4静电场中的导体解析

静电场中的导体第四章第四章静电场中的导体从物质电构造理论的观点来看，任何物体都亦可能带电。按导电性能的不同，物体可分为三类，即1)导体：当物体的某部分带电后，如果能够把所带的电荷迅速地向其他部分传布开来，则这种物体称为导电体，简称导体。各种金属，碱、酸或盐的溶液即化学上的电解质，人体，地球等。引言2)电介质(绝缘体)：如果物体某部分带电后，其电荷只能停留在该部分，而不能显著地向其他部分传布，这种不导电的物体称为电介质，又称绝缘体。如：玻璃、石蜡、硬橡胶、塑料、松香、丝绸、瓷器、纯水、枯燥空气等都是电介质。由于电介质很难导电，所以它简洁带电。3)

半导体：导电性能介于它们导体和绝缘体两者之间的物质，叫半导体。◆本章主要内容：讨论导体带电和它周围的电场有什么关系，即介绍静电场的一般规律在有导体存在的情况下的具体应用。◆本章基本要求：理解静电场中导体的静电平衡条件，导体表面电荷的分布情况和静电屏蔽原理◆本章难点：掌握静电平衡状态下导体的电场特征及各点电势的计算，能分析导体上的电荷分布情况。4.1导体的静电平衡条件一.金属导体的电构造特征导体能够很好地导电，乃是由于导体中存在着大量可以自由移动的电荷。只讨论金属导体自由电子晶体点阵和自由电子示意图++++++++++++从物质的电构造来看，金属导体具有带负电的自由电子和带正电的晶体点阵。当导体不带电也不受外电场的作用时，两种电荷在导体内均匀分布，都没有宏观移动，只有微观的热运动存在(见右图)。电中性从物质的电构造来看，金属导体具有带负电的自由电子和带正电的晶体点阵。当导体不带电也不受外电场的作用时，两种电荷在导体内均匀分布，都没有宏观移动，或者说电荷并没有作定向运动。这时，只有微观的热运动存在(见右图)。因此，在导体中任意划取的微小体积元内，自由电子的负电荷和晶体点阵上的正电荷的数目是相等的，整个导体或其中任一局部都不显现电性，而呈中性。晶体点阵和自由电子示意图++++++++++++二.静电感应静电平衡条件+++++++++感生电荷1.静电感应现象导体上因静电感应而消失的电荷，称为感生电荷。++++++++++++++++++++导体内电场强度外电场强度感生电荷电场强度静电平衡将一块不带电的金属导体放入静电场中。导体内带负电的自由电子在电场力的作用下，将相对于晶体点阵逆着电场的方向作宏观的定向运动，从而转变导体上的电荷分布。电荷分布的改变导体内部的电场分布导体周围的电场分布改变静电平衡状态1)导体的静电平衡状态：导体内部和外表都没有电荷的定向移动。2)静电平衡条件：◆导体内部任何一点的场强都等于零；◆导体表面紧邻处的场强必定和导体表面垂直。表面2.

静电平衡条件证明(1)：假设导体内部有一点场强不为零，该点的自由电子就要在电场力作用下作定向运动，这就不是静电平衡了。证明(2)：假设导体外表紧邻处的场强不垂直于导体外表，则场强将有沿外表的切向重量Et，使自由电子沿外表运动，整个导体仍无法维持静电平衡。++++++导体是等势体导体外表是等势面

导体内部电势相等3)推论：处于静电平衡的导体是等势体当电势不同的导体相互接触或用另一导体〔例如导线〕连接时，导体间将消失电势差，引起电荷宏观的定向运动，使电荷重新分布而转变原有的电势差，直至各个导体之间的电势相等、建立起新的静电平衡状态为止。注意++++++++++结论：导体内部无净电荷1.

实心导体2.

有空腔导体

空腔内无电荷4.2静电平衡的导体上的电荷分布一.处于静电平衡的导体，其内部各处净电荷为零，电荷只分布在导体的外外表上。电荷分布在外表上++--疑问：内外表上有电荷吗？留意：封闭面S内的总电荷为零存在两种可能：导体的内外表无电荷；一是导体的内外表上一局部带正电，另一局部带负电，但其代数和为零。++--假设内外表带电所以内外表不带电结论：电荷分布在外外表上〔内外表无净电荷〕矛盾导体是等势体++++++++++空腔内有电荷电荷分布在外表上内外表上有电荷吗？结论：当空腔内有电荷时，内表面因静电感应出现等值异号的电荷，外表面有感生电荷（电荷守恒）。二.导体外表电场强度与电荷面密度的关系+++++++++++为表面电荷面密度作钱币形高斯面

S结论：处于静电平衡的导体，其外表上各处的面电荷密度与当地外表紧邻处的电场强度的大小成正比。留意：电场实际上是全部电荷〔包括该导体上的全部电荷以及导体外现有的其它电荷〕产生的，E是这些电荷的合场强。+++++++++++作钱币形高斯面

S三.导体外表电荷分布：孤立的导体处于静电平衡时，它的外表各处的面电荷密度与各处外表的曲率有关，曲率越大的地方，面电荷密度也越大。+++++++++结论：导体外表电荷分布与导体外形有关。1.对于孤立的球形带电导体，由于球面上各局部的曲率一样，所以球面上电荷的分布是均匀的，面电荷密度在球面上处处一样。带电导体尖端四周电场最强带电导体尖端四周的电场特殊大，可使尖端四周的空气发生电离而成为导体产生放电现象——尖端放电2.尖端放电现象讨论<电风试验>++++++++++尖端放电会损耗电能,还会干扰周密测量和对通讯产生危害。然而尖端放电也有很广泛的应用。尖端放电现象的利与弊弊利高压输电线高压电气设备火花放电设备避雷针<避雷针>尖端放电现象的利用世界上制造避雷针最早的应当是中国。◆美国的富兰克林制造的？汉武帝时期：“鸱尾，东海有鱼虬，喷浪则雨降，尾似鸱，因以为名。汉柏梁台灾，越巫上厌胜之法，遂设鸱鱼之象于屋脊。”——宋庞元英《文昌弈录》

雷电

雷击草地例：有两个相距很远的球形带电导体，大、小球半径分别为R和r，用一根很长的细导线连接起来。求两球面电荷密度之比。RrQq分析：设连接后，大、小球面电荷分别为Q和q。由于两球相距很远，可认为是孤立导体，电荷均匀分布，且设面电荷密度分别为σ1和σ2。两球连接后成一整体，电势相等，即：对大球：对小球：结论：电荷面密度与曲率半径成反比，即与曲率成正比。曲率越大，电荷面密度越大。4.3有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场场量的计算原则:

or导体1.静电平衡的条件

2.基本性质方程3.电荷守恒定律争论题：1.将一个带电+q、半径为RB的大导体球B移近一个半径为RA而不带电的小导体球A，试推断以下说法是否正确。B球电势高于A球。以无限远为电势零点，A球的电势。在距B球球心的距离为r(r>>RB)处的一点P，该点处的场强等于。在B球外表四周任一点的场强等于，+qBA分析：(1)对。在正电荷生成的静电场，沿电场线的方向电势逐点降低。+qBA－－－－＋＋＋＋(2)

不对。若以无限远处为电势零点A球的电场线伸向无限远处，故：(3)对。当r>>RB

时，必有r>>RA故A、B两球均可以看成是点电荷，且A球的感生电荷等量异号，它们在场点P处产生的场强大小相等，方向相反，可不必考虑。所以P点的场强即为点电荷q在该点处产生的场强：目的：静电平衡导体的根本性质。(4)不一定正确。因为B导体表面附近的场强虽然等于，但B球表面电荷不一定是均匀分布的，即各点的不一定等于

。2.思考(1)怎样使导体净电荷为零，而其电势不为零？(2)怎样使导体有过剩的正〔或负〕电荷，而其电势为零？(2)将不带电的导体置于负电荷〔或正电荷〕的电场中，再将该导体接地，然后撤去接地线，则该导体有正电荷〔或负电荷〕，并且电势为零。分析：(1)将一孤立导体置于某电场中，则该导体

而导体的电势。现象：一带正电荷的物体M，靠近一原不带电的金属导体N，N的左端感生出负电荷，右端感生出正电荷。假设将N的一端接地，则N上的正电荷入地，导体上就只剩下负电荷。假设M带负电荷，将N的一端接地，则N上的负电荷入地，导体上就只剩下正电荷。3.带电为Q的导体薄球壳A，半径为R，壳内中心处有点电荷q，球壳电势为，则壳内任一点P的电势对不对？试分析之。分析：不对。依据电势叠加原理，壳内任一点P(r)的电势应是壳上电荷Q及点电荷q在该点的电势的叠加，即球壳及其内部空间为等势体qQ,•PRr目的：有导体的静电场电势的计算。而球壳的电势也是由Q及q在球壳处的电势的叠加，即另一种方法求

。选无限远处为电势零点，则++++++++++•OA

•+QB-q•3.点电荷+Q放在接地空腔导体球B外A点，试定性分析以下三种状况中B球的感生电荷〔正负、大致分布〕及球外场强，并比较之。从以上分析可以得到什么规律？•OA

•+QB(a)B内无电荷•OA

•+QB+q(b)点电荷+q在球心O处(c)点电荷-q偏离球心O＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋-q均匀分布+q非均匀分布分析：以上三种情况，接地空腔导体B外表面上的感生电荷大小、分布都一样，都是。说明接地空腔导体可将腔内电荷所激发的电场完全屏蔽掉。球B外的电场仅仅由点电荷A及感生电荷决定。目的：导体静电感应及静电屏蔽。计算题：例4-3-1在一不带电的金属球旁，有一点电荷+q，金属球半径为R，试求：金属球上感生电荷在球心处产生的电场强度E及此时球心的电势。假设将金属球接地，球上的净电荷为何？+q与金属球心间距为r。rerOrR+q++++解：球心O点的场强为感生电荷的电场E及点电荷q的电场E’的叠加，即：E0=E+E’由静电平衡条件可知，金属导体球内场强处处为零，即E0=0，则因为感生电荷分布在金属球的表面上，它在球心处的电势为：点电荷q在球心O的电势为：根据电势叠加原理，球心处的电势(2)假设将金属球接地，设球上有净电荷q1，这时金属球的电势应为零，由叠加原理可知：R<r目的：导体静电感应的感生电荷的计算及其电场电势的计算。例4-3-2解：(1)如下图由电荷守恒定律可知：(1)(2)Q•PⅠⅡⅢ选一个两底（面积为

）分别在两个金属板内而侧面垂直于板面的封闭面作为高斯面，又板内电场为零，由高斯定律：(3)在金属板内一点P的场强应当是4个带电面的电场的叠加，故：(4)将(1)、(2)、(3)、(4)联立求解：•

PE1E2E3E4各个分区的电场分布〔电场方向以向右为正〕：在Ⅰ区：方向向左P

•E1E2E3E4P

•E1E2E3E4•

P

E1E2E3E4在Ⅱ区：方向向右在Ⅲ区：方向向右对于第一块金属板仍有：由高斯定律仍可得：为了使P点的电场为零，又必须：QⅠⅡⅢ•P(2)如果将第二块金属板接地，则正电荷将随导线分散到地球表面上去，即目的：带电导体电场的计算。例4-3-3带电为q、半径为R1的导体球，其外同心的放一金属球壳，球壳内、外半径为R2、R3。R1R2R3ABq求外球壳的电荷，电场及电势的分布；把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布；再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。S解：(1)依据导体静电平衡条件，导体内处处电场强度为零，在导体球壳内取一高斯面S，则由高斯定律可知，S面内包围的净电荷为零，设球壳内、外外表的感生电荷为q内、q外，则由电荷守恒定律，金属球壳原不带电，故：由高斯定律求得：R1R2R3qS1-qqS21324q-qq1324选无穷远为电势零点，则由电势的定义可得：等势区R1R2R313q24R1R2R313q24等势区R1R2R313q24R1R2R313q24R1R2R3ABq-qq方法二：电势叠加法－处于静电平衡的导体球可等效为电荷均匀分布的球面空间任意一点的电势即为3个带电球面的电势的叠加。R1R2R3q-qqR1R2R3q-qqR1R2R3q-qqR1R2R3ABq-q(2)假设把外球壳接地，则依据电场分布可知：再绝缘，先求电场：R1R2R313q-q24再求电势：等势区R1R2R313q-q24(3)假设再把内球接地，电荷将重新分布，设R1、R2、R3各外表分别带电荷为q1、q2、q3。R1R2R3ABq1q2q3S(1)由高斯定律可知：由电荷守恒：(2)由于内球接地，内球的电势为零，故：由(1)、(2)、(3)联立求解：(3)由于R1<R2，所以0<q1<q外球壳的外表面带电荷：外球壳的内表面带电荷：外球壳的电势为：目的：静电场中导体电荷分布及其电势的计算R1R2R3q1q2q31.

不接地的空腔导体——可屏蔽外电场外电场空腔导体可以屏蔽外电场,使空腔内电场为0。空腔的体电势也处处相等。例：周密电磁测量仪器外加金属网罩。又例：穿上金属丝做的屏蔽服可高压带电作业。空腔导体屏蔽外电场4.4静电屏蔽原理：导体处于静电平衡时内部场强为零。2.

不接地的空腔导体——不屏蔽内电场