（2）利用单调性法求值域.【小问1详解】因为是定义在上的偶函数，所以图像关于y轴对称，作出图像如下图所示：【小问2详解】可设由图像可知：，.所以，解得：，所以.同理可求：.所以当时，在上单减，所以的值域为；当时，在上单减，在上单增，所以的值域为.20.小张同学在求解“若，求的最小值”这道题时，他的解答过程如下：（第一步）因为，所以a，b同号，所以均为正数，（第二步）所以，，（第三步）所以，故的最小值为请你指出他在解答过程中存在的问题，并作出相应的修改．【答案】答案见解析过程.【解析】【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断，再通过乘法运算法则，结合基本不等式进行求解即可.【详解】从第三步是错误的，理由如下：因为当且仅当时，即时，不等式才能取等号，当且仅当时，即时，不等式才能取等号，因为，所以两个不等式不能同时取等号，所以不等式，因此此法求不出最小值，正确的做法如下：因为，所以a，b同号，所以均为正数，由，当且仅当时，即当时取等号，因此的最小值为.21.近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇．某仪器公司的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中，，且每台检测仪售价2万元，且每年生产的检测仪器都可以售完．（1）求该公司生产的环境检测仪的年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；（2）求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值．【答案】（1）;（2）5400万元.【解析】【分析】（1）根据利润=销售收入—固定成本一投入成本，即可得到年利润（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当时，利用二次函数的性质，求出的最大值，当时利用导数求得的最大值，再比较两者的大小，取较大者即得答案.【小问1详解】由题意知，当时，，当，,综上，;【小问2详解】当时，，所以当时，取得最大值2383，当，，，令，当时，递增，当时，递减，故当时，取得最大值，因为，故当（百台），该公司生产的环境检测仪年利润最大，最大值为5400万元.22.已知函数．（1）判断在上的单调性，并用定义加以证明；（2）设函数，若，，，求a的取值范围．【答案】（1）单调递减，理由见解析；（2）.【解析】【分析】（1）运用函