55四川省雅安市天立集团2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

天立教育集团2023年11月高2023级期中考试数学题卷（人教A版2019）（本试卷共4页，22题．满分150分．考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合，，则（）A． B． C． D．2．命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3．已知，，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．5．已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（）A．， B．，C．， D．，6．若，，且满足，则的最小值是（）A．12 B．14 C．16 D．187．函数的图象大致为（）更多免费优质滋源请家威杏MXSJ663A． B．C． D．8．定义在上的奇函数对任意都有，若，则不等式的解集是（）A． B．C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．下列函数中，值域为的是（）A．， B．C． D．11．若函数为实数集上的增函数，则实数可以为（）A．2 B． C．3 D．112．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（）A．，则，B．若，则关于的不等式的解集为C．若，且，则的最小值为D．若，的解集一定不为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知集合，，若，则实数_________．14．函数的单调递减区间是_________．15．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为_________．16．已知实数，当取得最小值时，则的值为_________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．18．已知函数（1）求的值；（2）若，求．19．已知函数是定义在上的奇函数．（1）求的值；（2）判断函数的单调性并用定义加以证明．20．设．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式．21．华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完（1）求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额成本）（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．已知函数是定义在上的函数，且对于任意的实数，有，当时，．（1）求证：在上是增函数；（2）若，对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案1．C【分析】运用集合交集的定义直接求解即可．【详解】因为集合，，所以，故选：C．2．B【分析】特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可写出原命题的否定.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为，．故选：B3．A【分析】设，利用待定系数法求得，，利用不等式的性质即可求的取值范围．【详解】设，所以，解得：，，因为，，所以，故选：A．4．D【分析】求解命题“，”为真命题时，即可根据真子集求解．【详解】命题“，”为真命题，则对恒成立，所以，故，所以命题“，”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合．故选：D5．D【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可．【详解】对于A，∵，的定义域为，又，是定义在上的奇函数，充分性不成立，A错误；对于B，∵，是定义域为，为非奇非偶函数，充分性不成立，B错误；对于C，∵，的定义域为，又，是定义在上的偶函数，充分性不成立，C错误对于D，∵，的定义域为，又，是定义在上的奇函数，充分性成立，D正确．故选：D．6．B【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】，当且仅当，时等号成立．所以的最小值是14．故选：B7．A【分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据特殊值法可排除BD，即可求解．【详解】由于定义域为，所以，故，为奇函数，图象关于原点对称，∴C错误；，∴B错误，，，∴D错误，故选：A．8．B【分析】构造，结合题设易知在上递减，且在上的奇函数，进而有在上递减，进而求出不等式的解集．【详解】由题设对任意都有，所以在上递减，又为上的奇函数，所以，故在上也为奇函数，则在上递减，又，则，故，综上，有．故选：B9．AB【分析】对于A、D项运用作差法判断，对于B项由不等式性质可判断，对于C项举反例可判断．【详解】对于A项，因为，所以且，即：且，故A项正确；对于B项，运用不等式的性质可知，若，，则正确，故B项正确；对于C项，当，，，时，满足，，但不满足，故C项错误；对于D项，因为，又因为，，所以，，所以，即：，故D项错误．故选：AB．10．AC【解析】逐项判断各项的值域，即可得解．【详解】对于A，由可得，故A正确；对于B，由可得该函数的值域为，故B错误；对于C，由可得该函数的值域为，故C正确；对于D，，所以该函数的值域不为，故D错误．故选：AC．11．AC【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可．【详解】根据题意可得：，且，解得．故选：AC12．AC【分析】选项A中，由二次函数的性质得到，，可判定A错误；选项B中，转化为和3是方程的两个实根，求得，，把不等式化简得到，求得的解集，可判定B正确；选项C中，结合二次函数的性质，求得，化简得到，令，结合基本不等式，求得的最大值，可判定C错误；当时，由函数表示开口向下的抛物线，可判定D正确．【详解】由题意，关于的不等式的解集为，对于A中，若，即不等式的解集为空集，根据二次函数的性质，则满足，，所以A错误；对于B中，若，可得和是方程两个实根，且，可得，解得，，则不等式，可化为，即，解得或，即不等式的解集为，所以B正确；对于C中，若，可得是唯一的实根，且，则满足，解得，所以，令，因为且，可得，且，则，当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以的最大值为，所以C错误；对于D中，当时，函数表示开口向下的抛物线，所以当，的解集一定不为，所以D正确．故选：AC．13．0【分析】根据并集结果结合集合，的特征运算求解．【详解】因为，且，可知，又因为，则，且当时，，满足，综上所述：．故答案为：0．14．和【分析】对函数化简后，作出函数的图象，根据图象可求得结果．【详解】当或时，，对称轴为，当时，，对称轴为，作出的图象如图所示，由图可知单调递减区间为和，故答案为：和15．【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解即可．【详解】由题意可知，恒成立，当时，恒成立，当时，，解得，综上，故答案为：16．4【分析】先利用基本不等式求最值，根据取等条件得，即即得．【详解】根据题意可得，，因，所以，，所以即，当且仅当时等号成立，此时，解得，则．故答案为：417．（1）（2）【分析】（1）代入，求解集合，，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合，由并集为全集得出集合的范围，从而求出的范围．【详解】（1）解：由得或．所以当时，．所以（2）由题意知．又，因为，所以．所以．所以实数的取值范围是．18．（1）；（2）．【分析】（1）根据给定函数，先求，再求即可；（2）根据给定条件按和分段讨论计算作答．【详解】（1）依题意，，，所以的值是2；（2）因，依题意有，解得，或者，无解，于是得，所以．19．（1）（2）增函数，证明见解析【分析】（1）由求得．（2）利用函数单调性的定义证得，从而判断出的单调性．【详解】（1）由于是定义在上的奇函数，所以，故，，经检验，为奇函数；（2）在区间上是增函数，证明如下：设任意的，且，则∵，∴，，∴，∴，∴在上是增函数．20．（1）（2）答案见解析【分析】（1）对进行分类讨论来分析恒成立问题．（2）解不等式时要对进行分类讨论．【详解】（1）不等式．（1）当时，，即不等式仅对成立，不满足题意，舍．当时，要使对一切实数恒成立．则解得.综上，实数的取值范围为．（2）当时，解得．当时，．①若，的解为；②若，当即时，解得．当时，，的解为或．当时，，的解为或．综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．21．（1）（2）2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元【分析】（1）由题意得到，从而根据求出（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；（2）时，配方求出的最大值，时，利用基本不等式求出的最大值，比较后得到结论．【详解】（1）由题意得：，故当时，，当时，，故（万元）关于年产量（千部）的函数关系式为：．（2）当时，，故时，取得最大值，最大值为8750万元；当时，由基本不等式得：（万元），当且仅当，时，等号成立，因为，所以2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元．22．（1）证明见解析；（2）．【详解】试题分析：（1）时，，所以可利用此条件结合单调性的定义来证明函数在上是增函数，可假设，则有，再利用条件便可证得命题成立；（2）由可求得，再次利用，原不等式可化简为，在上是增函数，所以可列不等式，求出的取值范围．试题