【数学】河北省石家庄市部分学校2023-2024学年高二上学期期中试题（解析版）

河北省石家庄市部分学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若点到直线l：的距离为3，则（）A.2 B.3 C. D.4【答案】A【解析】由点到直线距离公式知，，解得，故选：A2.过两点和的直线的斜率为（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】由斜率公式可知，故选：C3.两个不重合的平面，，平面的法向量为，△ABC是平面内的三角形且，，则（）A.平面平面 B.平面平面C.平面，平面相交但不垂直 D.以上均有可能【答案】A【解析】设平面的法向量为,则，设，则，，即，由，得平面平面．故选：A4.在四面体中，，点在上，且,为中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】点在线段上，且，为中点，，，．故选：B．5.设点，，若直线与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】如图所示：依题意直线l过点，，，要想直线l过点且与线段MN相交，则或．故选：A．6.已知圆，过作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】因为在圆O上，则切线只有一条，圆心，所以，所以过M的切线l的斜率为，设切线的倾斜角为，则，由于，故，即，故选：D．7.设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，在中，由余弦定理可知，所以的面积等于.故选：D8.已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且，若，则椭圆C的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由椭圆的对称性，得．设，则．由椭圆的定义，知，即，解得，故，．在中，由勾股定理，得，即，则，故．故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l：，则下列结论正确的是（）A.点在直线l上 B.直线l的一个方向向量为C.直线l在y轴上的截距为8 D.直线l的倾斜角为【答案】BD【解析】对于A选项，把代入到得，所以点不在直线l上，A错误；对于B选项，因为直线l：，即为：，直线的斜率为1，所以为直线的一个方向向量，B正确；对于C选项，当时，，所以直线l在y轴上的截距为，C错误；对于D选项，因为直线的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，D正确.故选：BD10.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.若向量与向量分别构成空间向量的一组基底，则B.若非零向量满足，，则有C.若是空间向量的一组基底，且，则四点共面D.若向量，，是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底【答案】CD【解析】对于A，因为可以和任意不属于所在平面的非零向量构成空间向量的一组基底，所以若向量与向量分别构成空间向量的一组基底，则与的位置关系不确定，A错误；对于B，当非零向量满足，时，与不一定平行，也可能垂直，B错误；对于C，若是空间向量的一组基底，且，则，即，所以四点共面，C正确；对于D，若向量，，是空间向量的一组基底，则对空间中的任何一个向量存在唯一的实数组，使得，于是，所以也是空间向量的一组基底，D正确；故选：CD.11.已知曲线C的方程为，给出下列四个结论中正确的是（）A.曲线C为一个圆B.曲线C上存在点D，使得D到点的距离为6C.直线（k为常数），无论k为何值，直线l与曲线C恒有两个交点D.曲线C上存在点P，使得P到点B与点的距离之和为8【答案】ACD【解析】对于选项A，由，得，曲线C为一个圆，所以A正确；对于选项B，点在圆的外部，因为到圆心的距离，半径为2，所以圆上的点D到的距离的范围为，而，所以B不正确；对于选项C，直线（k为常数），则，则直线过定点，且点Q在圆内，所以无论k为何值，直线l与曲线C恒有两个交点，所以C正确；对于选项D，假设存在这样的点P，使得P到点B与点的距离之和为8，则P在以点与点为焦点，实轴长为8的椭圆上，即P在椭圆上，联立椭圆与圆的方程，解得，故曲线C上存在点P，使得P到点B与点的距离之和为8，所以D正确．故选：ACD．12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两点A，B关于原点对称，点P（异于A，B两点）为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（）A.的周长为12 B.椭圆的离心为C.的最大值为 D.若直线PA，PB的斜率都存在，则【答案】BCD【解析】由椭圆方程可知，，所以，由椭圆定义知，周长等于，故A错误；椭圆的离心率，故B正确；由椭圆的几何性质可知，的最大值为，故C正确；设，，则，所以，由点在椭圆上可得，两式相减可得，化简可得，即，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.与向量方向相同的单位向量是______．【答案】【解析】，，即与向量方向相同的单位向量是.故答案为：.14.已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为___________.【答案】【解析】由题意，圆，故圆心，半径，故圆心到直线的距离为，故，即，解得，即故答案为：15.如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的最小值为______．【答案】【解析】以为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，点P为线段上一点，则，，可设，，则，当时，的最小值为．故答案为：．16.已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是______．【答案】【解析】因为分别为的中点，所以.又双曲线上的点到焦点的最小距离为，所以，解得，因此双曲线的离心率e的取值范围是．故答案：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆经过点，，且圆与轴相切．（1）求圆的一般方程；（2）设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．解：（1）设圆的方程为，因为圆过点，，又跟轴相切，圆必在轴右侧，且跟轴的切点为，圆心的纵坐标为．，解得，圆的方程为，化简得．（2）设．因为为线段的中点，所以，因为点是圆上的动点，所以，即，所以的轨迹方程为．18.如图，直四棱柱中，底面是菱形，，设，若，（1）求的长；（2）求二面角的余弦值．解：（1），则．∴．（2）∵四边形ABCD为菱形，∴．以O为坐标原点，，正方向为x，y轴的正方向，过点O且平行于的直线为z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，，，∴，．设平面的法向量，则，令，解得，，∴．∵平面轴，∴平面的一个法向量设平面与平面所成角为，∴，∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．19.已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.解：（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：（2）由得设，则，，所以则中点坐标为，代入圆，得，所以.20.已知椭圆两焦点坐标分别为，一个顶点为．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在斜率为的直线l，使直线l与椭圆交于不同的两点M，N，满足．若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）因为椭圆两焦点坐标分别为，所以设椭圆的方程为，，因为一个顶点为，所以，所以，所以椭圆的方程为；（2）假设存在直线符合题意.与椭圆方程联立，得：，消去y得:，设，则有，所以，所以MN的中点P的坐标，因为，所以AP是线MN的垂直平分线，所以根据斜率之积为，可得即，将其代入，并整理得：，解得：且，故存在满足条件的直线l，其斜率的取值范围.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，若动点P满足．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若直线l过点M，且点N到直线l的距离为1，求直线l的方程，并判断直线l与动点P的轨迹方程所表示的曲线C的位置关系．解：（1）设，由题意得.又，N（1，0），所以，整理得.故动点P的轨迹方程为.（2）显然圆的圆心坐标为C（2，0），半径为，当直线l的斜率不存在时，不符合题意.设直线l的方程为，即因为点N到直线l的距离为1，所以，解得，所以直线l的方程为，即，所以圆心C到直线l的距离为，因为，所以直线l与曲线C相交.22.已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的标准方程；（