专题03 位似问题（解析版）

2023年中考不常考满分当成宝数学10个特色专题精炼（中等难度）专题03位似问题1.如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（）A.1∶2 B.1∶4 C.1∶3 D.1∶9【答案】A【解析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解．∵与位似∴∵与的位似比是1:2∴与的相似比是1:2∴与的周长比是1:2【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质．2.如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，则A′B′的长为（）A．8 B．9 C．10 D．15【答案】B【解析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，∴＝，即＝，解得，A′B′＝9．3.如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（）A.4 B.6 C.9 D.16【答案】B【解析】根据周长之比等于位似比计算即可．设的周长是x，∵与位似，相似比为，的周长为4，∴4：x=2：3，解得：x=6，故选：B．【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．4．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C．AO：AA′=1：2D．AB∥A′B′【答案】C【解析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．5．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（）A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2【答案】A【解析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可．设点B′的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为a﹣1，B′、C间的横坐标的长度为﹣x+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（a﹣1）＝﹣x+1，解得：x＝﹣2a+36.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3【答案】D【解析】根据信息，找到OB与OD的比值即可．∵B（0，1），D（0，3），∴OB＝1，OD＝3，∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝1：3．7．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相们比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为．【答案】（2，1）或（﹣2，﹣1）．【解析】以点O为位似中心，相们比为，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．8.（2022四川成都）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．【答案】【解析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．和是以点为位似中心的位似图形，，，，，根据与的周长比等于相似比可得．【点睛】考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．9．如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是．【答案】（4，2）．【解析】根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．如图，点G（4，2）即为所求的位似中心．10.如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则=______．【答案】【解析】∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，∴===．故答案为：．直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．11．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．【答案】（﹣5，﹣1）．【解析】如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．12．如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为．【答案】18．【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），∴A′（4，4），C′（12，2），∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．13．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为．【答案】（4，2）或（﹣4，﹣2）．【解析】根据位似变换的定义，作出图形，可得结论．如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣2，3）．（1）画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；（2）以点A为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△AB2C2，请在第二象限内画出△AB2C2；（3）直接写出以点A1，B1，C1为顶点，以A1B1为的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【答案】见解析。【解析】（1）根据关于原点对称的点坐标特征写出A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）延长AB到B2使AB2＝2AB，延长AC到C2使AC2＝2AC，连接B2C2，则△AB2C2满足条件；（3）另一条平行四边形的性质，把C1点向左或右平移3个单位得到D点坐标．【解答】（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△AB2C2为所作；（3）第四个顶点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（5，﹣3）．15.如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；弧长是【解析】（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点，这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；）（2）根据图形旋转的方法：将顶点与旋转中心的连线旋转即可得旋转后的图形；OB旋转后扇形的半径为OB长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得OB长度，然后代入扇形弧长公式,同时加上扇形两半径即可求出答案．【详解】（1）位似图形如图所示（2）作出旋转后图形，，周长是．【点睛】题目主要考察位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理解及对公式的运用．16．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．【答案】（1）A1（3，﹣3）；（2）见解答；（3）π．【解析】（1）延长AC到A1使A1C＝2AC，延长BC到B1使B1C＝2BC，则可得到△A1B1C，然后写出点A1的坐标；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可；（3）先利用勾股定理计算出CB，然后根据弧长公式计算点B所经过的路径长．解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；（2）如图，△A2B2C为所作；（3）CB＝＝，所以点B所经过的路径长＝＝π．17.（2022广西河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与