预测 07 锐角三角函数实际应用【有答案】

预测07锐角三角函数实际应用锐角三角函数实际应用是全国中考的热点内容！锐角三角函数实际应用就是把实际问题转化为解直角三角形问题。1．从考点频率看，锐角三角函数实际应用是高频考点，通常利用正弦、余弦、正切的定义和特殊角的三角函数值来解决问题。2．从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右！特殊角的三角函数值三角函数定义30°45°60°sincostan仰角和俯角的定义坡比的定义坡比==tanα1．（2019年新疆中考）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【答案】（1）海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．【解析】（1）作PC⊥AB于C，如图所示：则∠PCA=∠PCB=90°，由题意得：PA=80，∠APC=45°，∠BPC=90°-30°=60°，∴△APC是等腰直角三角形，∠B=30°，∴AC=PC=PA=40．答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处，理由如下：∵∠PCB=90°，∠B=30°，∴BC=PC=40，∴AB=AC+BC=40+40，∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间=≈5.15（小时）＞5小时，∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．2．（2019年河南中考）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）【答案】炎帝塑像DE的高度约为51m．【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1（m），∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m），在Rt△BCD中，tan60°==，∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7（m），∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）.答：炎帝塑像DE的高度约为51m．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．3．（2019年甘肃中考）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【解析】如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．4．（2019年天津中考）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．【答案】这座灯塔的高度CD约为45m．【解析】在Rt△CAD中，tan∠CAD=，则AD=≈CD，在Rt△CBD中，∠CBD=45°，∴BD=CD，∵AD=AB+BD，∴CD=CD+30，解得CD=45，答：这座灯塔的高度CD约为45m．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用–仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5．（2019年海南中考）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．（1）填空：∠BAC=__________度，∠C=__________度；（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．【答案】（1）30，45；（2）观测站B到AC的距离BP为（5–5）海里．【解析】（1）由题意得：∠BAC=90°–60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠C=180°–∠BAC–∠ABC=45°；故答案为：30，45；（2）∵BP⊥AC，∴∠BPA=∠BPC=90°，∵∠C=45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP=PC，∵∠BAC=30°，∴PA=BP，∵PA+PC=AC，∴BP+BP=10，解得BP=5–5．答：观测站B到AC的距离BP为（5–5）海里．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用–方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．1．（2019年四川省成都市中考一模数学试题）某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈）【答案】不满足安全要求,理由见解析．【解析】【分析】在Rt△ABC中，由∠ACB=90°，AC=15m，∠ABC=45°可求得BC=15m；在Rt△EGD中，由∠EGD=90°，EG=15m，∠EFG=37°，可解得GF=20m；通过已知条件可证得四边形EACG是矩形，从而可得GC=AE=2m；这样可解得：DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2<2.5，由此可知：“设计方案不满足安全要求”.【详解】解：施工方提供的设计方案不满足安全要求，理由如下：在Rt△ABC中，AC=15m，∠ABC=45°，∴BC==15m．在Rt△EFG中，EG=15m，∠EFG=37°，∴GF=≈=20m．∵EG=AC=15m，AC⊥BC，EG⊥BC，∴EG∥AC，∴四边形EGCA是矩形，∴GC=EA=2m，∴DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2<2.5.∴施工方提供的设计方案不满足安全要求．2．（2020年安徽省阜阳市太和县九年级第二次调研模拟预测试题）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）【答案】（1）车座B到地面的高度是81cm；（2）车架中立管BC拉长的长度BB'应是6cm．【解析】【分析】（1）根据上题证得的结论分别求得BH的长，利用正弦函数的定义即可得到结论；（2）设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，得到△B'H'C∽△BHC，利用相似三角形的性质求得BB'的长即可．【详解】（1）设AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD＝30cm，CF＝30cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝30cm，∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；答：车座B到地面的高度是81cm；（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得．即，∴B'C＝cm．故BB'＝B'C﹣BC＝60﹣54＝6（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是6cm．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．3．（2020年湖北省枣阳市太平一中中考数学模拟题）已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港(精确到1小时)（该船在C岛停留半个小时）?（，，）【答案】3小时.【解析】【分析】作CD⊥AB于D点．设CD=x海里，在直角△ACD中，利用x表示出AC，AD，同理表示出BD，BC，根据AB=40即可列出方程求得CD的长，则AC+CB即可求得，然后除以速度即可得到时间．【详解】作CD⊥AB于D点．设CD=x海里，在直角△ACD中，∠CAD=90°-60°=30°，则AC=2x，AD=x，在直角△BCD中，∠CBD=45°，则BD=CD=x，BC=CD=x，∵AB=40，即AD+BD=40，∴x+x=40，解得：x=20（-1），∴BC=20（-1）=20-20，AC=2x=40（-1），则总路程是：20-20+40（-1）海里，则时间是：（小时）．∵该船C岛停留半个小时，∴需要3小时能把这批物资送到A港．4.（2020年江西中考数学四模试题）如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（参考数据：sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27，sin30°=0.5，cos30°=0.87，tan30°=0.58．）（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．【答案】（1）15°；（2）45.7cm【解析】【分析】（1）过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，进而可得出∠EDF的值；（2）利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案．详解】（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，由题意可得：四边形DNMF是矩形，则∠NDF=90°．∵∠A=60°，∠AND=90°，∴∠ADN=30°，∴∠EDF=135°﹣90°﹣30°=15°，即DE与水平桌面(AB所在直线)所成的角为15°；（2）如图所示：∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∴∠ABC=30°，则ACAB=8．∵灯杆CD长为40，∴AD=48，∴DN=AD•cos30°=48×0.87=41.76，则FM=41.76．∵灯管DE长为15，∴sin15°0.26，解得：EF=3.9，故台灯的高为：3.9+41.76≈45.7(cm)．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解答本题的关键．5．（2020年山西省3月中考数学模拟试题）某校门口竖着“前方学校，减速慢行”的交通指示牌CD，数学“综合与实践”小组的同学将“测量交通指示牌CD的高度”作为一项课题活动，他们定好了如下测量方案：项目内容课题测量交通指示牌CD的高度测量示意图测量步骤(1)从交通指示牌下的点M处出发向前走10米到达A处；(2)在点A处用量角仪测得∠DAM＝27°；(3)从点A沿直线MA向前走10米到达B处；(4)在点B处用量角仪测得∠CBA＝18°．请你帮助该小组同学根据上表中的测量数据，求出交通指示牌CD的高度．(参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)【答案】交通指示牌CD的高度约为1.3米．【解析】【分析】在△CMB中求出CM的长度，在△ADM中，求出DM的长度，最后利用CD＝CM－DM得出结果.【详解】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM＋AB＝20米，∠CBA＝18°，∴CM＝MB·tan18°＝20tan18°(米)．在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝27°，∴DM＝AM·tan27°＝10tan27°(米)，∴CD＝CM－DM＝20tan18°－10tan27°≈1.3(米)．答：交通指示牌CD的高度约为1.3米．【点睛】本题考查解直角三角形-仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解．6．（2019年河南省南阳市镇平县中考数学三模试卷）如图所示，图1，图2分别是某款高压电塔的实物图和示意图电塔的底座AB与地面平齐，DF表示电塔顶端D到地面的距离，已知AF的长是2米，支架AC与地面夹角∠BAC＝86°，顶端支架DC长10米，DC与水平线CE之间夹角∠DCE＝45°，求电塔的高度DF．（sin86°＝0.998，cos86°＝0.070，tan86°＝14.300，≈1.4，结果保留整数）【答案】电塔的高度DF约为79米．【解析】【分析】过点C作CG⊥AB于G，解Rt△DCE，求出CE＝DE＝FG≈7，那么AG＝GF﹣AF≈5．再解Rt△ACG，求出EF＝CG＝71.5，代入DF＝DE+EF即可．【详解】如图，过点C作CG⊥AB于G，则四边形CEFG是矩形，∴CE＝FG，CG＝EF．在Rt△DCE中，∵∠DCE＝45°，CD＝10，∴DE＝CD•sin∠DCE＝10×＝5≈7，∴CE＝DE＝FG≈7，∴AG＝GF﹣AF≈7﹣2＝5．在Rt△ACG中，∵∠CAG＝86°，AG＝5，∴CG＝AG•tan∠CAG＝5×14.3＝71.5，∴EF＝CG＝71.5，∴DF＝DE+EF＝7+71.5≈79（米）．答：电塔的高度DF约为79米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.7．（广东省佛山市南海外国语学校2019-2020学年九年级下学期第一次月考数学试题）如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组同学打算运用所学知识测量侧面支架最高点E到地面距离EF．经测量，支架立柱BC与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5cm，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架边BE与AB夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m．请你求出该支架边BE及顶端E到地面距离EF长度．【答案】EB=4mEF=3.5（m）【解析】分析：过B作BH⊥EF于点H，在Rt△ABC中，根据∠BAC=30°，BC=1.5，可求得AB的长度，又AD=1m，可求得BD的长度，在Rt△EBD中解直角三角形求得EB的长度，然后根据BH⊥EF，求得∠EBH=30°，继而可求得EH的长度，易得EF=EH+HF的值．解：过B作BH⊥EF于点H，∴四边形BCFH为矩形，BC=HF=1.5m，∠HBA=∠AC=30°．在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，BC=1.5m，∴AB=3m．∵AD=1m，∴BD=2m．在Rt△EDB中，∵∠EBD=60°，∴∠BED=90°－60°=30°．∴EB=2BD=2×2=4m．又∵∠HBA=∠BAC=30°，∴∠EBH=∠EBD－－∠HBD=30°，∴EH=EB=2m．∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m）．答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m.8.（2019年河南省实验中学中考三模数学试卷）某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD与BC平行，层高AB为8米，A、D间水平距离为5米，∠ACB＝21.5°，（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会不会碰到头部；（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平