专题07 圆的相关计算（知识串讲+10大考点）原卷版

专题07圆的相关计算考点类型知识串讲（一）与圆有关的计算（1）弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝（2）圆锥与侧面展开图①圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.②计算公式：,（r为底面半径）S侧=πrl（l为母线长，r为底面半径）（3）圆锥表面积圆锥体表面积公式：（为母线，R为底面半径）备注：圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积考点训练考点1：运用公式求扇形的弧长典例1：（2023·湖南张家界·统考中考真题）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（

）

A．π B．3π C．2π D．2π-【变式1】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧AB，圆弧的半径OA=20cm，圆心角∠AOB=90°，则AB=（

A．20π cm B．10π cm C．5π cm【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC=AD，若∠ABC=130°，⊙O的半径为9，则劣弧CD的长为（）A．4π B．8π C．9π【变式3】（2023·山西·统考中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A,B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA=1.5km，则这段圆曲线AB的长为（

A．π4km B．π2km C．考点2：求扇形半径或圆心角典例2：（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的面积为240π．弧长为20π．那么这个扇形的半径是（

）A．20 B．24 C．26 D．32【变式1】（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，点A,B,C在半径为6的⊙O上，劣弧AB的长为2π，则∠ACB的大小是（）

A．20∘ B．30∘ C．45∘【变式2】（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框ABC，按图2方式变形成以A为圆心，AB长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形ABC的圆心角的度数是（

）A．45°． B．60°． C．90°π． D．180°【变式3】（2022秋·山东泰安·九年级统考期末）如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是（

）A．24m B．22m C．2m D．2考点3：旋转过程中点经过的路径长典例3：（2023·浙江·九年级假期作业）长为30 cm的细木条AB用两个铁钉固定在墙上，固定点为点A，B（铁钉的大小忽略不计），当固定点B处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点B落在点C的位置，则点B旋转的路径BC长为（

A．450π cm B．225π cm C．15π cm【变式1】（2023·河南开封·统考一模）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A．2024π B．2023π C．3036π【变式2】（2023·河北石家庄·校考一模）如图，边长为23cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB=12cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为（

A．7.5 B．15π C．15 D．7.5π【变式3】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，一个边长为8的等边三角形木板ABC在平面直角坐标系上绕点C按顺时针旋转到△A'B'C的位置，则顶点A从开始到结束所经过的路程及

A．16π3,4 B．8π，4 C．16π3，-4 D．考点4：运用公式求扇形的面积典例4：（2023·新疆·统考中考真题）如图，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=6，则扇形OAB(阴影部分)的面积是(

)

A．12π B．6π C．4π D．2π【变式1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为(

)

A．2π B．3π C．33π D【变式2】（2023·云南昆明·统考二模）美术课上，小梅同学利用如图所示直径为1dm的圆形材料裁剪出一个扇形图案，已知扇形的圆心角∠BAC=90°，则扇形图案的面积为（）

A．π2dm2 B．π4dm2【变式3】（2023·四川泸州·统考二模）如图，在△ABC中，∠A=80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OCA．52πcm2 B．132πcm2考点5：旋转过程中线段（图形）扫过的面积典例5：（2023·广东佛山·校考三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕到心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为

A．16π B．13π-1【变式1】（2022秋·四川泸州·九年级统考期末）如图，将△ABC绕点C旋转60∘得到△A'B'C，已知AC=6，A．3π2 B．8π3 C．6π D【变式2】（2022·宁夏吴忠·校考一模）如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至BA边延长线上的CA．27π-932 B．27π C．9π+【变式3】（2023春·四川凉山·九年级统考专题练习）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C，已知AC=6,BC=4A．3π2 B．10π3 C．6π考点6：求阴影部分的面积典例6：（2023·浙江·九年级假期作业）如图，扇形纸片的半径为6，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（）

A．12π-183 B．12π-363 C．24π-183【变式1】（2023·辽宁营口·校考三模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，则阴影部分的面积为（

）

A．π4 B．π3 C．2π【变式2】（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F

A．π-2 B．2π-2 C．2【变式3】（2023·山西太原·校联考三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为（

A．32π-943 B．34考点7：求圆锥的侧面积典例7：（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，圆锥底面圆的半径为7cm，体积为392πcm3

A．1753πcm2 B．1752πcm2 C．175πcm【变式1】（2022·四川广安·统考中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（）A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2【变式2】（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，圆锥底面圆的半径AB=2，高BC=42A．6π B．8π C．10π D．12π【变式3】（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（

）

A．27cm2 B．54cm2 C．考点8：求圆锥的底面半径与高典例8：（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【变式1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则这个圆锥的高为（

）A．42cm B．22cm C．【变式2】（2023春·四川宜宾·九年级校考阶段练习）如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（）mA．42 B．515 C．30 D【变式3】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面半径为（

A．3 B．6 C．9 D．12考点9：求圆锥侧面展开图的圆心角典例9：（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的圆心角θ得大小为（

）A．90° B．120° C．150° D．180°【变式1】（2021·山东东营·统考中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（

）A．214° B．215° C．216° D．217°【变式2】（2022·四川遂宁·九年级专题练习）一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等腰三角形，则这个几何体侧面展开图的面积和圆心角分别是（

）A．4π

60° B．4π

90° C．2π

90° D．8π

60°【变式3】（2023·云南西双版纳·统考一模）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（）．A．108° B．120° C．144° D．150°考点10：圆的相关计算与实际问题典例10：（2022春·九年级课时练习）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（

）A．(30+529)π米2 B．40πC．(30+521)π米2 D．55π【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A．3 B．23 C．33 D【变式2】（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（

）A．8 B．11 C．10 D．9【变式3】（2022秋·九年级课时练习）在边长为1的正方形铁皮上剪下一个扇形（率径为R）和一个圆形（率径为r），使之恰好围成一个圆锥．嘉嘉说图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，淇淇说图中剪下的圆和扇形有可能围成一个圆锥，还需要满足条件R=4r，则（

）A．只有嘉嘉的说法正确 B．只有淇淇的说法正确C．两个人的说法均正确 D．两人的说法均不正确同步过关一、单选题1．（2022春·九年级课时练习）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，则阴影部分的面积是（

）A．2 B．πC．2π D．π2．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，那么圆锥的侧面积为（）A．15πcm2 B．20πcm2 C．9π3．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（）A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm24．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到A'B'C'A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm5．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，把一块含45°的直角三角板的一个锐角顶点A放在半径为4的⊙O上，边AB、AC分别与⊙O交于点E、点D，则位于三角板内部的弧DE的长度为（

）A．π B．2π C．4π D．8π6．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线l=5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB=150∘，D为VB上一点，VD=3dm，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点A．32dm B．42dm C．7．（2022·九年级单元测试）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（

）A．90° B．100° C．120° D．150°8．（2023春·江苏南通·九年级校联考阶段练习）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6πcm，则扇形的半径为（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm9．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在4×4的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O、A、B分别是小正方形的顶点，则A．π B．2π C．2π D．10．（2022秋·安徽芜湖·九年级芜湖市第二中学校考期末）如图，△ABC的三个顶点都在4×5的网格（每个小正方形的边长为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△A1BC1的位置，且点A1、C1仍落在格点上，则图中阴影部分的面积是（）A．9π4 B．13-22π C．二、填空题11．（2023·广东广州·统考二模）圆锥的侧面积为20π，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为．12．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）半径为5cm的圆中，若扇形面积为25π3cm13．（2022秋·九年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1,E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．若∠A=60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积是．14．（2023·云南·九年级统考学业考试）已知⊙O的半径为6,弦AB与半径相等,则用扇形OAB围成的圆锥的底面半径为．15．（2022秋·九年级单元测试）高为4，底面半径为3的圆锥，它的侧面展开图的面积是．16．（2022·广西贵港·统考二模）如图，以半⊙O上的点A为圆心，AB为半径作扇形ABC．线段AC交弧AB的中点于D，若AB=4，则阴影部分面积S=（结果保留π）．三、解答题17．（2022秋·九年级课时练习）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是80cm，母线长是50cm，制作18．（2022秋·全国·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．19．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'（2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长．20．（2022秋·江苏扬州·