模型预测控制快速求解算法

模型展望控制迅速求解算法模型展望控制（ModelPredictiveControl，MPC）是一种鉴于在线计算的控制优化算法，能够一致办理带拘束的多参数优化控制问题。当被控对象构造和环境相对复杂时，模型展望控制需选择较大的展望时域和控制时域，所以大大增添了在线求解的计算时间，同时降低了控制成效。从现有的算法来看，模型展望控制往常只合用于采样时间较大、动向过程变化较慢的系统中。所以，研究迅速模型展望控制算法拥有必定的理论意义和应用价值。固然MPC方法为适应现在复杂的工业环境已经发展出各样智能展望控制方法，在工业领域中也获取了必定应用，可是算法的理论剖析和实质应用之间仍旧存在着必定差距，特别在多输入多输出系统、非线性特征及参数时变的系统和结果不确立的系统中。展望控制方法发展到现在，仍旧存在一些问题，详细以下：①模型难以成立。模型是展望控制方法的基础，所以成立的模型越精准，展望控制成效越好。只管模型辨别技术已经在展望控制方法的建模过程中得以应用，可是仍没法成立特别精准的系统模型。②在线计算过程不够优化。展望控制方法的一大特点是在线优化，即依据系统目前状态、性能指标和拘束条件进行在线计算获取目前状态的控制律。在在线优化过程中，目前的优化算法主要有线性规划、二次规划和非线性规划等。在线性系统中，展望控制的在线计算过程大部分采纳二次规划方法进行求解，但若被控对象的输入输出个数许多或展望时域较大时，该优化方法的在线计算效率也会没法知足系统迅速性需求。而在非线性系统中，在线优化过程往常采纳序列二次优化算法，但该方法的在线计算成真相对较高且不可以完整保证系统稳固，所以也需要精益求精。③偏差问题。因为系统建模常常不够精准，且被控系统中常常存在各样扰乱，展望控制方法的展望值和实质值之间必定会产生偏差。固然建模偏差能够经过赔偿进行校订，扰乱偏差能够经过反应进行校订，可是当系统更复杂时，上述两种校订联合起来也没法将偏差控制在必定范围内。模型展望控制差别于其余算法的最大特点是办理多变量多拘束线性系统的能力，但跟着被控对象的输入输出个数的增加，展望控制方法为保证控制输出的精准性，常常会选用较大的展望步长和控制步长，但这样会大大增添在线优化过程的计算量，进而需要更多的计算时间。所以，展望控制方法只好合用于采样周期较大且动向变化过程较慢的系统中。为使展望控制方法能在更多场合中应用，迅速模型展望控制算法成为了一个新的研究方向。国内外研究现状最近几年来人们对展望控制算法的不足有了愈来愈清楚的认识，为了将该算法应用到更多领域，愈来愈多的学者对其进行不停研究和改良。阅读近些年国内外核心期刊的文件可知，人们对展望控制方法能够在更大更复杂的系统中应用寄托了很高希望，同时也在其不足方面做了好多研究和试试，发展出了多种智能展望控制方法。迅速模型展望控制算法作为目前智能展望控制方法之一，其研究方向主要有以下几个方面：（1）显式模型展望控制（ExplicitModelPredictiveControl，EMPC）2002年AlbertoBemporad等学者[1]提出了显式模型展望控制，该方法在展望控制基础之上，在线性时不变系统优化求解过程中引入多参数二次规划理论，对系统的状态地区进行凸区分，依据最优控制问题计算获取状态分区上相应的控制律。EMPC将模型展望控制的在线计算过程转变为离线和在线计算相联合的过程，大大减少了算法的在线计算时间，填补了MPC方法频频在线计算的不足，EMPC也在电力电子[2]、电机控制[3]等领域获取了很好应用。但跟着被控对象问题规模（如输入、状态维数、拘束等）的增大，EMPC算法在离线计算过程中所求的状态分区数会呈指数倍增添，而状态分区数的增添不单会致使储存状态分区所需的储存空间增添，还会致使EMPC算法在线查找最优解所需的计算时间增添，所以该算法很难合用于状态拘束许多（状态变量常常不超出5）、展望步长较大的复杂系统。鉴于以上原由，很多学者提出用近似的显式模型展望控制方法[4,5]来取代精确的EMPC算法，即经过牺牲必定的控制精度来降低计算过程中的复杂度，进而简化整个求解过程。如文件[6]提出了显式模型展望控制的多尺度近似方法，通过引入分段线性插入法和自适应分层函数近似法，运用重心插值理论对EMPC离线计算出的状态空间进行网格区分，获取近似的状态分区和近似控制律。鉴于同样的思想，文件[7]提出了显式模型展望控制多胞体近似方法，主要利用双描绘法对最优控制问题进行近似办理，再经过重心插值获取近似控制律。文件[8]基于小波的多分辨率剖析提出了近似EMPC，经过二次插值和网格区分获取低复杂度且可保证系统稳固的近似控制律。上述文件提出的方法均能在偏差同意的范围内保证系统的控制性能，在必定程度上解决了EMPC跟着问题规模增大而带来的复杂度和储存空间增大的问题。（2）模型展望控制的简化算法MPC算法采纳的是在线转动优化的控制策略，但跟着工业模型和环境越来越复杂，其在线计算量愈来愈大，所以限制了MPC算法在动向变化较快系统中的应用。为减少MPC在线优化求解的计算量，有学者考虑对参数进行优化，提出了展望控制的简化算法，如将参数分块化的blocking技术[9]，其思想是将越远离目前时刻的控制输入越大略计算，进而减少在线计算量。在此基础上，又有学者提出了挪动blocking方法，其核心是限制系统优化变量个数同时增大系统的有效输入步长[10]。相较于blocking技术，文件[11]提出的简化方法主要把拘束分为起作用拘束集、不起作用拘束集和不确立拘束集，对不起作用的拘束集进行忽视操作，对起作用拘束集和不确立拘束集进行优化计算，进而降低在线计算量，加速控制进度。（3）改良的在线优化算法模型展望控制的核心是采纳频频的迭代优化进行在线求解，选用适合的在线优化方法能够提升在线计算速度。最近几年来，有学者试图对模型展望控制的标准形式做适合变形或许近似办理，既而降低展望控制方法的在线计算量。如文件[12]提出了一种用扩展的牛顿拉夫逊（Newton-Raphson）方法来取代传统的二次规划方法，当问题规模增大时，不单能够保证优化问题老是收敛，还可以够有效解决MPC在线计算量过大的问题。文件[13]提出了将表储存和在线优化相联合的部分列举法（PartialEnumeration，PE），对于规模较大的线性模型不单有很好的控制成效，并且求解速度是传统MPC算法的5倍以上。文件[14]提出了鉴于降精度求解准则的序列二次规划法，主要经过牺牲必定的精准度来降低在线优化所需的迭代次数，进而提升在线求解速度。文件[15]提出了可用于展望控制在线优化过程的有效内点法，该内点法不单能够减少代码量，并且能够使在线计算时间提升2-5倍。理论基础凸集与凸函数第一给出凸优化理论中凸集、凸函数和仿射的定义。凸集：假定C为n维实数空间Rn中的会合，若C中随意两点之间的线段仍然在会合C中，即对于随意x1,x2C且对随意实数0,1，都知足：x1(1)x2C（3-1）则称会合C为凸集，反之则为非凸集。知足凸集的会合拥有以下性质：（1）若会合C1、C2都是凸集则会合C1C2x|xy1y2,y1C1,y2C2也是凸集。（2）两个或多个凸集的交集仍为凸集。（3）空集也是凸集。凸函数：设fx是定义在非空凸集CRn上的函数，对于凸集C中随意的x1和x2以及随意实数0,1均知足f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)（3-2）则称f(x)为凸函数，反之则为非凸函数（或称凹函数）。若对x1x2和随意实数0,1均知足f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)（3-3）则称f(x)为严格凸函数。相同，依据凸函数的定义能够推导出凸函数的几个性质，详细以下：（1）若f1(x),L,fm(x)是定义在凸集C上的凸函数，则1f1(x)Lmfm(x)也是凸集C上的凸函数，此中为随意实数。（）若函数f(x)是定义在凸集C上的凸函数，则对于随意实数，函数2f(x)也是凸集C上的凸函数。（3）若g(x)是单一递加的凸函数，f(x)也是凸函数，则复合函数gf(x)也是凸函数。（4）若f(x)和g(x)都是定义在凸集C中非单一递加的凸函数，则f(x)g(x)也是定义在凸集C中的凸函数。仿射：对于会合C中随意两点

x1和

x2且随意实数

R，若知足x1

(1

)x2

C

（3-4）则称会合

C是仿射的。也就是说，经过会合

C

Rn中随意两点的直线仍在会合

C中。凸优化问题凸优化问题是指性能指标函数和不等式拘束函数均为凸函数且由拘束条件所获取的会合是凸集的最优化问题。因为凸优化问题的局部最优解就是全局最优解，所以对于一个实质问题，假如能表示成凸优化问题，则意味着该问题能够得到完全解决，对实质应用有着十分重要的意义。凸优化问题有多种形式，其基本形式可表示为：minf(x)s.t.gi(x)0i1,L,m（3-5）hi(x)0i1,L,p此中f(x)为性能指标函数，gi(x)0为不等式拘束条件，hi(x)0为等式约gi(x)0i1,L,m束条件，Cx0i1,L为可行域（也称可行集或拘束集）。hi(x),p假如上述问题中性能指标函数f(x)和不等式拘束gi(x)都是仿射函数，则该问题又称线性规划问题（LinearProgramming，LP），其形式可表示为：mincTxds.t.Gxh（3-6）Axb此中GRmn,ARpn，对于线性规划问题而言，往常将性能指标函数中常数项d忽视，因为其不影响最优解的会合。该问题的几何解说可由图表示，图中暗影多面体为可行域P，若性能指标函数中cTx为线性的，则其等位曲线是和c正交的超平面（图中的虚线），点x*对即为最长处。图线性规划的几何解说假如性能指标函数f(x)是凸二次型且拘束条件是仿射函数，则该问题又称二次规划问题（QuadraticProgramming，QP）。对于二次规划问题，其标准形式可表示为：min1xTQxqTxr2s.t.Axb（3-7）Gxh此中QSn,qRn,ARmn,bRm,GRpn,hRp。对于该问题，最优解的求解即是在多面体上极小化一个凸二次函数，其几何解说以下图，该问题的多面体可行域P如图暗影所示，性能指标函数的等位线如图虚线所示，则点x*即为最长处。图二次规划问题的几何解说对于凸优化问题的求解，理论上很简单获取其最优解，因为其局部极小点就是全局极小点，假如求解的凸优化问题中性能指标函数是严格凸函数，则求得的极小点是独一极小点。鉴于凸优化的迅速模型展望控制原始对偶内点法求解QP问题对于标准二次规划问题（3-7），本算法采纳原始对偶内点法进行求解。相较于有效集等方法，原始对偶内点法无需热启动，且经过适合优化即可保证算法在5-25步内迭代即可精准求解。第一引入废弛变量sRp，将标准二次规划问题转变为：min

1xTQx

qTx2s.t.

Ax

b

（3-8）Gx

shs0对于式（3-8），定义双变量yRm且知足等式拘束条件，zRp知足不等式拘束，求导后获取其最优化条件（

KKT条件）：AxGxsQxzisi

bs0,zq0,i

h0GTzATy1,L,p

0

（3-9）此中zisi0为互补废弛条件。模型展望控制问题模型展望控制算法需要依赖计算机实现求解，其办理的问题形式一般是失散控制问题而非连续问题。对随意线性时不变随机控制问题，其动向方程可表示为：x(t1)Ax(t)Bu(t)(t)（3-10）此中t0,1,L表示时间，x(t)Rn为状态变量，u(t)Rm为控制输入，(t)Rn为扰动项，ARnn和BRnm分别为状态和输入矩阵。展望控制方法的核心任务常常是求解系统的性能指标函数，在优化求解过程中，当该函数的值达到极大或极小时，表示该状况下的系统处于最优状态，而此时的控制输入即为系统的最优控制律，所以系统最优控制律的选择常常取决于系统的性能指标函数。能够定义上述问题中的性能指标函数为：T1TJTx(tT)TQfinalx(tT)（3-11）xQxuRut此中Qdiagq1,q2,L,qn为状态权重矩阵，Rdiagr1,r2,L,rm为输入权重矩阵，Qfinal为状态终端权重矩阵，且均为对角阵;T为展望步长。因为实质被控系统的输入输出常常存在限制性，需考虑状态变量和控制变量的拘束条件，该问题的模型展望控制形式可表示为：minJst..x(1)AxBut,L,tT1uminuumax（3-12）xminxxmax此中x(t1),L,x(tT)为状态变量，u(t1),L,u(tT)为控制变量。对于该二次规划问题，求解后的最优解可表示为u*(t),L,u*(tT1)和x*(t),L,x*(tT1)，展望控制方法仅取最优控制序列的第一项u*( )作为控制输入。阻碍内点法为更快地求解上式（3-12）中的最优控制问题，利用其特别构造，采纳改良后的原阻碍内点法能够降低问题求解的复杂度，进而达到迅速求解的目的。第一定义全局优化变量zu(t),x(t1),L,u(tT1),x(tT)对式子（3-12）进行重写，代入化简后可转变为：minzTHz

gTzs.t.

Cz

b

（3-13）Pz

h矩阵H是由各权重矩阵Q、R和Qfinal构成的块对角矩阵，C是由状态矩阵A、B和单位矩阵I构成的稀少矩阵，矩阵h由状态和输入的最大值和最小值构成。利用原阻碍内点法对重组后的QP问题进行求解。原阻碍内点法的实质是经过引入阻碍参数，将含不等式拘束的最优控制问题转变为等式拘束的凸优化问题。所以，令阻碍参数>0，替代（3-13）中的不等式拘束后获取其近似问题为：minzTHz

gTz

z

（3-14）s.t.

Cz

blTk此中

z

log

hi

piTz

，pi表示矩阵

P的行。此时，式（

3-13）已经i1转变为由确立目标和线性等式拘束所构成的凸优化问题。同时由式（3-14）易知，阻碍参数越靠近于零，近似性能指标函数越靠近于精准的性能指标函数，求得的最优解也越精准。对于式（3-14），采纳不行行初始点牛顿法进行求解。定义双变量vRTn且知足上述等式拘束条件，求导后获取最优化条件：Czb0J2HzgPTdCTv0（3-15）z此中di1T，piT表示矩阵P的行，PTd是z的梯度。此时，(hipiz)优化问题（3-14）的求解可等价为对优化条件（3-15）的求解。对于目前优化条件，假定目前时刻全局优化变量z不行行（z知足不等式拘束，但不知足等式约束条件），则需找到一个方向z和v分别使得zz和vv知足（起码近似满足）最优化条件，即zzz*、vvv*。而后在优化条件顶用zz取代z*、vv取代v*，并利用泰勒公式的一阶近似，将上述问题（3-15）进行整理后可得对于梯度z和v的一组线性方程：2HPTdiag(d)2PCTz2HzgPTdCTv（3-16）C0vCzb此中PTdiag(d)2P为z的Hessian阵，同时将上述方程等式右侧变量分别记为对偶残差rd2HzgPTdCTv，原残差rpCzb，残差向量r(z,v)(rd(x,v),rp(x,v))。对式（3-16）进行计算后可获取梯度z和v的值，再利用回溯直线搜寻法获取步长s0,1，同时可保证更新后的优化点知足不等式Pzh。最后利用步长s更新原始和对偶变量z:zsz，v:vsv。该迭代修正过程不停重复进行直到剩余向量的二范数小于设定的偏差阈值。上述问题若严格可行，则需要有限步数的计算便能获取必定的原始可行性，而一旦rp=0，那么在此后的迭代过程中剩余向量会向来等于0，且变量z和v将趋于优化点。改良后的原阻碍内点法为加速求解，本算法采纳固定的阻碍参数和固定的最大牛顿迭代步Kmax来简化计算。在求解优化问题（3-16）时，原阻碍内点法分别对一系列不一样阻碍参x的优化问题进行挨次求解，再分别比较不一样阻碍参数下的控制性能得出最优解，所以会花销许多的求解时间。大批仿真表示只要使得性能指标函数达到最小就能获取很好的控制律，而非精准求解QP问题，所以对于优化问题（3-16），障碍参数越靠近于零，近似性能指标函数越靠近于精准的性能指标函数J，求得的最优解也越精准。固定阻碍参数x能够减少展望控制问题次迭代求解所需的牛顿迭代次数（最大牛顿迭代步），进而加速凸优化问题的求解。在标准的牛顿法中，只有当残差达到足够小或许迭代达到上限时则停止迭代寻优。若问题不是发散的，常常最大迭代步Kmax在3到10之间就能够求出最优解。所以，固定的迭代步Kmax可能会使残差未能达到足够小，优化变量没有达到最优，但这其实不影响最后控制成效，还可以提升在线求解速度。[1]BemporadA,MorariM,DuaV,PistikopoulosEN.TheExplicitLinearQuadraticRegulatorforConstrainedSystems[J].Automatica,2002,38(1):3-20.BeccutiAGPapafotiouG,RobertoFrasca,MarariM.ExplicitHybridModelPredictiveControloftheBoostDC-DCConverter[A].IEEEPowerPowerElectronicsSpecialistsConference[C],Orlando,Florida,USA,2007:2503-2509.MariethozS,MorariM.ExplicitModel-PredictiveControlofaPWMImverterWithanLCLFilter[J].IEEETransactionsonIndustrialElectronics,2009,56(2):389-399.[4]NguyenH,Olarus,Hovdpatchyapproximationofexplicitmodelpredictivecontrol[J].IntermationalJourmalofControl,2012,85(12):1929-1941.BemporadA,FilippiC.Analgorithmforapproximatemultiparametricconvexprogramming[J].ComputationalOptimizationandApplications,2006,35(1):87-108.SummersS,JonesCN,LygerosJ,Morarimultiscaleapproximationschemeforexplicitmodelpredictivecontrolwithstability,feasibility,andperformanceguarantees[C].48thEEEConferenceonDecisionandControland28thChineseControlConference[C],2009:6327-6332.JonesCN,MorariM.PolytopicApproximationofExplicitModelPredictiveControllers[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2010,55(11):2542-2553.[8]SummersS,JonesCN,Morarimultiresolutionapproximationmethodforfastexplicitmodelpredictiv