线性代数教案 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日第次第2－PAGE2页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日第次第2－PAGE1页授课章节第三章矩阵的初等变换与线性方程组§1矩阵的初等变换§2初等矩阵目的要求理解初等变换、初等矩阵,掌握逆阵求法重点难点利用初等变换法求逆阵复习……………………3分钟§1矩阵的初等变换定义1下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）互换矩阵中两行（列）元素（记ri←→rj或ci←→cj）；（2）用一个非零数k乘矩阵的某一行（列）（记k×ri或k×ci）；（3）矩阵的某一行（列）元素倍地加到另一行（列）对应元素上（记ri+k×rj或ci+k×cj）；（注意：本行的元素并没有改变）矩阵的初等行或列变换统称矩阵的初等变换。如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B，则称A与B等价。记做A~B或A→B。矩阵等价的三个性质：（1）反身性A→A；（2）对称性若A→B，则B→A；（3）传递性：若A→B，B→C，则A→C。行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，即每段竖线的长度为一行，竖线后面的第一个元素为非零数。如，，等都是行阶梯形矩阵。行最简形矩阵：在行阶梯形矩阵的基础上，每个非零行左数第一个非零元是1，并且它所在列的其它元素都是零。标准型矩阵：它的左上角为一个单位阵，其它元素都是零。就是.定理1任意一个m×n矩阵A，总可以经过有限次初等行变换将其变成行阶梯形矩阵，进一步还可化成行最简形矩阵。定理2一个非奇异矩阵A，可以经过有限次初等行变换变成单位阵。定理3任意一个m×n矩阵A，总可以经过有限次初等变换将其变成标准型矩阵。用初等行变换将化成单位阵。…………………………42分钟§2初等矩阵定义2（初等矩阵）对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵，称为初等矩阵。有以下三种类型：对调、倍乘、倍加，1．对调两行或对调两列记为。2．以k≠0乘矩阵某行或某列记为,其中。3．以数k乘矩阵某行（列）加到另一行（列）上去记为,初等矩阵有如下性质：性质1初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也是同类初等矩阵，；；性质2初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵，；；性质3对矩阵A施行一次行初等变换相当于在A的左边乘一个同类m阶初等矩阵；而施行一次列初等列变换相当于在A的右边乘一个同类n阶初等矩阵。初等矩阵的这个性质为计算逆矩阵提供了一个方法，讨论如下。设A是阶可逆矩阵，由上节定理2（一个非奇异矩阵A，可以经过有限次初等行变换变成单位阵）则A可经过有限次初等行变换变成单位阵，即存在一批初等矩阵P1、P2、…、Ps，使得Ps…P2P1A=E，所以Ps…P2P1=A-1这样，如果把将A化成E过程中的每个初等阵Pi都记载下来，就可得到A的逆矩阵A-1=Ps…P2P1，可以想象这样做也很麻烦。采用对比的方法：Ps…P2P1A=EPs…P2P1E=A-1，就是说，对A做什么样的初等行变换，就对E做什么样的初等行变换，而不必记载中间的初等变换的具体结果，直至将A化成E。再考虑到分块矩阵的乘积，有Ps…P2P1（A|E）=（Ps…P2P1A|Ps…P2P1E）=（E|A用初等变换表示上面的过程，就是（A|E）→（P1A|P1E）→（P2P1A|P2P1E）→（Ps…P2P1A|Ps…P2P1E）=（E|A-1这就是用初等变换求逆矩阵的方法。例3用初等变换法求矩阵的逆矩阵。例4用初等变换法求矩阵的逆矩阵。…………………………42分钟内容小结:初等变换;初等矩阵;掌握逆阵求法思考题:利用初等列变法求逆阵作业题:P791(1),3(1)(2),5备注:…………………………3分钟授课章节§3矩阵的秩目的要求求解矩阵的秩重点难点求解矩阵的秩复习……………………3分钟§3矩阵的秩定义3在m×n矩阵A中，任取k（k≤min{m，n}）行、k列，位于这些行列交叉处的元素，不改变顺序组成一个k阶行列式，称此行列式为矩阵A的一个k阶子式。一般地说，矩阵A的一个k阶子式不止一个，可以计算它共有个k阶子式。例如，，是它的一个二阶子式，是它的另一个二阶子式，它共有个二阶子式。是它的一个三阶子式，共有个三阶子式。是它的一个一阶子式，它共有个一阶子式,它无四阶和四阶以上子式。定义4设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式，而所有的r+1阶（如果存在）子式均为零，则r称矩阵A的秩。记做R（A）=r。利用定义计算一般矩阵的秩可能需要较大的计算量，不是一个好方法。因此只能计算特殊的矩阵，如阶梯形矩阵的秩。如，有R（A）=3。…………………………42分钟定理4矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。定理4给出求一般矩阵秩的方法，就是用初等变换将一般的矩阵化为阶梯形矩阵。例5求矩阵的秩。矩阵秩的基本性质：设A是m×n矩阵，≤R（A）≤min{m，n}；（2）R（AT）=R（A）；（3）若A←→B，则R（B）=R（A）。（4）若P、Q可逆，则R（PAQ）=R（A）。。…………………………42分钟内容小结:求解矩阵的秩思考题:n阶可逆矩阵的秩是多少?可逆矩阵又称为满秩矩阵.作业题:P798,9(1)(2),11备注:…………………………3分钟授课章节§4线性方程组的解目的要求掌握线性方程组的解法重点难点解方程组复习……………………3分钟§4线性方程组的解设有n个未知数m个方程的非奇线性方程组：（1）令，，，则（1）可写成：（2）定义增广矩阵：（3）显然，方程组（1）与增广矩阵（3）有着一一对应关系。如果方程组（1）有解，则称（1）是相容的，否则称它是不相容的。对方程组施行以下三种运算：1）互换两个方程的位置；2)用一个不等于零的数乘某一个方程；3)某一个方程加上另一个方程的倍。所得新方程组与原方程组同解。不难理解，对方程组施行的三种运算相当于对增广矩阵（3）做相应的三种初等行变换。因此，解方程组的问题可转化为对增广矩阵做初等行变换问题。那么，采用什么方法解方程组？这里仍使用初等数学中的Gauss消元法。例6用Gauss消元法求解线性方程组。从以上的求解过程发现，所有同解方程组所对应的增广矩阵，它们彼此之间是等价的（初等行变换），最终的矩阵是行最简型。下面用矩阵的形式重新求解原方程组。，就是。…………………………42分钟例7求解线性方程组。解：，对应方程组最后一个方程是矛盾的，因此该方程组无解。例7求解线性方程组。解：，对应方程组最后一个方程是恒等式，因此方程组同解于前两个方程构成的方程组，克莱默法则说：未知数的个数与方程得个数相等的方程组，当它的系数行列式不等于零时，它有唯一的解。这样，在中，留下两个未知数，并且这两个未知数的系数构成的行列式不等于零，而把其余的未知数当已知数移到等号右边，把这样的未知数叫做自由未知数，如将x1和x2当真正的未知数，把x3和x4当自由未知数，即，令，则，它的所有解是。当然，这个过程仍可以矩阵形式得到，，。由以上的几个例题，归纳出一般的结果。定理4线性方程组（1）有解的充要条件是R（A）=R（B）。当R（A）=R（B）=n时，方程组（1）有唯一解；当R（A）=R（B）<n时，方程组（1）有无穷解。对于n个未知数m个方程的奇次线性方程组：（4）令，，则（4）可写成：（5）齐次线性方程组（4）总是相容的，当x1=0、x2=0、…、xn=0满足方程组（4），这组解称为零解，其它的解称为非零解。齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特例。自然，非齐次线性方程组的一些结果也适应齐次线性方程组。对于齐次线性方程组，它的增广矩阵，显然有R（A）=R（B），因此，齐次线性方程组总是相容的。进一步，当R（A）=R（B）=n