第03讲 三角形的内角（7种题型）（解析版）

第03讲三角形的内角（7种题型）【知识梳理】三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．【考点剖析】题型一、三角形的内角和定理证明 例1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A点任作直线，过B点作∥，过C点作∥，因为∥（已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∥（已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∠2+∠3=∠ACB，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角.证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在图5－2中过A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.题型二：利用三角形内角和定理求角的度数例2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．【变式1】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中，BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°例3.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【答案】60题型三：直角三角形两个锐角互余例3．（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）在中，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，则可求解．【详解】解：，，，故选：B．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，解答的关键是明确直角三角形的两个锐角互余．【变式1】（2023春·湖南怀化·八年级统考期中）直角三角形的一锐角是，那么另一锐角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直角三角形的两锐角互余可得答案．【详解】解：直角三角形的一锐角是，那么另一锐角是，故选：C．【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，熟记知识点是解本题的关键．【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？

【答案】3,2．题型四、利用三角形内角和判定三角形的形状 例4．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，试判断该三角形的形状．【思路点拨】由∠A＝∠B＝∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度数，从而判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．题型五：与平行线有关的三角形内角和问题例5．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）已知直线，一个含角的直角三角尺如图叠放在直线上，斜边交于点，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据直角三角形的性质判定∠A=30°，∠ACB=60°，然后根据平行的性质得出∠1=∠ACB.【详解】∵含角的直角三角尺∴∠A=30°，∠ACB=60°∵∴∠1=∠ACB=60°故选：D.【点睛】此题主要考查直角三角形以及平行的性质，熟练掌握，即可解题.【变式】．（2023秋·八年级单元测试）如图，在中，平分交于点，过点作交于点．若，，则______．【答案】39°．【分析】利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求出即可解决问题．【详解】解：，，，平分，，，，故答案为：39°．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．题型六：三角形折叠中的角度问题例6．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，将沿着平行于的直线折叠，得到，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得，结合三角形内角和定理可得，最后根据平行线的性质求解即可．【详解】解：由题意得，，又∵，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和折叠的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【变式】．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据折叠的性质和平角的定义先得到，再由三角形内角和定理得到，由此即可得到结论．【详解】解：由折叠的性质可知，∴，由三角形内角和定理可知，∴，∴，∴故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．题型七：与角平分线有关的三角形内角和问题例7．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在中，是角平分线，是高，已知，，那么的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形的内角和定理可求解的大小，再利用角平分线的定义可求解的度数，由三角形的高线可得，利用三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求得的度数．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理的应用，三角形的高线的含义，求解，的度数是解题的关键．【变式】．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，平分，若，，则的度数为_____________．【答案】/度【分析】先利用角平分线的定义求得，在利用直角三角形的两锐角互余求得，最后在中利用三角形的内角和即可求解．【详解】解：∵平分，，，∴，∵，AD⊥BC，∴，∴在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握定义和定理是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直角三角形中两锐角互余可直接求得．【详解】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是，故选D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解本题的关键．2．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）在中，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形内角和可得结果．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和为是解题的关键．3．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，，则的大小是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据计算即可得解．【详解】解：平分，，是边上的高，，．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．4．（2023秋·重庆渝北·八年级统考期末）如图，在中，于点，．则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，求得是解题的关键．5．（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）在中，，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结果．【详解】解：在中，，，，，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．6．（2023春·广西贵港·八年级统考期中）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（

）度．A．60 B．75 C．45 D．30【答案】B【分析】利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】解：由题意得，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握相关性质是解题的关键．7．（2023秋·重庆忠县·八年级统考期末）如图所示，将沿着折叠到所在平面内，点A的对应点是，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据折叠求出和的补角，再求即可．【详解】∵将沿着折叠到所在平面内，点A的对应点是，∴的补角为，的补角为，∵，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，根据折叠的性质得到和的关系是解题的关键．8．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得∵，∴∴故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．二、填空题9．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________．【答案】100【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出，即可．【详解】解：∵，∴∠A=180°-40°-60°=80°，∵，∴180°-80°=100°．故答案是100．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．10．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，中，，，将沿折叠，点落在形内的，则的度数为___________．【答案】【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，进而得出的度数，再根据图形翻折变换的性质得出的度数，最后由四边形的内角和为即可得到结论．【详解】解：，，，，由折叠而成，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和折叠问题，熟知三角形内角和是，折叠前后对应的角相等是解答此题的关键．11．（2023秋·甘肃定西·八年级校考期末）如图，中，，点、在、上，沿向内折叠，得，则图中等于_____．【答案】/120度【分析】根据三角形的内角和等于求出的度数，再根据折叠的性质求出的度数，然后根据平角等于解答．【详解】解：，，沿向内折叠，得，，．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．12．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处，若，，则_________．【答案】/度【分析】根据折叠的性质得出，，根据，得出，根据，即可求解．【详解】解：∵沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处，∴，，∵，∴，∴∴∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠问题中的三角形内角和定理的应用，掌握折叠的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．13．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图所示，将三角形纸片沿折叠，点A落在点P处，已知，则是_________度．【答案】【分析】根据折叠的性质可知，，利用平角是，求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数．【详解】解：将纸片沿折叠，点落在点处，，，，，又，，．故答案是：．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解题的关键是挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是、平角的度数也是．14．（2023秋·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）如图，D，E分别为的边，上的点，，将沿折叠，使点A落在边上的点F处．若，则的度数为________°．【答案】【分析】首先根据平行线的性质，可得，再根据折叠的性质，可得，再根据平角的性质，即可求得答案．【详解】解：，，根据折叠的性质，可得，，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决此题的关键．三、解答题15．（2023秋·八年级课时练习）如图，点为的内角平分线与的交点，求证：．【答案】见解析【分析】由角平分线的定义求得，，再利用三角形的内角和定理即可证明．【详解】证明：、是角平分线，，，，，又，．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．16．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期中）为的高，相交于H点，，求．【答案】【分析】根据同角的余角相等求出，从而得解．【详解】解：∵是的高，∴，∵是的高，∴，∴，∵，∴．.【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．17．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在中，是的平分线，高与相交于点．若，．求：(1)的度数；(2)的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出答案．（2）利用角平分线求出度数，在根据三角形内角和定理即可求出的度数，利用对顶角相等可求出的度数．【详解】（1）解：，，；（2）解：，是的平分线，，高与相交于点，，，，（对顶角相等），.【点睛】本题主要考查的知识点有三角形内角和定理、角平分线的定义和对顶角相等，解题过程中是否能熟练运用定理和性质是解题的关键．18．（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”已知：，，是的内角．求证：，，中至少有一个内角小于或等于．【答案】见解析【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【详解】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于，，这与三角形的三内角和为相矛盾．假设不成立，三角形三内角中至少有一个内角小于或等于度．【点睛】本题考查了三角形内角和定理考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．19．（2023秋·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，在中，平分，平分，，求的度数．【答案】【分析】先根据三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义推出，进而利用三角形内角和定理求出的度数．【详解】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和为是解题的关键．20．（2023春·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期末）学习了证明的必要性，张明尝试证明三角形内角和定理，下面是他的部分证明过程．已知：如图，，求证：．证明：过点A作直线…【答案】见解析【分析】过点A作直线，根据平行线的性质可证得，，再根据平角的性质，即可证得．【详解】证明：如图：过点A作直线，，，，．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明方法，熟练掌握和运用三角形内角和定理的证明方法是解决本题的关键．21．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1=∠2．（1）试说明DG∥BC的理由；（2）如果∠B=34°，且∠ACD=47°，求∠3的度数．【答案】（1）DG∥BC，详见解析；（2）∠3=103°.【分析】（1）先根据垂直定义得出∠CDF=∠EFB=90°，根据平行线判定可得出CD∥EF，故可得出∠2